Für eine Primzahl [1] ist eine -Gruppe in der Gruppentheorie eine Gruppe, in der die Ordnung jedes Elements eine Potenz von ist. Das heißt, für jedes Element der Gruppe gibt es eine natürliche Zahl , so dass hoch gleich dem neutralen Element der Gruppe ist.[2]

Die Sylow-Sätze ermöglichen es, -Untergruppen von endlichen Gruppen mit kombinatorischen Methoden aufzufinden. Besonders wichtig sind dabei die maximalen -Untergruppen, die -Sylowgruppen einer endlichen Gruppe.

Definitionen und EigenschaftenBearbeiten

  • Eine Untergruppe   einer Gruppe   heißt  -Untergruppe, wenn sie eine  -Gruppe ist.
  • Eine  -Untergruppe   einer Gruppe   heißt  -Sylowuntergruppe oder  -Sylowgruppe von  , wenn sie maximale  -Untergruppe von   ist. Das heißt, für jede  -Untergruppe   von   folgt aus  , dass   gilt. (Dabei steht   hier für eine feste Primzahl.)
  •  -Gruppen sind spezielle Torsionsgruppen (dies sind Gruppen, in denen jedes Element endliche Ordnung hat).

Spezielle p-GruppenBearbeiten

Endliche p-GruppenBearbeiten

  • Ist   eine endliche Gruppe, dann ist sie genau dann eine  -Gruppe, wenn ihre Ordnung eine Potenz von   ist.
  • Das Zentrum einer endlichen nichttrivialen  -Gruppe ist selbst eine nichttriviale  -Gruppe. Das zeigt man mit der Bahnformel für die Konjugation.[3]
  • Im Spezialfall einer Gruppe der Ordnung   kann man sogar noch mehr sagen: In diesem Fall ist die Gruppe entweder zu der zyklischen Gruppe   oder zum direkten Produkt   isomorph. Insbesondere ist die Gruppe also abelsch.
  • Jede endliche  -Gruppe ist nilpotent[4] und damit auch auflösbar.
  • Eine nichttriviale endliche  -Gruppe ist genau dann einfach, hat also nur die trivialen Normalteiler, wenn sie   Elemente hat und damit isomorph zu   ist.
  •  -Gruppen derselben Ordnung müssen nicht isomorph sein, z. B. sind die zyklische Gruppe   und die Kleinsche Vierergruppe beides 2-Gruppen der Ordnung 4, aber nicht zueinander isomorph. Eine  -Gruppe muss auch nicht abelsch sein, z. B. ist die Diedergruppe   eine nichtabelsche 2-Gruppe.
  • Es gibt bis auf Isomorphie genau fünf Gruppen der Ordnung  . Davon sind drei abelsch.
  • Es gibt bis auf Isomorphie genau P(n) abelsche Gruppen der Ordnung  . Dabei ist P die Partitionsfunktion.
  • Hat eine endliche Gruppe   die Gruppenordnung   und ist dabei   teilerfremd zu   dann enthält   für jede Zahl   eine  -Untergruppe   mit   Elementen. Für   ist   eine  -Sylow-Untergruppe. Falls   ist, dann ist   ein Normalteiler in einer  -Untergruppe mit der Gruppenordnung   von  .[5] Ist in der beschriebenen Situation   eine p-Sylow-Untergruppe, dann gilt  , wobei   einer Untergruppe ihren Normalisator zuordnet.[6]

Elementar abelsche GruppeBearbeiten

Eine beliebige Gruppe heißt elementar abelsche Gruppe, wenn jedes Gruppenelement (außer dem neutralen Element) die Ordnung p hat (p Primzahl) und ihre Verknüpfung kommutativ[7] ist. Elementar abelsche Gruppen sind also spezielle abelsche p-Gruppen. Der Begriff wird meistens für endliche Gruppen gebraucht.

  • Eine endliche Gruppe G ist genau dann elementar abelsch, wenn eine Primzahl p existiert, so dass G ein endliches (inneres) direktes Produkt von zyklischen Untergruppen der Ordnung p ist.

Eine beliebige, auch unendliche Gruppe ist genau dann elementar abelsch, wenn eine Primzahl p existiert, so dass

  • jede ihrer endlich erzeugbaren Untergruppen ein endliches (inneres) direktes Produkt von zyklischen Untergruppen der Ordnung p ist oder
  • sie als Gruppe isomorph zu einem  -Vektorraum   über dem Restklassenkörper   ist.

Ein endliches direktes Produkt kann hier auch „leer“ sein oder nur einen Faktor haben. Die triviale, einelementige Gruppe ist also ebenfalls elementar abelsch und dies bezüglich jeder Primzahl. Eine nichttriviale zyklische Gruppe ist genau dann elementar abelsch, wenn sie isomorph zu einem endlichen Primkörper (als additive Gruppe) ist.

Aus den genannten Darstellungen wird offensichtlich:

  • Jede Untergruppe und jede Faktorgruppe einer elementar abelschen Gruppe ist elementar abelsch.

Beispiele und GegenbeispieleBearbeiten

Endliche GruppenBearbeiten

  • Die zyklische Gruppe   ist eine abelsche p-Gruppe und sogar elementar abelsch.
  • Das direkte Produkt   ist eine elementar abelsche p-Gruppe.
  • Die zyklische Gruppe   ist eine abelsche p-Gruppe, die nicht elementar abelsch ist.
  • Die Diedergruppe   und die Quaternionengruppe   sind nicht abelsche 2-Gruppen.
  • Keine p-Gruppe und damit auch nicht elementar abelsch ist z. B. die zyklische Gruppe  , da sie Elemente der Ordnung 6 enthält und 6 keine Primzahlpotenz ist.
  • Ebenso ist die symmetrische Gruppe   keine p-Gruppe, da sie Elemente der Ordnung 2 und Elemente der Ordnung 3 enthält, und diese Ordnungen nicht Potenzen derselben Primzahl sind.

Beispiele unendlicher p-GruppenBearbeiten

  • Betrachte die Menge aller rationalen Zahlen, deren Nenner 1 oder eine Potenz der Primzahl p ist. Mit der Addition dieser Zahlen modulo 1 erhalten wir eine unendliche abelsche p-Gruppe. Jede Gruppe, die hierzu isomorph ist, heißt  -Gruppe. Gruppen dieses Typs sind wichtig bei der Klassifikation unendlicher abelscher Gruppen.
  • Die  -Gruppe ist auch isomorph zur multiplikativen Gruppe derjenigen komplexen Einheitswurzeln, deren Ordnung eine p-Potenz ist. Diese Gruppe ist eine abelsche p-Gruppe aber nicht elementar abelsch.
  • Der rationale Funktionenkörper   in einer Variablen ist (als Gruppe mit der Addition) eine unendliche elementar abelsche 5-Gruppe.

LiteraturBearbeiten

  • Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9, Kapitel I Groups, 5–7.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1.   steht in diesem Artikel immer für eine Primzahl
  2. Hungerford S. 93
  3. Hungerford S. 94
  4. Hungerford 7.1
  5. Hungerford S. 95, dies ist eine Verschärfung des 1. Sylow-Satzes.
  6. Hungerford zählt auch diese kombinatorische Folgerung aus der Bahnformel zu den Sylow-Sätzen.
  7. Für endliche Gruppen folgt die Kommutativität aus der ersten Forderung, dass alle Elemente   erfüllen, für unendliche Gruppen wird sie zusätzlich gefordert. Siehe Hungerford