Hauptmenü öffnen
Eine zweistellige Verknüpfung gibt bei den beiden Argumenten und das Ergebnis zurück.

Eine zweistellige Verknüpfung, auch binäre Verknüpfung genannt, ist in der Mathematik eine Verknüpfung, die genau zwei Operanden besitzt. Zweistellige Verknüpfungen treten insbesondere in der Algebra sehr häufig auf und man spricht dort abkürzend auch von Verknüpfung ohne den Zusatz zweistellig. Es gibt aber auch Verknüpfungen mit anderer Stelligkeit, die zum Beispiel drei oder mehr Operanden miteinander verknüpfen.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine zweistellige Verknüpfung ist eine Abbildung   vom kartesischen Produkt zweier Mengen   und   nach einer dritten Menge  . Eine solche Verknüpfung   ordnet jedem geordneten Paar   von Elementen   und   als den zwei Operanden mit   ein Element   zu als das Resultat oder Ergebnis der Verknüpfung. Wenn die Mengen  ,   und   gleich sind, wird die Verknüpfung auch innere Verknüpfung genannt; andernfalls spricht man von einer äußeren Verknüpfung.

SchreibweisenBearbeiten

Zweistellige Verknüpfungen   schreibt man oft in Infixnotation   anstelle der gewöhnlichen Präfixnotation  . Zum Beispiel schreibt man eine Addition als   anstelle von  . Eine Multiplikation   wird oft ganz ohne Symbol geschrieben, also  . Die bekannteste Postfixnotation ist die umgekehrte polnische Notation, die ohne Klammern auskommt. Die gewählte Schreibweise, ob Präfix, Infix, oder Postfix, richtet sich im Wesentlichen nach der Nützlichkeit im gegebenen Kontext und den jeweiligen Traditionen.

BeispieleBearbeiten

  • Die Grundrechenarten (Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division) auf entsprechenden Mengen von Zahlen sind zweistellige Verknüpfungen. Zum Beispiel entsteht durch die Division einer ganzen Zahl   durch eine natürliche Zahl   eine rationale Zahl  . Dies entspricht demnach einer Verknüpfung  .
  • Die Komposition von Abbildungen ist eine zweistellige Verknüpfung: Sie ordnet jeder Abbildung   und jeder Abbildung   ihre Hintereinanderausführung   zu. Dies entspricht demnach einer Verknüpfung  . Hierbei können die Mengen  ,   und   beliebig gewählt werden. Diese Verknüpfung tritt in fast allen Gebieten der Mathematik auf und liegt der Kategorientheorie zugrunde.

Innere zweistellige VerknüpfungBearbeiten

 
Eine kommutative Verknüpfung
 
Eine assoziative Verknüpfung

Eine innere zweistellige Verknüpfung oder zweistellige Operation auf einer Menge   ist eine zweistellige Verknüpfung  , die also jedem geordneten Paar aus   ein Element von   zuordnet. Dies entspricht der obigen allgemeinen Definition im Spezialfall  . Das zusätzliche Attribut innere drückt aus, dass alle Operanden aus der Menge   sind und die Verknüpfung nicht aus   hinausführt. Man sagt dazu auch,   ist abgeschlossen bezüglich  .

Innere zweistellige Verknüpfungen sind ein wichtiger Bestandteil von algebraischen Strukturen, die in der abstrakten Algebra untersucht werden. Sie treten auf bei Halbgruppen, Monoiden, Gruppen, Ringen und anderen mathematischen Strukturen.

Ganz allgemein nennt man eine Menge   mit einer beliebigen inneren Verknüpfung   auch Magma. Oft haben solche Verknüpfungen noch weitere Eigenschaften, zum Beispiel sind sie assoziativ oder kommutativ. Viele haben auch ein neutrales Element und invertierbare Elemente.

BeispieleBearbeiten

  • Die Addition und die Multiplikation ganzer Zahlen sind innere Verknüpfungen   bzw.  . Dasselbe gilt für die natürlichen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen.
  • Die Subtraktion ganzer Zahlen ist eine innere Verknüpfung  . Dasselbe gilt für die rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Man beachte jedoch, dass die Subtraktion natürlicher Zahlen   aus der Menge der natürlichen Zahlen hinausführt und demnach keine innere Verknüpfung ist. (Hier ist z. B.  ).
  • Die Division rationaler Zahlen ohne   ist eine innere Verknüpfung  . Gleiches gilt für die reellen und komplexen Zahlen jeweils ohne  . Man beachte jedoch, dass die Division ganzer Zahlen   aus der Menge der ganzen Zahlen hinausführt und demnach keine innere Verknüpfung ist. (Hier ist z. B.  ).
  • Für eine gegebene Menge   sind die Durchschnittsbildung   und die Vereinigung   von Teilmengen   innere Verknüpfungen auf der Potenzmenge  .
  • Für jede Menge   ist die Komposition   von Abbildungen   eine innere Verknüpfung auf  .

Äußere zweistellige Verknüpfungen erster ArtBearbeiten

Eine äußere zweistellige Verknüpfung erster Art ist eine zweistellige Verknüpfung   die man Rechtsoperation von   auf   nennt, bzw.   die man Linksoperation von   auf   nennt. Sie unterscheiden sich von inneren zweistelligen Verknüpfungen dadurch, dass die als Operatorenbereich bezeichnete Menge   deren Elemente Operatoren genannt werden, nicht notwendig eine Teilmenge von   ist, also von außerhalb kommen kann. Man sagt dann   operiert von rechts bzw. von links auf   und die Elemente von   heißen Rechts- bzw. Linksoperatoren.

Durch jeden Operator   ist genau eine Abbildung   bzw.   definiert, die auch die Transformation zu   genannt wird. Bei einer Multiplikation   schreibt man statt   bzw.   auch kurz   bzw.   und es wird in der Regel zwischen dem Operator   und der zugehörigen Transformation   oder   nicht mehr unterschieden. Man schreibt dann in der sogenannten Operatorenschreibweise:   bzw.  

BeispieleBearbeiten

  • Für jede natürliche Zahl   ist eine innere  -stellige Verknüpfung   immer auch eine äußere zweistellige Verknüpfung erster Art, nämlich sowohl eine Rechts- als auch eine Linksoperation von   auf   (es ist stets  ). Solche inneren Verknüpfungen werden daher auch allgemein als  -stellige Operationen bezeichnet. Eine nullstellige Verknüpfung   kann als innere Verknüpfung   aufgefasst werden und daher stets als nullstellige Operation gelten.
  • Bei einer Gruppenoperation   ist   eine Gruppe und   eine Menge. Man fordert zusätzlich eine gewisse Verträglichkeit dieser Operation mit der Gruppenstruktur   nämlich   und   für alle   und das neutrale Element   von  
  • In der linearen Algebra ist bei der Skalarmultiplikation   der Operatorenbereich   ein Körper, meist   oder   und   eine abelsche Gruppe, etwa   bzw.   Man fordert zusätzlich eine entsprechende Verträglichkeit der Skalarmultiplikation mit den bereits gegebenen Strukturen   und   Ausgestattet mit der Operation   wird   zu einem Vektorraum über  

BemerkungBearbeiten

Der Begriff Operation bzw. Operator wird, z. B. in der Funktionalanalysis, auch für allgemeine zweistellige Verknüpfungen   bzw.   gebraucht. Hierbei sind   Mengen mit gleicher (meist algebraischer) Struktur, und oft soll die Transformation   bzw.   mit der Struktur auf   und   verträglich sein.

Äußere zweistellige Verknüpfungen zweiter ArtBearbeiten

Eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art ist eine Abbildung   das heißt   ist eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge   aber   muss bezüglich   nicht abgeschlossen sein, es darf also auch   gelten.

BeispieleBearbeiten

  • Jede innere zweistellige Verknüpfung   ist auch eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.
  • Das Skalarprodukt im  -dimensionalen  -Vektorraum   ordnet je zwei Vektoren aus   eine reelle Zahl zu und ist somit eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art. Für   ist das Skalarprodukt auch eine innere zweistellige Verknüpfung, für   jedoch nicht.
  • Das Skalarprodukt im Schiefkörper der Quaternionen   ist eine innere zweistellige Verknüpfung und damit auch eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art. Fasst man   dagegen als vierdimensionale Divisionsalgebra über   auf, dann ist das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung mehr, es bleibt aber eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.
  • Ist   ein affiner Raum über einem Vektorraum  , so ist   mit   eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Gert Böhme: Algebra (= Anwendungsorientierte Mathematik. Band 1). 4., verb. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1981, ISBN 3-540-10492-5, S. 80.
  • F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik. 11. Auflage. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0, S. 38–41.
  • Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der Linearen Algebra. Teil 1. Teubner, Stuttgart 1980, ISBN 3-519-02203-6, S. 101, 204–207.
  • Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. 9. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1993, ISBN 978-3-662-01514-8, S. 146–148.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Binary operations – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien