Magma (Mathematik)

algebraische Struktur aus Trägermenge und zweistelliger Verknüpfung

berührt die Spezialgebiete

umfasst als Spezialfälle

In der Mathematik ist ein Magma (neutrum, Mehrzahl Magmen) eine algebraische Struktur, bestehend aus einer Menge zusammen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung. Es wird auch Gruppoid,[1] manchmal Binar oder Operativ genannt.

Eine Verallgemeinerung des Magmas ist das Pseudo-Magma, in dem die Verknüpfung nicht mehr auf der ganzen zugrundeliegenden Menge erklärt sein muss, also partiell sein kann.

DefinitionenBearbeiten

MagmaBearbeiten

Ein Magma ist ein Paar   bestehend aus einer Menge   (der Trägermenge) und einer zweistelligen inneren Verknüpfung  

Für  , die Verknüpfung zweier Elemente  , schreibt man auch kurz  .

Die leere Menge   kann auch als Trägermenge   zugelassen werden; das Paar   ist auf triviale Weise ein Magma.

Ist die Verknüpfung kommutativ, so heißt das Magma kommutativ oder abelsch; ist sie assoziativ, so heißt das Magma assoziativ oder Halbgruppe.

UntermagmaBearbeiten

  • Sei   ein Magma. Ein Magma   heißt Untermagma von  , wenn   und  , d. h., die Verknüpfung   ist die Einschränkung von   auf  .

Genau dann ist also   ein Untermagma von  , wenn   und   abgeschlossen ist bezüglich  , d. h., es gilt

  für alle  .

  nennt man dann auch Obermagma von  .

  • Der Durchschnitt von Untermagmen ist ein Untermagma.
  • Jede Teilmenge   eines Magmas ist enthalten in einem kleinsten Untermagma, das   enthält. Dieses Untermagma heißt von   erzeugt.

BeispieleBearbeiten

Die folgenden Beispiele sind Magmen, die keine Halbgruppen sind:

  •  : die ganzen Zahlen mit der Subtraktion
  •  : die reellen Zahlen ungleich   mit der Division
  • Die natürlichen Zahlen mit der Exponentiation, also mit der Verknüpfung  
  • Die reellen Zahlen mit der Bildung des arithmetischen Mittels als Verknüpfung
  • Alle Gleitkommadarstellungen (Gleitkommazahl) zu beliebigen Basen, Exponenten- und Mantissen-längen mit der Multiplikation sind echte, unitäre, kommutative Magmen wenn man (der Abgeschlossenheit wegen) die NaNs und ∞ hinzunimmt. So ist die Gleitkommamultiplikation weder assoziativ noch besitzt sie im Allgemeinen ein eindeutiges Inverses, auch wenn beides für einige Fälle tatsächlich gilt.
  • Endliche Magmen werden oft mit Verknüpfungstafeln dargestellt, z. B. für das Magma  :
  a b c d
a a b c a
b c d b c
c c a a c
d a d d b

Die folgenden Beispiele sind keine Magmen, da die angegebene Verknüpfung nicht für alle möglichen Werte definiert ist (sie sind also Pseudo-Magmen):

  • Die natürlichen Zahlen mit der Subtraktion.
  • Die reellen Zahlen mit der Division.
  • Alle Gleitkommamultiplikationen ohne NaNs oder ∞.

Beispiele für Untermagmen sind

  •   (die rationalen Zahlen ungleich   mit der Division) ist ein Untermagma von   (siehe oben).
  • Das Magma   mit folgender Verknüpfungstafel ist Untermagma des oben genannten Magmas  :
  a c
a a c
c c a

EigenschaftenBearbeiten

Die Grundmenge ist unter einer inneren Verknüpfung per Definition abgeschlossen. Ansonsten muss ein Magma keine speziellen Eigenschaften haben. Durch Hinzunahme weiterer Bedingungen werden speziellere Strukturen definiert, die alle wiederum Magmen sind. Typische Beispiele sind:

  • Halbgruppe: ein Magma, dessen Verknüpfung assoziativ ist
  • Monoid: eine Halbgruppe mit einem neutralen Element
  • Quasigruppe: ein Magma, in dem alle Gleichungen der Form   oder   eindeutig nach   auflösbar sind
  • Loop: eine Quasigruppe mit einem neutralen Element
  • Gruppe: ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses hat
  • Abelsche Gruppe: eine Gruppe, deren Verknüpfung kommutativ ist
  • Mediales Magma: ein Magma, in dem für alle Elemente die Gleichung   gilt

MorphismenBearbeiten

Sind   zwei Magmen, so heißt eine Abbildung   ein Morphismus, wenn für alle   gilt:  .[2]

  • Ist  , so heißt   Endomorphismus.
  • Ist ein Morphismus   als Abbildung bijektiv, so ist auch die Umkehrabbildung ein Morphismus. In diesem Fall heißt   ein Isomorphismus.

Beispiele für MorphismenBearbeiten

  • Die Identität auf einem Magma ist stets ein Morphismus.
  • Die Verkettung von Morphismen ist ein Morphismus. Die Klasse der Magmen zusammen mit der Klasse der Morphismen bilden eine Kategorie.
  • Hat ein Magma   nur ein Element, so gibt es von jedem Magma   genau einen Morphismus  .
  • Im obigem Beispiel gibt es nur einen Morphismus   . Ist   ein Morphismus, so folgt:
    •  . Es kommt daher nur   in Frage.
    • Da   ein kommutatives Magma ist, folgt  . Angenommen es ist  . In diesem Fall folgt einerseits  . Andererseits folgt  . Das ist ein Widerspruch. Also ist  . Es folgt nun:  .
  • Die Einbettung eines Magmas in ein Obermagma ist immer ein Morphismus.

Freies MagmaBearbeiten

Für jede nichtleere Menge   kann man das freie Magma über   definieren als die Menge aller endlichen Binärbäume, deren Blätter mit Elementen von   beschriftet sind. Das Produkt   zweier Bäume   und   ist der Baum, dessen Wurzel den linken Unterbaum   und den rechten Unterbaum   hat. Aufschreiben kann man die Elemente des freien Magmas durch vollständig geklammerte Ausdrücke.

Sei zum Beispiel   Dann enthält das freie Magma über   unter anderem die paarweise verschiedenen Elemente

 

AnmerkungenBearbeiten

  1. Die Bezeichnung Gruppoid wird auch für eine mathematische Struktur in der Kategorientheorie verwendet, siehe Gruppoid (Kategorientheorie).
  2. Nicolas Bourbaki: in „Elements of Mathematics Algebra I“ im Chapter I „Algebraic Structures“

LiteraturBearbeiten

  • Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics: Algebra I. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo, 1989, ISBN 978-3-540-64243-5.
  • Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics: Algebra I. Hermann, Paris / Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1974.
  • Lothar Gerritzen: Grundbegriffe der Algebra. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden 1994. ISBN 3-528-06519-2.
  • Th. Ihringer: Allgemeine Algebra. Heldermann, Lemgo 2003; ISBN 3-88538-110-9.
  • Georges Papy: Einfache Verknüpfungsgebilde: Gruppoide. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1969.