Division (Mathematik)

Grundrechenart der Arithmetik

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehroperation der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Ein Dividend wird durch einen Divisor geteilt, das Resultat wird Quotient genannt. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Stift und Papier. Sie wird im Schulunterricht der Grundschule gelehrt. Als Rechenzeichen für die Division werden der Doppelpunkt (Rechnen mit Zahlen, in der Mathematik wird das Zeichen in anderer Bedeutung verwendet), das Obelus-Zeichen (Taschenrechner, Tastaturen), der Schrägstrich (häufig mit Hochstellung des Dividenden und Tiefstellung des Divisors wie in ½) und die Bruchstrich-Schreibweise verwendet (Vorzugsschreibweise bei komplexeren Ausdrücken, siehe auch Geteiltzeichen).

DefinitionBearbeiten

Um die Division als die bekannte arithmetische Grundrechenart besprechen zu können, benötigt man eine mathematische Struktur, die zwei Verknüpfungen (Rechenoperationen) kennt, genannt Addition und Multiplikation. Die beiden Verknüpfungen interagieren miteinander nach den Regeln des mathematischen Ringes. Die Multiplikation definiert die Division als die ihr zugehörige Umkehroperation. Als zusätzliche Grundrechenart ist die Addition vorausgesetzt, denn sie definiert bspw. die Null (0) als das ihr zugehörige neutrale Element.

Bemerkung
Bei den aus der Schule bekannten mathematischen Strukturen der ganze Zahlen  , der rationalen Zahlen  , der reellen Zahlen   sowie der komplexen Zahlen   handelt es sich um mathematische Ringe.

Teilen oder Dividieren bedeutet: Zu einer gegebenen Zahl   (dem bekannten Faktor) eine passende Zahl   (den unbekannten Faktor) zu finden, sodass die Multiplikation ein gewünschtes Produkt   ergibt: Finde zu gegebenem   und   ein  , sodass  !

Beschränkt man sich auf ganze Zahlen  , so ist dies nicht immer möglich (siehe Teilbarkeit).

In Körpern, zum Beispiel im Körper der rationalen Zahlen   oder in den Körpern der reelle Zahlen   sowie der komplexen Zahlen  , gilt dagegen:

Für jede Zahl   und für jede von null verschiedene Zahl   existiert genau eine Zahl  , die die Gleichung   erfüllt.

Die Division ist also die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung dieses  . Man schreibt

    (gelesen: „  gleich   geteilt durch  “ oder kurz „  gleich   durch  “ oder auch „  gleich   dividiert durch  “).“

Dabei heißen:

  • Die Zahl  , die geteilt wird, „Dividend“ (lateinisch ‚die zu Teilende‘ (nämlich: Zahl)), in der Bruchrechnung auch „Zähler“.
  • Die Zahl  , durch die geteilt wird, „Teiler“ oder „Divisor“ (lateinisch ‚der, der teilt‘), in der Bruchrechnung auch „Nenner“.
  • Der Term  Quotient“.
  • Das Ergebnis der Division „Wert des Quotienten“ oder Quotientenwert, häufig kurz auch Quotient.

Merkhilfen:

  • Dividend durch Divisor gleich Wert des Quotienten.
  • Dividend : Divisor = Wert des Quotienten (Eselsbrücke: Dividend kommt im Alphabet vor Divisor)

EigenschaftenBearbeiten

Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz. Allerdings lässt sie sich auf die Multiplikation zurückführen, denn es gilt

 .

Es kann also von Vorteil sein, die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert zu schreiben,[1] da die Multiplikation sowohl assoziativ als auch kommutativ ist und somit ein leichteres und weniger fehleranfälliges Umformen erlaubt. Für die Division gilt allerdings mit der Addition und der Subtraktion das zweite Distributivgesetz, das heißt

  und  .

Man spricht hier auch von der Rechtsdistributivität der Division. Das erste Distributivgesetz (Linksdistributivität) ist jedoch mit der Addition und der Subtraktion im Allgemeinen nicht erfüllt.

Eine arithmetische Division durch null ist nicht möglichBearbeiten

BeispielBearbeiten

Beispiel aus einer Konditorei: Wenn man einen Kuchen zwischen null Personen aufteilen möchte, wie viel vom Kuchen bekommt dann jede Person?

Es ist nicht möglich, die Frage zu beantworten, da niemand da ist, der den Kuchen bekommen könnte. Übersetzt man diese Frage in die Sprache der Mathematik und abstrahiert von allen möglichen außermathematischen Bedeutungen, wird aus der anschaulichen Frage „Wie verteile ich etwas auf 0 Plätze?“ das rein mathematische Problem „Wie dividiere ich durch 0?“.

Mathematischer BeweisBearbeiten

Sei   ein Ring mit Nullelement  .
Bei der „Division durch null“ ist der bekannte Faktor (Divisor)  , also wird gefragt:

Gibt es zu einem Element   eine Lösung   der Gleichung  ?

Ist   der Nullring, besteht   also aus dem einzigen Element 0, dann hat die Gleichung die Lösung  , denn es ist, weil es nichts anderes gibt,  , und damit  , wie gefordert. Überdies ist   die einzige Lösung.

Im Folgenden ist generell angenommen, dass   mindestens 2 verschiedene Elemente hat, was bspw. bei einem Körper definitionsgemäß der Fall ist.

Gesucht sind zu einem Ringelement   Lösungen   der Gleichung  .

  • 1. Fall:  :
Für ein Ringelement   ist die Gleichung nicht lösbar,[2] nicht in   und auch nicht in einem Erweiterungsring  . Denn, wie im Artikel Ring (Algebra) gezeigt, folgt aus den Ringaxiomen, maßgeblich dem Distributivgesetz:
Das neutrale Element   der Addition eines Ringes   ist Annullator mit   für jedes Ringelement  .
  • 2. Fall:  :
Obwohl die obige Gleichung im Fall   jedes Ringelement   zur Lösung hat, würde die Festlegung auf ein spezielles unter ihnen (das „Eindeutigmachen“ der Division) zu Problemen führen. Bei der Setzung   bspw. wähle man ein Ringelement  . (Das ist möglich, denn   hat mindestens 2 Elemente.) Das Assoziativgesetz der Multiplikation ergäbe:
 ,
was der Wahl   widerspräche.

Das bedeutet im Ergebnis, dass Mengen  , die bei vorhandener Addition und Multiplikation eine „Division durch null“ in irgendeiner Form (Unendlich, Undefiniert, NaN oder sonst was aus  ) kennen, weder Ringe (geschweige denn Körper) sein können, weil die Ringeigenschaften nicht für die Quotienten mit Divisor null – und damit nicht für alle Elemente aus   – gelten.

Bemerkungen

  • Hat der Ring Nullteiler, wie z. B. der Ring   der Restklassen modulo 6 die Reste  , dann
    1. lässt sich die Gleichung   nicht für jedes   lösen.
      Beispiel:   hat keine Lösung in  , weil   den Rest   nicht enthält.
    2. kann eine Gleichung   mit   mehrere Lösungen haben.
      Beispiel:   hat die drei Lösungen  .
  • In der wissenschaftlichen mathematischen Literatur wird die Division durch null nur dann erwähnt, wenn diese selbst das Thema des Kapitels ist.[3][4]

Division durch null im ComputerBearbeiten

Insbesondere beim spontanen Gebrauch eines Rechengerätes kann es vorkommen, dass durch null dividiert wird.[5] Das Ziel der Implementierungen ist dann,

  1. den Benutzer/Programmierer auf das Ereignis aufmerksam zu machen und
  2. ein (Zwischen-)Ergebnis abzuliefern, mit dem das aussichtsreichste Weiterrechnen erwartet werden kann.

FestkommaBearbeiten

Eine Division durch null mit Festkommazahlen löst auf praktisch allen elektronischen Rechensystemen einen Laufzeitfehler (eine Ausnahme) vom Typ Division durch null (engl. zero-divide-exception) aus. Eine zugehörige Behandlung dieser Ausnahme wird für gewöhnlich von der Laufzeitumgebung der verwendeten Programmiersprache vorgegeben und geleistet[6][7], kann aber auch durch den Benutzer zusätzlich, bspw. durch eine catch-Anweisung, näher spezifiziert werden. In einigen Laufzeitumgebungen löst eine Division durch null undefiniertes Verhalten aus.[8]

Da der Kernel (in Zusammenarbeit mit der Laufzeitumgebung der Programmiersprache) die fehlerbehandelnde Laufzeitumgebung zur Verfügung stellt, kann eine Division durch null im Kernel selbst ggf. den gesamten Rechner zum Absturz bringen.

GleitkommaBearbeiten

Geschieht bei einer Gleitkommaoperation ein „Überlauf“, d. h., das Ergebnis ist betragsmäßig zu groß, um dargestellt zu werden, wird es auf eine betragsmäßig sehr große Gleitkommazahl mit der Bedeutung „Unendlich“ bzw. „Minus Unendlich“ gesetzt. Auch eine Gleitkommadivision durch null wird vielfach derart behandelt, so z. B. von der sehr verbreiteten Norm IEEE 754. Dabei wird zusätzlich ein Flag gesetzt, sodass die Programmierung einer Ausnahmebehandlung möglich ist. (Der Artikel Permanenzprinzip erörtert verschiedene Konzepte, wie unter geringstmöglichem Verzicht auf Rechenregeln – bspw. auf Ringaxiome und Ordnungsrelationen – eine „Division durch null“ definiert werden könnte.)

Ist 1 : 0 = ?Bearbeiten

 
Graph der Funktion  

Einige Menschen meinen, dass die Lösung der Division durch null unendlich sein müsse, da erfahrungsgemäß der einzelne immer mehr bekommt, je weniger da sind, mit denen er sich etwas teilen muss. Aber

  1. Durch die Einführung eines „Wertes“   wird die Ringstruktur und ihre Arithmetik – wie oben gezeigt – aufgegeben. Weiterreichende Konsequenzen sind die nunmehr auftauchenden unbestimmten Ausdrücke, (zu denen die Ausdrücke vom Typ   eigentlich schon gehören und) die allesamt einer Spezialbehandlung bedürfen.
  2. Durch die Methode der Grenzwertbildung kommt ein neues (über die Arithmetik hinausgehendes, nämlich ein topologisches) mathematisches Konzept zum Tragen, mit dem in einigen Fällen ein sinnvolles Ergebnis für eine nicht direkt berechenbare Aufgabe ermittelt werden kann. Wendet man aber diese Methode auf das Beispiel   an, so strebt das Ergebnis tatsächlich gegen unendlich, allerdings nur, wenn man sich der Null von der positiven Seite aus nähert, also   Nähert man sich der Null hingegen aus Richtung der negativen Zahlen an, so strebt der Wert der Funktion gegen  , also   Somit strebt die Funktion an der Stelle   sowohl gegen   als auch gegen  , hat also keinen eindeutigen Grenzwert.
    Wie das Beispiel zeigt, kommen zusätzliche Probleme betreffend die bei den Strukturen   und   wichtige Ordnungsrelation hinzu.
    Wenn man der Division unbedingt immer (auch der Division durch null) einen Wert zuweisen möchte, dann muss dieser auch die bei der Division sonst übliche Eindeutigkeit besitzen, eine Festlegung auf einen solchen ist bei jeder Wahl unbefriedigend und die Zuweisung einer Lösungsmenge   ebenso.[9][4]

Resümee

  1. Die Komplikationen, die mit einer Einführung eines „Wertes“ für   einher gehen, sind in jeder Hinsicht (insbesondere Einschränkung der Gültigkeit der Arithmetik, daraus resultierende Aufblähung der erforderlichen Rechenregeln, Mehrdeutigkeit) wesentlich nachteiliger als die einfache Anerkenntnis der einfachen Tatsache, dass Gleichungen vom Typ   keine Lösung haben.
    Vielmehr ergeben sich viele neue Probleme, die mit einem derartigen Kalkül nicht sachgerecht behandelt werden können.
  2. Abhängig vom gegebenen Fall gelingt es häufig, mit Methoden der Analysis (Regel von de L’Hospital) unter Hinzunahme zusätzlicher Informationen – bspw. Monotonie und Stetigkeit – zu einer fundierten Lösung zu kommen, die nur noch ganz entfernt an eine „Division durch null“ erinnert.

Division mit RestBearbeiten

Im Bereich der ganzen Zahlen gilt: Eine Division ist nur dann gänzlich durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Im Allgemeinen ist die Division hingegen nicht vollständig durchführbar, das heißt, ein Rest bleibt übrig.

Gesetzmäßigkeiten der DivisionBearbeiten

Teilbarkeitsregeln durch 0 bis 12 im DezimalsystemBearbeiten

Mit den nachfolgenden Teilbarkeitsregeln für Teiler von   bis   (formuliert für Dezimaldarstellungen) erhält man ganzzahlige Ergebnisse.

  • Durch   darf man nicht teilen. Auch der Nenner eines Bruches, auch wenn er Variablen enthält, wie z. B. in der Gleichung  , darf nicht   ergeben. Dividiert man   durch eine beliebige Zahl ( ), so ist das Ergebnis wieder  . Für die Division   ist kein Ergebnis definiert.
  • Eine beliebige Zahl außer der   durch sich selbst geteilt ergibt  .
  • Ungerade Zahlen (die letzte Ziffer ist eine   oder  ) sind ohne Rest nur durch andere ungerade Zahlen teilbar.
  • Primzahlen sind nur durch sich selbst (ergibt  ) oder durch   teilbar (ergibt die Ausgangszahl).
  • Jede Zahl ist durch   teilbar. Ihr Wert ändert sich durch diese Division nicht  .
  • Jede gerade Zahl (die letzte Ziffer ist eine   oder  ) ist durch   teilbar.
  • Eine Zahl ist durch   teilbar, wenn ihre Quersumme durch   teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch   teilbar, wenn ihre letzten zwei Ziffern durch   teilbar sind.
  • Eine Zahl ist durch   teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine   oder eine   ist.
  • Eine Zahl ist durch   teilbar, wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch   teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch   teilbar, wenn ihre alternierende  er-Quersumme durch   teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch   teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern durch   teilbar sind.
  • Eine Zahl ist durch   teilbar, wenn ihre Quersumme durch   teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch   teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine   ist.
  • Eine Zahl ist durch   teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch   teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch   teilbar, wenn sie sowohl durch   als auch durch   teilbar ist.

VorzeichenBearbeiten

  • Haben Dividend und Divisor dasselbe Vorzeichen, so ist der Quotient positiv.
  • Haben Dividend und Divisor unterschiedliche Vorzeichen, so ist der Quotient negativ.

Diese beiden Regeln gelten sinngemäß auch für die Multiplikation.

RechenoperationenBearbeiten

  • Bei der Berechnung eines komplexen Terms gilt die Regel Klammer vor Punkt vor Strich.
  • Zwei Brüche werden durch einander dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert (der Nenner eines Bruches darf nicht   ergeben):
 
Gegebenenfalls ist das Ergebnis zu kürzen.
  • In Ungleichungen dreht sich das Ungleichheitszeichen   um, wenn durch eine negative Zahl dividiert (oder mit ihr multipliziert) wird, z. B.
 
 

SchreibweisenBearbeiten

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division:   oder   oder   oder   oder   .

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646–1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein.

Die Schreibweise   heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter „Verallgemeinerung“ erwähnt werden.

Bei mehreren aufeinanderfolgenden Doppelpunkten in einer Zeile wird die Reihenfolge von links nach rechts abgearbeitet; der Infix-Doppelpunktoperator ist daher linksassoziativ[10][11][12][13][14]

  und
 .

Dies entspricht auch der Interpretation in den meisten Programmiersprachen.

Schrägstriche haben Vorrang vor horizontalen Bruchstrichen.

  und  .

Bei geschachtelter Bruchdarstellung haben die kürzeren Bruchstriche Vorrang vor den längeren:

 
und
 .

Wie man sieht, ist diese Schreibweise mit Vorsicht zu verwenden und ggf. ist auf  ,   auszuweichen oder fakultative Klammern sind zu verwenden  ,  .

In der Geometrie ist weiterhin noch eine Schreibweise üblich: a : b : c = sin α: sin β: sin γ = d: e: f. Es handelt sich hierbei nicht um eine Kettendivision, sondern um eine Kurzschreibweise für

  und  .

TypografieBearbeiten

Unicode:
Zur Verfügung stehen die Unicodezeichen Doppelpunkt U+003A (a : b), Schrägstrich/Solidus U+002F (a / b), Divisionszeichen U+00F7 (a ÷ b) und Divisionsstrich U+2215 (a ∕ b). Siehe auch Geteiltzeichen.

Das kaufmännische Minus ist U+2052 (a ⁒ b) und ist nicht mit dem Divisionszeichen U+00F7 (a ÷ b) zu verwechseln.

VerallgemeinerungBearbeiten

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.

Division mit Zirkel und LinealBearbeiten

 
Bild 2
Division mit Zirkel und Lineal, für   und Kehrwert  , Beispiel  
Die gestrichelten Linien dienen lediglich dazu, den Nachweis mithilfe des Sehnensatzes zu verdeutlichen.
 
Bild 1
Division mit Zirkel und Lineal, für   und Kehrwert  , Beispiel  

Die Division kann auch – so wie die Multiplikation, die Potenz und die Quadratwurzel – als Konstruktion mit Zirkel und Lineal dargestellt werden. Im Folgenden werden zwei unterschiedliche Vorgehensweisen beschrieben.

Die beiden nebenstehenden Bilder zeigen jeweils eine kompakte Lösung, die sowohl für   als auch für den Kehrwert   gilt. Die gestrichelten Linien im Bild 2 (Kreisbogen, Kreise) werden zur Lösung nicht benötigt, sie dienen lediglich dazu, den Nachweis mithilfe des Sehnensatzes zu verdeutlichen. Die Bezeichnungen der Punkte wurden, zwecks Vergleichbarkeit, analog dem Einleitungsbild im Sehnensatz gewählt.

Es folgt die Konstruktionsbeschreibung für   (Bild 2). Die geringfügigen Unterschiede der Konstruktion für   sind in Bild 1 ersichtlich.

Zuerst werden z. B. auf einer Zahlengeraden die Längen   und   als Strecken   bzw.   aufgetragen. Es folgen eine Senkrechte auf   durch   sowie eine Parallele zur Strecke   mit einem Abstand gleich  , dabei ergibt sich der Schnittpunkt  . Um den Mittelpunkt   des Kreisbogens   durch   zu erhalten, bedarf es zweier (nicht eingezeichneter) Mittelsenkrechten der Sehnen   und  .

Nun kann der Kreisbogen   eingezeichnet werden, dabei ergibt sich der Schnittpunkt  . Jetzt noch die Verbindung des Punktes   mit  , bei der   die Senkrechte schneidet, und eine Halbgerade ab   durch  , bis sie die Senkrechte in   schneidet. Im Grunde genommen ist nun die Konstruktion fertiggestellt. Um eine Überdeckung der Strecke   zu vermeiden ist   separat dargestellt.

Nachweis (siehe hierzu Bild 2)

Nach dem Sehnensatz im Kreis   mit Mittelpunkt   gilt:

 
 

Nach dem Sehnensatz im Kreis   mit Mittelpunkt   gilt:

 
 
 
Bild 3
Division mit Zirkel und Lineal unter Zuhilfenahme des Strahlensatzes

Eine weitere Möglichkeit für die Division   mit Zirkel und Lineal (siehe Bild 3) bietet der Strahlensatz.

Zunächst zieht man ab dem Punkt   den ersten Strahl. Auf diesem Strahl wird, beginnend ab  , zuerst die Länge gleich  , als Strecke   und anschließend die Länge  , als Strecke   bestimmt. Es folgt das Einzeichnen der Länge   ab dem Punkt  , als Strecke   unter einem beliebigen Winkel   zu  . Nun wird der zweite Strahl ab   durch   gezogen. Die abschließende Parallele zu   ab dem Punkt   liefert den gesuchten Wert des Quotienten   als Strecke  .

LandesspezifischesBearbeiten

In Österreich wird gelegentlich zwischen Messen (wie oft geht es in …?) und Teilen (wie viel ergibt es geteilt durch …?) unterschieden.[15]

Bis in die 1970er wurde auch in deutschen Grundschulen gelegentlich zwischen Aufteilen (in Gruppen) (österr. Messen) und Verteilen unterschieden.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Division (Mathematik) – Sammlung von Bildern
Wikibooks: Mathematik: Schulmathematik: Division – Lern- und Lehrmaterialien
Wiktionary: Division – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Sie ist der Schreibweise mit Bruchstrich   insbesondere im nicht-kommutativen Fall vorzuziehen, weil sie eine eindeutige Reihenfolge der Operationen vorgibt.
  2. »Nicht lösbar« ist eine schärfere Aussage als »undefiniert«. Bei letzterem könnte es noch einen Freiheitsgrad für eine Definition geben. Bei ersterem ist diese Möglichkeit ausgeschlossen.
  3. Eine echte Grenzwertbildung, etwa nach Art der Regel von de L’Hospital, ist nicht als Division durch null anzusehen.
  4. a b Der Artikel Erweiterte reelle Zahl bringt zwei topologische Erweiterungen der reellen Zahlen, geht aber auch auf arithmetische Probleme ein.
  5. Sunk by Windows NT. In: Wired News, 24. Juli 1998. 
  6. Python Errors and Exceptions. Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch).
  7. Java ArithmeticException. Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch).
  8. ISO/IEC 9899:201x. (PDF; 1,6 MB) Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch, nicht-normatives Arbeitsdokument).
  9. Eric Weisstein: Division by zero. Wolfram MathWorld
  10. Order of operations (PDF; 265 kB) Rochester Institute of Technology.
  11. The Order of Operations. Education Place.
  12. The Order of Operations. Khan Academy (Video, ab 05:40)
  13. Using Order of Operations and Exploring Properties (PDF) Virginia Department of Education, Absatz 9.
  14. Vorrangregeln und Assoziativität. Technische Universität Chemnitz
  15. veritas.at