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Division (Mathematik)

Grundrechenart der Arithmetik

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehroperation der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Es wird ein Dividend durch einen Divisor geteilt, das Resultat nennt sich Quotient. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Stift und Papier. Sie wird im Schulunterricht der Grundschule gelehrt. Als Rechenzeichen für die Division werden , oder verwendet (Geteiltzeichen).

DefinitionBearbeiten

Teilen oder Dividieren bedeutet: Zu einer gegebenen Zahl   (dem ersten Faktor) eine passende Zahl   (den zweiten Faktor) zu finden, sodass die Multiplikation ein gewünschtes Produkt   ergibt: Finde zu gegebenem   und   ein   so, dass  .

Beschränkt man sich auf natürliche oder auf ganze Zahlen, so ist dies nicht immer möglich (siehe Teilbarkeit).

In Körpern, zum Beispiel im Körper der rationalen Zahlen oder in den Körpern der reellen sowie der komplexen Zahlen, gilt dagegen:

Für jede Zahl   und für jede von null verschiedene Zahl   gibt es genau eine Zahl  , die die Gleichung   erfüllt.

Die Division ist also die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung dieses  . Man schreibt

    (gelesen: „  gleich   geteilt durch  “ oder kurz „  gleich   durch  “ oder auch „  gleich   dividiert durch  “).“

Dabei heißen:

  • Die Zahl  , die geteilt wird, „Dividend“ (lateinisch die zu Teilende (nämlich: Zahl)), in der Bruchrechnung auch „Zähler“.
  • Die Zahl  , durch die geteilt wird, „Teiler“ oder „Divisor“ (lateinisch der, der teilt), in der Bruchrechnung auch „Nenner“.
  • Der Term   heißt „Quotient“.
  • Das Ergebnis der Division heißt „Wert des Quotienten“ oder Quotientenwert, häufig kurz auch Quotient.

Merkhilfen:

  • Dividend durch Divisor gleich Wert des Quotienten.
  • Dividend : Divisor = Wert des Quotienten (Eselsbrücke: Dividend kommt im Alphabet vor Divisor)

EigenschaftenBearbeiten

Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz. Allerdings lässt sie sich auf die Multiplikation zurückführen, denn es gilt  .

Es kann also von Vorteil sein, die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert zu schreiben,[1] da die Multiplikation sowohl assoziativ als auch kommutativ ist und somit ein leichteres und weniger fehleranfälliges Umformen erlaubt. Für die Division gilt allerdings mit der Addition und der Subtraktion das zweite Distributivgesetz, das heißt   und  .

Man spricht hier auch von der Rechtsdistributivität der Division. Das erste Distributivgesetz (Linksdistributivität) ist jedoch mit der Addition und der Subtraktion im Allgemeinen nicht erfüllt.

Bei mehreren aufeinanderfolgenden Divisionen in einer Zeile wird die Reihenfolge von links nach rechts abgearbeitet; die Division ist daher linksassoziativ[2][3][4][5][6]:

 .

Division durch nullBearbeiten

BeispielBearbeiten

Beispiel aus einer Konditorei: Wenn man einen Kuchen zwischen null Personen aufteilen möchte, wie viel vom Kuchen bekommt dann jede Person?

Es ist nicht möglich, die Frage zu beantworten, da niemand da ist, der die Kuchen bekommen könnte. Übersetzt man diese Frage in die Sprache der Mathematik und abstrahiert von allen möglichen außermathematischen Bedeutungen, wird aus der anschaulichen Frage „Wie verteile ich etwas auf 0 Plätze?“ das rein mathematische Problem „Wie dividiere ich durch 0?“.

Ist 1/0 = ∞?Bearbeiten

 
Graph der Funktion  .

Einige Menschen meinen, dass die Lösung der Division durch null unendlich sein müsse, da erfahrungsgemäß der einzelne immer mehr bekommt, je weniger da sind, mit denen er sich etwas teilen muss. Wenden wir diese Vorstellung des Verteilens auch auf positive Größen an, die kleiner als 1 werden können, zum Beispiel auf das Verteilen von 1 Liter Wasser in quader- oder zylinderförmige Gefäße mit immer kleinerer Grundfläche. Hierbei wird die Wassersäule desto höher, je kleiner die Grundfläche wird. Tatsächlich gibt es in der Mathematik die Methode des Grenzwertes, mit der in einigen Fällen ein sinnvolles Ergebnis für eine nicht direkt berechenbare Aufgabe ermittelt werden kann. Wendet man diese Methode auf zum Beispiel   an, so strebt das Ergebnis tatsächlich gegen unendlich, allerdings nur, wenn man sich der Null von der positiven Seite aus nähert. Nähert man sich der Null hingegen aus Richtung der negativen Zahlen an, so strebt der Wert der Funktion gegen  . Somit strebt die Funktion an der Stelle   sowohl gegen   als auch gegen  , hat also keinen eindeutigen Grenzwert. Auch dies zeigt, dass es nicht sinnvoll möglich ist,   zu definieren.[7]

Mathematischer BeweisBearbeiten

Sei   ein Ring, der nicht der Nullring ist, also mindestens 2 verschiedene Elemente hat. Gesucht sind Lösungen der Gleichung  .

  • 1. Fall:  :
Für ein Ringelement   ist die Gleichung nicht lösbar, nicht in   und auch nicht in einem Erweiterungsring von  .[8]
Beweis
Angenommen, es gäbe zu einem   ein   derart dass,  , dann wäre
 .
Ein Widerspruch!
  • 2. Fall:  :
Obwohl die obige Gleichung im Fall   jedes Ringelement   zur Lösung hat, würde die Festlegung auf ein spezielles unter ihnen zu Problemen führen. Bei der Setzung   bspw. wähle man ein Ringelement  . (Das ist möglich, weil   mindestens 2 Elemente hat.) Das Assoziativgesetz der Multiplikation ergäbe:
 ,
was der Wahl   widerspräche.

Wie im Abschnitt Ring (Algebra)#Folgerungen gezeigt, folgt aus den Ringaxiomen, maßgeblich dem Distributivgesetz:

  • Das neutrale Element   der Addition ist Annullator für jedes Ringelement  .

Division durch null im ComputerBearbeiten

Bei elektronischen Rechensystemen, welche eine Gleitkommazahlimplementation haben, die der IEEE 754-Norm folgt oder teilweise folgt (was fast überall der Fall ist), erzeugt eine Gleitkommadivision durch null das Ergebnis   (bzw. NaN im Falle von 0/0)[9].

Eine Division durch null mit Festkommazahlen löst auf praktisch allen Rechnern einen Laufzeitfehler (eine Ausnahme) vom Typ Division durch null (engl. zero-divide-exception) aus. Eine zugehörige Behandlung dieser Ausnahme wird für gewöhnlich von der Laufzeitumgebung der verwendeten Programmiersprache vorgegeben und geleistet[10][11], kann aber auch durch den Benutzer zusätzlich, bspw. durch eine catch-Anweisung, näher spezifiziert werden. In einigen Laufzeitumgebungen löst eine Division durch null undefiniertes Verhalten aus.[12]

Da der Kernel (in Zusammenarbeit mit der Laufzeitumgebung der Programmiersprache) die fehlerbehandelnde Laufzeitumgebung zur Verfügung stellt, kann eine Division durch null im Kernel selbst ggf. den gesamten Rechner zum Absturz bringen.

Division mit RestBearbeiten

Im Bereich der ganzen Zahlen gilt: Eine Division ist nur dann gänzlich durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Im Allgemeinen ist die Division hingegen nicht vollständig durchführbar, das heißt, es bleibt ein Rest übrig.

SchreibweisenBearbeiten

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division:   oder   oder   oder  

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646–1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein.

Die Schreibweise   heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter „Verallgemeinerung“ erwähnt werden.

VerallgemeinerungBearbeiten

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.

LandesspezifischesBearbeiten

In Österreich wird gelegentlich zwischen Messen (wie oft geht es in …?) und Teilen (wie viel ergibt es geteilt durch …?) unterschieden.[13]

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Division (mathematics) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wikibooks: Mathematik: Schulmathematik: Division – Lern- und Lehrmaterialien
 Wiktionary: Division – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Sie ist der Schreibweise mit Bruchstrich   insbesondere im nicht-kommutativen Fall vorzuziehen, weil sie eine eindeutige Reihenfolge der Operationen vorgibt.
  2. Rochester Institute of Technology: Order of operations
  3. Education Place: The Order of Operations
  4. Khan Academy: The Order of Operations (Video, ab 05:40)
  5. Virginia Department of Education: Using Order of Operations and Exploring Properties, Absatz 9
  6. Technische Universität Chemnitz: Vorrangregeln und Assoziativität
  7. Eric Weisstein, Wolfram MathWorld: Division by zero
  8. »Nicht lösbar« ist eine schärfere Aussage als »undefiniert«. Bei letzterem könnte es noch einen Freiheitsgrad für eine Definition geben. Bei ersterem ist diese Möglichkeit ausgeschlossen.
  9. IEEE Std 754-2008. (PDF) (Nicht mehr online verfügbar.) Archiviert vom Original am 6. November 2016; abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch).   Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.csee.umbc.edu
  10. Python Errors and Exceptions. Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch).
  11. Java ArithmeticException. Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch).
  12. ISO/IEC 9899:201x. (PDF; 1,6 MB) Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch, nicht-normatives Arbeitsdokument).
  13. veritas.at