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Satz von Schur-Zassenhaus

mathematischer Satz

Der Satz von Schur-Zassenhaus ist ein mathematischer Satz in der Gruppentheorie. Der nach Issai Schur und Hans Julius Zassenhaus benannte Satz lautet[1]:

  • Für eine endliche Gruppe und einen Normalteiler mit existiert eine Untergruppe mit und . Die Gruppe ist also das semidirekte Produkt aus und .

Die Untergruppe in obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, aber man kann zeigen, dass je zwei solche Untergruppen konjugiert sind.

BeispieleBearbeiten

  • Die zyklische Gruppe   hat den Normalteiler  . Da die Zahlen   und   teilerfremd sind, kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden.   ist offenbar die einzige Untergruppe, die die Aussage des Satzes erfüllt. Da die Gruppe   abelsch ist, ist das semidirekte Produkt in diesem Fall sogar direkt.
  • Die symmetrische Gruppe   hat den Normalteiler  . Wegen   und   kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden, offenbar erfüllen die drei Untergruppen   die Aussage des Satzes.
  • Die zyklische Gruppe   hat den Normalteiler  . Hier sind   und   nicht teilerfremd, weshalb der Satz nicht anwendbar ist. Tatsächlich gibt es keine Untergruppe  , die die Aussage des Satzes erfüllt, denn eine solche müsste ein Element der Ordnung 2 haben, aber das einzige Element der Ordnung 2 ist   und das liegt bereits in  . Dieses Beispiel zeigt, dass auf die Teilerfremdheit von   und   in obigem Satz nicht verzichtet werden kann.
  • Ist   irgendeine Gruppe, so zeigt das Beispiel  , dass die Teilerfremdheitsbedingung nicht notwendig ist für das Bestehen einer Darstellung als semidirektes, ja sogar direktes, Produkt.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Rowen B. Bell, J. L. Alperin: Groups and Representations, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Band 162, ISBN 0-387-94526-1 (Kapitel 9: The Schur-Zassenhaus-Theorem)

QuellenBearbeiten