Hauptideal

Begriff aus der Algebra

Das Hauptideal ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der ganzen Zahlen dar, die Vielfache einer Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3.

DefinitionBearbeiten

Ein Hauptideal eines Ringes   ist ein von einem einzigen Element   erzeugtes Ideal

 

EigenschaftenBearbeiten

Mit den Komplexprodukten

 
 

und

 

gilt jeweils für das von   erzeugte

  • Haupt-Linksideal:
     
  • Haupt-Rechtsideal:
     
  • (zweiseitige) Hauptideal:
     

Falls der Ring   ein Einselement 1 besitzt, folgt für das

  • Haupt-Linksideal:
     
  • Haupt-Rechtsideal:
     
  • (zweiseitige) Hauptideal:
     

BemerkungenBearbeiten

  • Es ist durchaus geläufig, mit   das von   erzeugte Hauptideal zu bezeichnen[1][2] (und nicht nur das darin enthaltene Komplexprodukt).
  • In kommutativen Ringen stimmen alle drei Arten von Hauptidealen überein, im Allgemeinen jedoch nicht.
  • Nicht jedes Ideal eines Ringes muss ein Hauptideal sein. Als Beispiel betrachten wir den kommutativen Ring   aller Polynome in zwei Unbestimmten über einem Körper  . Das von den beiden Polynomen   und   erzeugte Ideal   besteht aus allen Polynomen aus  , deren Absolutglied gleich   ist. Dieses Ideal ist kein Hauptideal, denn wäre ein Polynom   ein Erzeuger von  , dann müsste   ein Teiler sowohl von   als auch von   sein, was nur auf die konstanten Polynome ungleich   zutrifft. Diese sind aber in   nicht enthalten.

Verwandter BegriffBearbeiten

Ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Principal ideal. Encyclopedia of Mathematics. URL: https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Principal_ideal&oldid=35049, abgerufen 12. April 2018
  2. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-12-599841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Seite 21