Clifford-Algebra

mathematisches Objekt der Differentialgeometrie

Die Clifford-Algebra ist ein nach William Kingdon Clifford benanntes[1] mathematisches Objekt aus der Algebra, welches die komplexen und hyperkomplexen Zahlensysteme erweitert. Sie findet in der Differentialgeometrie sowie in der Quantenphysik Anwendung. Sie dient der Definition der Spin-Gruppe und ihrer Darstellungen, der Konstruktion von Spinorfeldern / -bündeln, die wiederum zur Beschreibung von Elektronen und anderen Elementarteilchen wichtig sind, sowie zur Bestimmung von Invarianten auf Mannigfaltigkeiten.

Die Frage nach komplexen EinheitenBearbeiten

VorbetrachtungBearbeiten

Es gibt in der Mathematik Zahlensysteme (Divisionsalgebren mit Einselement) mit komplexen Einheiten, genauer die komplexen Zahlen, die Quaternionen und Oktaven. In diesen können jeweils 1, 3 oder 7 Elemente   fixiert werden, welche mit der 1 zusammen den Zahlenraum als reellen Vektorraum aufspannen und welche (nicht nur)   erfüllen. Manchmal reicht das nicht aus. Zu einer beliebigen Anzahl   werden Strukturen gesucht, welche die reellen Zahlen und Elemente   enthalten und in der ein Produkt   definiert ist, welches die Bedingungen

 

erfüllt, wobei   das Kroneckersymbol ist und  . Das Verknüpfungssymbol lässt man gerne weg.

Die Elemente   heißen die Erzeugenden oder Generatoren der Clifford-Algebra. Das Produkt aller Erzeugenden wird durch   bezeichnet,  . Das Quadrat von   kann +1 oder −1 sein.

Diese Struktur ist, bis auf die genannten Beispiele, kein Zahlensystem in obigem Sinne, sondern kann nur als Algebra realisiert werden, in welcher die   Erzeugende sind. Eine solche Algebra wird Clifford-Algebra genannt, nach William Kingdon Clifford, der sie im Jahr 1878 entdeckt hat. Sie wird mit   oder   bezeichnet, falls

  und  

und sonst keine algebraische Beziehung der Erzeugenden gilt.

Bis hierher haben wir formale Rechenregeln aufgestellt, wissen aber noch nichts über die Existenz, Eindeutigkeit und Struktur einer solchen Algebra. Dieses Problem ist sofort gelöst, wenn man die Clifford-Algebra als Teil einer reellen Matrixalgebra darstellen kann.

Allgemeinere BetrachtungBearbeiten

Im mathematischen Teil werden die Rechenregeln durch eine universelle Eigenschaft ergänzt und die Clifford-Algebra aus einer Tensoralgebra konstruiert. Es sei vorerst nur angemerkt, dass die Erzeugenden   einen reellen (Unter-)Vektorraum   der Dimension n=p+q innerhalb der Algebra aufspannen. Summiert man die definierende Eigenschaft über die Koordinatendarstellung eines Vektors   dieses Vektorraums, so ergibt sich eine koordinatenfreie (in physikalischer Sprechweise: kovariante) Darstellung der definierenden algebraischen Relation.

 , wobei

  eine quadratische Funktion auf   ist, welche ein (Pseudo-)Skalarprodukt definiert:

  und
 .

Die Erzeugenden bilden dann eine Orthonormalbasis auf  .

Ein solches Paar aus reellem Vektorraum und darauf definierter quadratischer Funktion   ist der Ausgangspunkt für die mathematische Theorie der Clifford-Algebren.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Körper und   ein endlichdimensionaler quadratischer Raum.

Dann ist die Clifford-Algebra   des quadratischen Raums   definiert als die Algebra über  , die von   und dem Einselement   erzeugt wird und deren Multiplikation die Relation

 

erfüllt.

Dies ist wohldefiniert, da gezeigt werden kann, dass eine lineare Einbettung (also ein Vektorraumhomomorphismus)   in eine assoziative  -Algebra mit Eins, so dass die Relation

 

gilt, zu einem  -Algebra-Homomorphismus   fortgesetzt werden kann. Daher ist die Clifford-Algebra bis auf Isomorphie eindeutig.[2][3]

BeispieleBearbeiten

Komplexe ZahlenBearbeiten

Die komplexen Zahlen   können als einfachste Clifford-Algebra mit einer einzigen Erzeugenden verstanden werden. Der Vektorraum   ist eindimensional und von   erzeugt, also   und die quadratische Form auf   ist  . Die Algebra ist als reeller Vektorraum zweidimensional mit   und   als Basiselementen, sie lässt sich identifizieren mit der Algebra der 2x2-Matrizen der Form

 .

Solche Matrizen erfüllen also die Gleichung

 .

Diese Clifford-Algebra   wird auch, da sie ein Beispiel einer reellen Clifford-Algebra ist, mittels   notiert. Dies wird später in diesem Artikel definiert.

QuaternionenBearbeiten

Die Quaternionen ergeben sich aus der Clifford-Algebra  . Die Erzeugenden   haben ein nichttriviales Produkt  , aus den definierenden Eigenschaften des Produkts ergibt sich, dass es mit dem Produkt der Quaternionen übereinstimmt. Der Vektorraum   ist reell zweidimensional, die Algebra reell vierdimensional. Eine Matrixdarstellung ist die Teilalgebra der komplexen 2x2-Matrizen

 ,

durch Einsetzen der reellen 2x2-Matrizen der komplexen Zahlen   und   ergibt sich eine Teilalgebra der reellen 4x4-Matrizen.

Anormal-komplexe ZahlenBearbeiten

Die Algebra der anormal-komplexen Zahlen  , hat ein Erzeugendes   mit Quadrat 1. Daher können Elemente   der reell 2-dimensionalen Algebra in zwei Summanden aufgespaltet werden  , von denen der erste unter Multiplikation mit   sein Vorzeichen behält und der zweite sein Vorzeichen ändert. In der Multiplikation zweier Elemente multiplizieren sich diese Summanden separat, wie in der Multiplikation zweier Diagonalmatrizen. Die Algebra ist also isomorph zur direkten Summe zweier Kopien von  ,  .

Graßmann-AlgebraBearbeiten

Die Graßmann-Algebra   eines reellen Vektorraumes   ist die Clifford-Algebra   mit der trivialen quadratischen Form  . Innerhalb einer beliebigen Clifford-Algebra kann die Graßmann-Algebra konstruiert werden, indem das Keilprodukt als   – und analog als alternierende Summe bei mehr als zwei Faktoren – definiert wird.

Es kann umgekehrt jede Clifford-Algebra   innerhalb der Graßmann-Algebra   konstruiert werden, indem in dieser ein neues Produkt   definiert wird als

 .

Die Dimension der Algebra bleibt dabei erhalten, sie ist  , wobei  .

Diese Beziehung ist unter anderem für die Quantisierung supersymmetrischer Feldtheorien wichtig.

Alternative DefinitionenBearbeiten

Die Clifford-Algebra ist ein aus mathematischer Sicht natürliches Konstrukt zu einem Vektorraum mit darauf definierter quadratischer Form, denn sie kann als initiales Objekt einer Kategorie charakterisiert werden.

Als initiales ObjektBearbeiten

Man betrachte die Kategorie aller assoziativen  -Algebren  , in welche   eingebettet ist, das heißt aller Paare   mit   linear, die zusätzlich noch die Eigenschaft

  für alle   aus  

beziehungsweise die äquivalente Aussage

 

für alle  ,   aus   erfüllen. Die Morphismen dieser Kategorie sind Algebrenmorphismen, die die eingebetteten Kopien von V ineinander überführen, das heißt   erfüllt nicht nur  , sondern auch  .

Ein initiales Objekt einer Kategorie ist dadurch ausgezeichnet, dass es zu jedem anderen Objekt der Kategorie genau einen Morphismus gibt. Wenn es mehrere initiale Objekte gibt, dann sind diese isomorph. Jedes initiale Objekt   der hier betrachteten Kategorie, sofern überhaupt eins existiert, wird Clifford-Algebra   genannt. Zu jedem weiteren Paar   der Kategorie gibt es also einen eindeutig bestimmten Algebrenmorphismus   mit  .

Es sei im Folgenden   mit seiner Einbettung   identifiziert, das heißt, die Abbildung   wird nicht mehr explizit erwähnt.

Konstruktion in der TensoralgebraBearbeiten

In der Tensoralgebra   sei das Ideal   definiert. Dann ist der Quotient   eine Realisierung der Clifford-Algebra  .[2]

Spezielle Clifford-AlgebrenBearbeiten

Reelle Clifford-AlgebrenBearbeiten

Im Folgenden sei   ein n-dimensionaler Vektorraum.

  • Falls   mit dem Standardskalarprodukt ausgestattet ist, so wird die dadurch erzeugte Clifford-Algebra auch mit   bezeichnet. Die Erzeugenden sind dann die kanonischen Basisvektoren  , die quadratische Form, die aus dem Standardskalarprodukt induziert wird, ist die Quadratsumme der Koordinaten.
  • Ist der Raum   mit der Minkowski-Form mit der Signatur   ausgestattet, so dass   gilt. Dann ist die quadratische Form durch
 
gegeben. So wird die reelle Clifford-Algebra auch mit   notiert.

Komplexe Clifford-AlgebrenBearbeiten

Zu jeder reellen Clifford-Algebra kann auch die komplexifizierte Algebra

 

definiert werden. Diese Definition ist unabhängig vom komplexifizierten Skalarprodukt, denn auf   gibt es genau eine eindeutig bestimmte, nicht ausgeartete quadratische Form.

EigenschaftenBearbeiten

GraduierungBearbeiten

Die Abbildung

 

erfüllt ebenfalls die definierende Identität  , somit gibt es wegen der universellen Eigenschaft einen Algebrenisomorphismus   mit   für alle   und  . Damit zerfällt die Clifford-Algebra in einen geraden Teil

 

und einen ungeraden Teil  

Diese Zerlegung erzeugt eine  Graduierung der Algebra, Produkte gerade-gerade und ungerade-ungerade ergeben gerade Elemente, Produkte gerade-ungerade ergeben ungerade Elemente. So sind Produkte mit einer geraden Anzahl von Faktoren aus V gerade, Produkte mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren aus V ungerade.

  ist eine Unteralgebra der Clifford-Algebra und wird auch als zweite Clifford-Algebra bezeichnet,   ist ein lediglich ein Modul bezüglich  .

Filtrierte AlgebraBearbeiten

Da die Clifford-Algebra als Quotient aus der Tensoralgebra aufgefasst werden kann und die Tensoralgebra eine natürliche Filtrierung besitzt, kann auch für die Clifford-Algebra eine Filtrierung erklärt werden. Die Abbildung   ist die natürliche Projektion von der Tensoralgebra in den Quotientenraum   und   die Filtrierung der Tensoralgebra. Setzt man   so wird die Clifford-Algebra ebenfalls zu einer filtrierten Algebra.[4]

Beziehung zur orthogonalen GruppeBearbeiten

Sei   ein Vektorraum mit nicht ausgearteter symmetrischer Bilinearform   und  . In der Clifford-Algebra   können dann Spiegelungen in   dargestellt werden. Dazu wird eine elementare Folgerung aus der Struktur des Produkts benutzt:

 

Ist   ein Einheitsvektor,  , so ist die Abbildung  ,   die Spiegelung an der zu   senkrechten Hyperebene. Jede Spiegelung ist eine orthogonale Abbildung, somit ist die von den Spiegelungen erzeugte Gruppe eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe.

Die Pin-GruppeBearbeiten

Umgekehrt lässt sich jede orthogonale Abbildung in ein Produkt aus Spiegelungen zerlegen, siehe Householdertransformation beziehungsweise QR-Zerlegung. Die Zerlegung ist nicht eindeutig, aber die Clifford-Produkte der Einheitsvektoren der Spiegelmatrizen unterscheiden sich höchstens im Vorzeichen.

Zunächst wird die Pin-Gruppe als Menge aller Produkte von Einheitsvektoren definiert:

 

Diese Menge ist ein Untermonoid des multiplikativen Monoids der Clifford-Algebra und wird zur Gruppe durch die Existenz eines Inversen:  . Es gibt Produkte, deren Faktoren unterschiedlich sind, die aber dasselbe Element der Pin-Gruppe bezeichnen, etwa gilt für orthogonale Einheitsvektoren   und   mit   und jedes Paar  

 .

Jedoch gilt, dass jedem Element aus   genau eine orthogonale Abbildung

 

entspricht, deren Unabhängigkeit von der gewählten Faktorisierung aus der Eindeutigkeit des Inversen folgt. Weiter ist bekannt, dass   surjektiv der Ordnung 2 ist, d. h. eine zweifache Überlagerung. Die Urbilder der gleichen orthogonalen Abbildung unterscheiden sich nur um das Vorzeichen.

Die Spin-GruppeBearbeiten

Physikalisch und geometrisch bedeutsam ist aber eine Untergruppe der Pin-Gruppe, die Spin-Gruppe

 

der Produkte mit gerader Anzahl von Faktoren (aus der spielerischen Neudeutung der Spin-Gruppe als „spezielle Pin-Gruppe“ ergab sich der Begriff „Pin“-Gruppe). Von dieser ist bekannt, dass sie eine zweifache Überlagerung der speziellen orthogonalen Gruppe   ist, sowie dass sie, sofern die Dimension des zugrundeliegenden Vektorraumes größer als 2 ist, einfach zusammenhängend, das heißt universelle Überlagerung ist. Da die Matrixgruppe   eine Darstellung vom Gewicht 2 von   ist, sagt man in der Physik auch, dass Darstellungen der Spin-Gruppe vom Gewicht 1 Spin- -Darstellungen der orthogonalen Gruppe seien.

DarstellungenBearbeiten

Eine Darstellung einer Algebra ist eine Einbettung dieser in die Algebra der Endomorphismen eines Vektorraums, also (nach Basiswahl) in eine Matrixalgebra. Dabei können die Matrizen reelle, komplexe oder quaternionische Einträge haben.

Es lässt sich zeigen, dass jede Clifford-Algebra zu einer Matrixalgebra oder der direkten Summe zweier Matrix-Algebren über den reellen Zahlen  , den komplexen Zahlen   oder den Quaternionen   isomorph ist.

Reelle Clifford-AlgebraBearbeiten

Die Zuordnung und Dimension der reellen Clifford-Algebren tabelliert sich wie folgt:

(pq) mod 8 ω2 Cl(p,q,ℝ)
(p+q = 2m)
(pq) mod 8 ω2 Cl(p,q,ℝ)
(p+q = 2m + 1)
0 + M(2m, ℝ) 1 M(2m, ℂ)
2 M(2m−1, ℍ) 3 + M(2m−1, ℍ) ⊕ M(2m−1, ℍ)
4 + M(2m−1, ℍ) 5 M(2m, ℂ)
6 M(2m, ℝ) 7 + M(2m, ℝ) ⊕ M(2m, ℝ)

Dabei gelten die folgenden allgemeinen Isomorphien:

  •  
  •  
  •  

Komplexe Clifford-AlgebraBearbeiten

Die Darstellung der komplexen Clifford-Algebra ist einfacher als die der reellen. Es gilt nämlich

 

In diesem Zusammenhang gilt die Isomorphie

 

die auch essentiell für den Beweis der Darstellung ist. Ist   gerade, so nennt man   mit   der natürlichen Graduierung   in diesem Zusammenhang Spinor-Modul.

Niedrigdimensionale BeispieleBearbeiten

Die Dimension von   als reeller Vektorraum ist 2p+q. Damit lässt sich die Clifford-Algebra durch reelle Matrizen dieser Dimension darstellen, welche die Multiplikation in der Algebra beschreiben. Diese Darstellung ist nicht minimal, d. h. es gibt Matrizen geringerer Dimension, welche das gleiche leisten, siehe [1] und die Beispiele unten.

  •  
hat den Generator   mit  . Es gibt also eine komplex eindimensionale Darstellung, welche   auf die imaginäre Einheit i abbildet, und die entsprechende reell zweidimensionale.
  •  
Der Generator ist   mit  . Jedes Element   der Algebra kann in zwei Summanden   und   aufgespaltet werden. Da   gilt, erhält sich diese Aufspaltung unter Produktbildung. Die Clifford-Algebra ist also isomorph zum   mit komponentenweisem Produkt, wobei   dem Element   entspricht und das Einselement dem Element  . Diese direkte Summe zweier Algebren kann auch als Algebra der 2x2-Diagonalmatrizen realisiert werden.
  •  
hat die Generatoren   und   und deren Produkt k=ij mit den Relationen
 .
Man rechnet nach, dass dies zur Algebra der Quaternionen isomorph ist.
  •  
hat die Generatoren   und  ,  ,   und  . Man überzeugt sich, dass die Generatoren folgenden reellen 2x2-Matrizen entsprechen:
 
somit alle reellen Matrizen erreicht werden.
  •  
hat die Generatoren   und   mit Quadrat 1, deren Produkt   hat das Quadrat  , somit ist diese Algebra isomorph zur vorhergehenden.

Quantenphysikalisch bedeutsame BeispieleBearbeiten

  •   (Biquaternionen)
hat die Erzeuger  ,   und   mit den Relationen
 ,  ,  ,  .
Sowohl reelle als auch komplexe Darstellungen zerfallen als  , wobei   Nullraum des Projektors   und   Nullraum des Projektors   mit   ist. Es gilt  , so dass beide Untervektorräume voneinander unabhängige Unterdarstellungen erzeugen.
Eine rein negative Darstellung, d. h. mit  , ist direkt zur Quaternionen-Algebra isomorph,
 ,
eine rein positive ist konjugiert isomporph,
 .
In beiden Fällen gilt das zu   gesagte.
  •  
  •  
  •  
  •  
Der gerade Teil dieser Algebra, der die  -Gruppe enthält, ist zu   isomorph. Er wird erzeugt von  , es ist z. B.  .
  •  
  oder
 
  •  
  oder
 

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. William Kingdon Clifford. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2. a b Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 298). Springer, Berlin u. a. 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 100.
  3. H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 8f.
  4. H. B. Lawson, M.-L. Michelsohn: Spin Geometry. 1989, S. 9–10.