Symmetrische Algebra

In der Mathematik dienen symmetrische Algebren zur Definition von Polynomen über beliebigen Vektorräumen. Sie spielen eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der Lie-Gruppen und in der Theorie der charakteristischen Klassen.

Formale DefinitionBearbeiten

Es sei   ein Vektorraum über einem Körper  . Weiter sei

 

das  -fache Tensorprodukt von   mit den Konventionen   und  . Die direkte Summe

 

ist die Tensoralgebra von  .

Das zweiseitige, homogene Ideal   sei erzeugt durch Differenzen von Elementartensoren mit "vertauschter Reihenfolge":

 .

Die symmetrische Algebra ist dann definiert als der Quotientenraum

 .

Die  -te symmetrische Potenz von   ist definiert als das Bild von   in  , sie wird mit   bezeichnet. Man hat eine Zerlegung

 .

Das Produkt in der symmetrischen Algebra wird traditionell als   geschrieben.

Analog kann man die symmetrische Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.

BeispieleBearbeiten

Für   ist   isomorph zum Polynomring  .

Allgemein kann man die Elemente von   als Polynome in den Elementen einer fest gewählten  -Basis von   interpretieren.

Speziell für  , den Vektorraum der  -Matrizen über  , kann man die Elemente von   als Polynome in den Einträgen der Matrizen interpretieren:

 .

Polynome über VektorräumenBearbeiten

Homogene Polynome vom Grad   über einem  -Vektorraum   sind – per Definition – die Elemente aus  , wobei   den Dualraum bezeichnet. Diese Polynome sind lineare Abbildungen

 

welche unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe   invariant sind. (Man beachte, dass ein solches Polynom durch seine Werte   für alle   bereits eindeutig festgelegt wird.)

Das Produkt

 

ist definiert durch

 .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten