Charakteristische Klasse

Eine charakteristische Klasse ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialtopologie. Sie ist eine topologische Invariante eines Vektorbündels und kann durch eine Differentialform dargestellt werden. Eine charakteristische Klasse beschreibt mehr oder weniger die „Verdrehtheit“ eines Bündels, so entspricht die charakteristische Klasse eines trivialen Bündels meistens dem Eins-Element.

DefinitionBearbeiten

Sei   oder  . Ist   ein Vektorbündel mit Faser   und   die Graßmann-Mannigfaltigkeit  , so lässt sich eine bis auf Homotopie eindeutige Abbildung   definieren, die durch eine Bündelabbildung   in das tautologische Bündel über   überlagert wird.

Sei   ein kommutativer Ring mit Eins-Element. Zu jeder Kohomologieklasse   ist die charakteristische Klasse   definiert durch

 

MotivationBearbeiten

Ein n-dimensionales Vektorbündel   ist genau dann trivial, wenn seine klassifizierende Abbildung   nullhomotop (homotop zu einer konstanten Abbildung) ist. Diese Bedingung ist aber schwer zu überprüfen. Leichter zu überprüfen ist, ob die induzierten Abbildungen in Homologie oder Kohomologie trivial sind und genau dies wird von charakteristischen Klassen gemessen.

BeispieleBearbeiten

PrinzipalbündelBearbeiten

Allgemeiner kann man charakteristische Klassen von Prinzipalbündeln definieren. Jeder Kohomologieklasse   des klassifizierenden Raumes   der Lie-Gruppe   entspricht eine charakteristische Klasse von  -Prinzipalbündeln  . Diese wird definiert durch  , wobei   die klassifizierende Abbildung von   ist.

Im Falle von   oder   entsprechen die charakteristischen Klassen von  -Prinzipalbündeln den charakteristischen Klassen der assoziierten Vektorbündel.

Umgekehrt kann man zu jedem mit einer Metrik versehenen (reellen oder komplexen) Vektorbündel das Rahmenbündel als Prinzipalbündel (mit Strukturgruppe   oder  ) betrachten, dessen charakteristische Klassen den charakteristischen Klassen des Vektorbündels entsprechen.

Charakteristische Klassen von Prinzipalbündeln lassen sich mittels Chern-Weil-Theorie aus der Krümmungsform eines Zusammenhanges berechnen. Insbesondere verschwinden die charakteristischen Klassen flacher Bündel. Für diese kann man dann sekundäre charakteristische Klassen definieren.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten