Hauptfaserbündel

Konzept der Differentialgeometrie
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In der Mathematik ist das Hauptfaserbündel, beziehungsweise Prinzipalfaserbündel oder Prinzipalbündel, ein Konzept der Differentialgeometrie, mit dem getwistete Produkte formalisiert werden und das unter anderem in der Physik zur Beschreibung von Eichfeldtheorien und speziell Yang-Mills-Feldern verwendet wird.

Produkte (triviale Prinzipalbündel)Bearbeiten

Prinzipalbündel verallgemeinern den Begriff des kartesischen Produktes   eines Raumes   und einer topologischen Gruppe  . So wie das kartesische Produkt   besitzt auch ein Prinzipalbündel   die folgenden Eigenschaften:

  1. Eine Gruppenoperation von   auf   in der gleichen Art, wie   für den Produktraum
  2. Eine Projektionsabbildung von   nach   die im Falle eines Produktraumes einfach die Projektion auf den ersten Faktor darstellt:  .

Anders als Produkträume haben Prinzipalbündel keinen bevorzugten Schnitt, wie er im Produktfall durch das neutrale Element der Gruppe   gegeben ist. Es gibt also zu Elementen   kein bevorzugtes Element aus   als Identifikation von  . Genauso wenig gibt es allgemein eine stetige Projektion auf   welche die Projektion auf das zweite Element des Produktraumes verallgemeinert:  . Prinzipalbündel können deswegen komplizierte Topologien haben, die eine Darstellung des Bündels als Produktraum verhindern, selbst wenn einige zusätzliche Annahmen gemacht werden.

Funktionen   lassen sich als Schnitte im trivialen Prinzipalbündel   interpretieren, nämlich als  . Schnitte in Prinzipalbündeln verallgemeinern also den Begriff der G-wertigen Abbildungen.

DefinitionBearbeiten

Ein Prinzipalbündel ist ein Faserbündel   über einem Raum   mit der Projektion  , versehen mit einer stetigen Rechtsoperation   (im Folgenden notiert als  ) einer topologischen Gruppe  , sodass die Operation jede Faser auf sich selbst abbildet (das heißt   für alle   und alle  ) und die Gruppe frei (jeder Punkt wird nur unter dem neutralen Element der Gruppe invariant) und transitiv (jeder Punkt einer Faser wird von jedem anderen mittels der Gruppenoperation erreicht) auf jeder Faser operiert. Die Gruppe   heißt Strukturgruppe des Prinzipalbündels.

Sind   und   glatte Mannigfaltigkeiten, die Strukturgruppe eine Lie-Gruppe und die Operation selbst glatt, so heißt das Prinzipalbündel glattes Prinzipalbündel.

TrivialisierungBearbeiten

Wie bei jedem Faserbündel ist die Projektion topologisch gesehen lokal trivialisierbar: Es gibt also zu jedem   eine offene Umgebung  , sodass   homöomorph ist zu  . Jede Faser ist homöomorph zur als topologischer Raum aufgefassten Strukturgruppe  . Eine Trivialisierung eines Prinzipalbündels ist sogar unter Berücksichtigung der Gruppenoperation möglich: Es lässt sich ein äquivarianter Homöomorphismus   wählen, sodass

 

für alle  . Jede solche lokale Trivialisierung   induziert einen lokalen Schnitt   vermöge  , wobei   das neutrale Element bezeichne.

Umgekehrt induziert auch jeder lokale Schnitt   eine lokale Trivialisierung   gegeben durch   mit  . Die lokale Trivialisierbarkeit folgt also aus der Existenz lokaler Schnitte, welche allgemein auf Faserbündeln existieren. Anders als bei allgemeinen Faserbündeln (man betrachte etwa das Tangentialbündel einer glatten Mannigfaltigkeit) impliziert nicht nur die globale Trivialisierbarkeit die Existenz eines globalen Schnittes, sondern auch die Existenz eines globalen Schnittes die Trivialisierbarkeit.

Im physikalischen Kontext lässt sich die Wahl einer Eichung als (je nach Situation lokale oder globale) Wahl einer Trivialisierung bzw. eines Schnittes verstehen.[1]

BeispieleBearbeiten

RahmenbündelBearbeiten

Sei   eine differenzierbare n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Das Rahmenbündel   ist die Menge aller Basen von Tangentialräumen  , mit der kanonischen Projektion  . Die Gruppe   wirkt transitiv und treu auf den Fasern.

ÜberlagerungenBearbeiten

Galois-Überlagerungen sind Prinzipalbündel mit der diskreten Gruppe der Decktransformationen als Strukturgruppe.

Homogene RäumeBearbeiten

Sei   eine Lie-Gruppe und   eine abgeschlossene Untergruppe, dann ist   ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe  .

In der Topologie und Differentialgeometrie gibt es einige Anwendungsfälle der Prinzipalbündel. Desgleichen gibt es Anwendungen der Prinzipalbündel in der Physik. Dort bilden sie einen entscheidenden Teil des mathematischen Rahmens der Eichtheorien.

Assoziierte VektorbündelBearbeiten

Im Falle von   kann man zu jedem  -Prinzipalbündel   ein assoziiertes komplexes Vektorbündel   definieren durch

 

mit der Äquivalenzrelation

 .

Analog kann man zu jedem  -Prinzipalbündel ein assoziiertes reelles Vektorbündel definieren.

Zum Beispiel sei   eine differenzierbare n-dimensionale Mannigfaltigkeit und   das Rahmenbündel. Dann ist das Tangentialbündel   das assoziierte Vektorbündel für die kanonische Wirkung von   auf  .

Reduktion der StrukturgruppeBearbeiten

Ein  -Prinzipalbündel   lässt sich auf eine Untergruppe   reduzieren, wenn das Bündel   einen Schnitt besitzt. Insbesondere ist ein Prinzipalbündel genau dann trivial, wenn es sich auf die Untergruppe   reduzieren lässt.

BeispieleBearbeiten

Betrachte das Rahmenbündel   einer n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit, die Strukturgruppe ist  . Dann gilt:

  • die Strukturgruppe lässt sich genau dann auf   reduzieren, wenn das Tangentialbündel   linear unabhängige Schnitte hat,
  • die Strukturgruppe lässt sich immer auf   reduzieren, dies entspricht der Wahl einer Riemannschen Metrik,
  • die Strukturgruppe lässt sich genau dann auf   reduzieren, wenn die Mannigfaltigkeit orientierbar ist.

Sei im Folgenden   eine gerade Zahl:

  • die Strukturgruppe lässt sich genau dann auf   reduzieren, wenn die Mannigfaltigkeit fastkomplex ist,
  • wenn die Mannigfaltigkeit symplektisch ist, dann lässt sich die Strukturgruppe auf   reduzieren.

Sei im Folgenden   eine ungerade Zahl:

  • wenn die Mannigfaltigkeit eine Kontaktstruktur besitzt, dann lässt sich die Strukturgruppe auf   reduzieren.

Zusammenhang, KrümmungBearbeiten

Eine wichtige Rolle beim Studium von Prinzipalbündeln spielen Zusammenhangs-1-Formen   und deren Krümmungs-2-Formen  .

Anwendung: ElektromagnetismusBearbeiten

In einem ladungsfreien   erfüllen das elektrische Feld   und das Magnetfeld   die Maxwell-Gleichungen. Die Felder besitzen Potentiale   und   mit   und  . Diese Potentiale sind jedoch nicht eindeutig, denn   und   für eine beliebige Funktion   geben dieselben Felder.

Man betrachtet die Minkowski-Raum-Zeit   und das Prinzipalbündel   mit der Zusammenhangsform  . Deren Krümmungsform gibt das elektromagnetische Feld:

 

Die Eich-Transformationen sind von der Form  .

Die Maxwell-Gleichungen lassen sich formulieren als  , wobei   der Hodge-Operator ist.

LiteraturBearbeiten

  • David Bleecker: Gauge Theory and Variational Principles, Dover edition. Auflage, Addison-Wesley Publishing, 1981, ISBN 0-486-44546-1..
  • Jürgen Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (4th ed.). Auflage, Springer, New York 2005, ISBN 3-540-25907-4..
  • R. W. Sharpe: Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer, New York 1997, ISBN 0-387-94732-9..
  • Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton 1951, ISBN 0-691-00548-6..
  • Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. vieweg, Braunschweig 1995, ISBN 3-528-06565-6..

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Pierre Deligne, Pavel Etingof, Daniel Freed, Lisa Jeffrey, David Kazhdan, John Morgan, David Morrison, Edward Witten (Hrsg.): Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians. American Mathematical Society, 1999, ISBN 0-8218-1987-9, S. 18.