Symplektische Mannigfaltigkeit

Symplektische Mannigfaltigkeiten sind die zentralen Objekte der symplektischen Geometrie, eines Teilgebiets der Differentialgeometrie. Die symplektischen Mannigfaltigkeiten haben einen sehr starken Bezug zur theoretischen Physik.

DefinitionBearbeiten

Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit   zusammen mit einer symplektischen Form  , das heißt einer globalen, glatten und geschlossenen 2-Form, die punktweise nicht ausgeartet ist (siehe auch symplektischer Raum). „Geschlossen“ bedeutet, dass die äußere Ableitung der Differentialform verschwindet,  .[1]

Symplektische Mannigfaltigkeiten haben immer eine geradzahlige Dimension, da antisymmetrische Matrizen in ungeraden Dimensionen nicht invertierbar sind und deshalb antisymmetrische Bilinearformen in ungerader Dimension ausgeartet sind.

Poisson-KlammerBearbeiten

Da die Form   nicht ausgeartet ist, definiert sie mit ihrem Inversen an jedem Punkt eine bilineare Abbildung von Eins-Formen   und  

 

und die Poisson-Klammer der Funktionen   und  ,

 

Lagrangesche UntermannigfaltigkeitBearbeiten

Eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit einer 2n-dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeit   ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit   mit

 ,

d. h. die Einschränkung der symplektischen Form auf den Tangentialraum von L verschwindet.

Hamilton’scher FlussBearbeiten

In einem Euklidischen Raum ist der Gradient einer Funktion   dasjenige Vektorfeld  , dessen Skalarprodukt   für jedes gegebene Vektorfeld   mit der Anwendung von   auf   übereinstimmt,

 

In einer Symplektischen Mannigfaltigkeit gehört zu gegebenem f und einer gegebenen beliebigen Funktion   das Vektorfeld

 

das Funktionen   längs einer Integralkurve der zu   (interpretiert als sog. Hamiltonfunktion des Systems) gehörigen hamiltonschen Gleichungen ableitet. Die Rolle von w wird hier also durch h übernommen, und es wird für h die Symplektische Geometrie bzw. die Hamilton’sche Dynamik benutzt.

Das Vektorfeld   ist also der Symplektische Gradient von   oder der infinitesimale Hamilton’sche Fluss von  .

Satz von DarbouxBearbeiten

Der Satz von Darboux benannt nach dem Mathematiker Jean Gaston Darboux besagt:[2]

In der Umgebung jedes Punktes einer symplektischen Mannigfaltigkeit gibt es lokale Koordinatenpaare   mit

 

Die so definierten Koordinatenpaare werden als kanonisch konjugiert bezeichnet.

Beziehung zur Hamiltonschen MechanikBearbeiten

In der Hamiltonschen Mechanik ist der Phasenraum eine symplektische Mannigfaltigkeit mit der geschlossenen, symplektischen Form

 

Dies ist kein Spezialfall, denn nach dem Satz von Darboux lässt sich   in lokalen Koordinaten immer als   schreiben. Bei symplektischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um die Phasenräume der Hamiltonschen Mechanik.

Die mathematische Aussage bezüglich   ist äquivalent zu den sogenannten kanonischen Gleichungen der theoretischen Physik, speziell in der analytischen Mechanik.

In diesem Zusammenhang ist auch das Liouville-Theorem von Bedeutung, das in der statistischen Physik eine Rolle spielt. Es besagt im Wesentlichen, dass bei Hamilton'schen Flüssen das Phasenraumvolumen konstant bleibt, was für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsmaße dieser Theorie wichtig ist.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics (= Graduate Texts in Mathematics 60). 2. Auflage, Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-96890-3.
  • Rolf Berndt: Einführung in die Symplektische Geometrie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1998, ISBN 3-528-03102-6.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Definition symplektischer Mannigfaltigkeiten nach Vladimir I. Arnold Mathematical Methods of Classical Mechanics. 2. Auflage, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3, S. 201 (Kapitel 8 – Symplectic Manifolds). Ebenso in Ana Cannas da Silva: Lectures on Symplectic Geometry. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-42195-5.
  2. Ein Beweis findet sich in V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics. 2. Auflage. Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3, Kapitel 8.