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Die statistische Physik beschäftigt sich mit der Beschreibung von Naturphänomenen, an denen zwar eine große Anzahl an Teilsystemen (z. B. Teilchen, Photonen) beteiligt ist, aber nur Aussagen über die Gesamtheit interessieren oder grundsätzlich nur eine unvollständige Information über das Detailverhalten der Teilsysteme vorhanden ist.

Inhaltsverzeichnis

BedeutungBearbeiten

Die statistische Physik ist eine fundamentale physikalische Theorie, deren mathematische Basis Sätze aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und der asymptotischen Statistik, z. B. das Gesetz der großen Zahlen, sowie einige wenige physikalische Hypothesen bilden. Mit ihrer Hilfe werden u. a. Gesetze der Thermodynamik abgeleitet und begründet. Ein Teilgebiet stellt die statistische Mechanik dar.

AllgemeinesBearbeiten

Statistische Zusammenhänge können überall dort formuliert werden, wo eine beobachtbare Größe eines Systems abhängig von den Eigenschaften seiner Subsysteme ist. Wahrscheinlichkeitsverteilungen kommen dadurch ins Spiel, dass Subsysteme in verschiedenen Zuständen vorliegen können, diese aber zu gleichen Werten der beobachteten Größen des Gesamtsystems führen. Es ist in dieser Situation meist nicht praktikabel oder gar unmöglich, die Eigenschaften aller Subsysteme im Detail zu ermitteln, um daraus auf den Wert einer interessierenden zu beobachtenden Größe zu schließen. Es stellt sich heraus, dass es meist auch gar nicht notwendig ist, Kenntnisse über alle Details aller Subsysteme zu besitzen, um praktikable Aussagen über das Gesamtverhalten des Systems machen zu können.

Beispielsweise sind in 1 Liter Wasser etwa   Wassermoleküle enthalten. Um das Fließen von 1 Liter Wasser in einem Rohr zu beschreiben, wäre es unpraktikabel, die Wege aller 33 000 000 000 000 000 000 000 000 Wassermoleküle einzeln auf atomarer Ebene verfolgen zu wollen. Es reicht aus, das Verhalten des Systems im Großen nachzuvollziehen. Die statistische Physik stellt Begriffe und Methoden zur Verfügung, mit denen aus bekannten physikalischen Naturgesetzen über Teilsysteme (z. B. Teilchen) Aussagen über das System im Ganzen getroffen werden können.

Formulierung statistischer Naturgesetze für Systeme im GleichgewichtBearbeiten

Bei der Formulierung statistischer Naturgesetze muss man zunächst das zu beschreibende System über Erhaltungsgrößen eingrenzen. Besitzt das System die Erhaltungsgröße E, dann wird postuliert, dass alle Zustände, die ohne Verletzung dieser Erhaltungsgröße erreichbar sind, gleich wahrscheinlich realisiert werden (Ergodizität). Als Nächstes ermittelt man über physikalische Modelle die Zahl der möglichen Zustände   in Abhängigkeit von dieser Erhaltungsgröße:  .

Bringt man zwei Systeme   und   in Wechselwirkung und ermöglicht den Austausch der Erhaltungsgrößen   und  , so gilt für die Zahl der Zustände des Gesamtsystems:

 

Das Gesamtsystem hat eine wahrscheinlichste Verteilung, bei der gilt:

 

Wegen der Erhaltungseigenschaft

 

gilt

 

 

oder

 

EntropieBearbeiten

Die Größe   wird als die Entropie des Systems bezeichnet. Sie ist, bis auf einen Vorfaktor (die Boltzmannkonstante  ), identisch mit der thermodynamischen Entropie. Subsysteme   werden im Kontakt die Erhaltungsgröße   austauschen und dabei am häufigsten jene Zustände einnehmen, für die gilt

 

Zustände weit außerhalb dieses Gleichgewichtszustandes sind zwar möglich, aber für große Systeme so unwahrscheinlich, dass sie als praktisch unmöglich angesehen werden können. Mit dem Entropiebegriff kann so quantitativ unser empirisches Empfinden erklärt werden, dass Systeme in Kontakt einem neuen Gleichgewichtszustand zustreben und ihre Ausgangszustände nie wieder einnehmen. Entropieeffekte spielen beispielsweise beim Fluktuationstheorem eine große Rolle.

TemperaturBearbeiten

Betrachtet wird ein System aus zwei Subsystemen, bei dem das eine viel größer als das andere ist. Das große System   wird die Erhaltungsgröße   mit dem kleinen System   austauschen. Bei ausreichend deutlichem Größenunterschied kann der funktionale Zusammenhang   des großen Systems als linear angenommen werden, da   nur in kleinen Mengen ausgetauscht wird. Die Ableitung von   ist dann eine Konstante  :

 

Für kleine Differenzen   ist das Verhältnis der Zahl benachbarter Zustände   von   dann

 

und für endliche Differenzen

 

Die Statistik des kleinen Systems wird also vom großen System derart beeinflusst, dass jeder Zustand des kleinen Systems mit einem Wahrscheinlichkeitsfaktor   korrigiert wird. Eine solche Statistik heißt kanonisches Ensemble. Das große System wird als statistisches Bad oder Reservoir bezeichnet. Über die absoluten Werte von   des Reservoirs muss dabei keinerlei Wissen vorliegen.

Wird als konkrete Erhaltungsgröße die Energie betrachtet, so befindet sich das kleine System im thermischen Kontakt mit einem Wärmereservoir der thermodynamischen Temperatur  :

 

In der Formel ist   die Boltzmann-Konstante.

Erweiterung auf mehr ErhaltungsgrößenBearbeiten

Tauscht ein kleines System zusätzlich Teilchen   mit einem Reservoir aus, so befindet sich das kleine System in diffusem Kontakt mit einem Teilchenreservoir. Wieder werden über das Teilchenreservoir keine Annahmen über die absoluten Zahlen   gemacht; lediglich wird angenommen, dass für den kleinen Bereich, in dem das kleine System mit dem Reservoir Teilchen austauscht, gilt:

 .

Jeder Zustand im kleinen System tritt dann mit einer Häufigkeit   auf, und das durch diese Verteilung beschriebene statistische Ensemble wird als großkanonisches Ensemble bezeichnet. Die Größe   entspricht bis auf den Faktor   dem chemischen Potential des Teilchenreservoirs.