Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

DefinitionBearbeiten

Die Poisson-Klammer ist definiert als

 

mit

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen   und   definiert werden, die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:

 .

EigenschaftenBearbeiten

 
 
 
 
Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte; damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien   und   zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen transformiert werden, so gilt:
 .
Der Beweis ist länglich, sodass wir ihn hier auslassen.

Fundamentale Poisson-KlammernBearbeiten

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

 
 
  (Kronecker-Delta).

Sie folgen aus den trivialen Beziehungen

 .

AnwendungBearbeiten

Hamiltonsche BewegungsgleichungBearbeiten

Mit Hilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen   eines Hamiltonschen Systems   ausgedrückt werden.

Diese Zeitevolution einer beliebigen Observablen wird beschrieben durch die totale Ableitung nach der Zeit:

 .

Einsetzen der Hamiltonschen Gleichungen

 

und

 

ergibt

 .

Der vordere Teil entspricht der Definition der Poisson-Klammer:

 .

Insbesondere kann man mit dieser Gleichung Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen) charakterisieren. Eine Observable ist nämlich genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn gilt:

 

Ist   nicht explizit zeitabhängig  , so wird daraus:

 


Außerdem können die Hamiltonschen Gleichungen auch über die Poisson-Klammer definiert werden:

 
 

WeiteresBearbeiten

 
  • In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson-Klammer ersetzt durch   mal den Kommutator:[1]
 
Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator   im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.
  • Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.
  • Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit symplektischer Form, die in lokalen Koordinaten gegeben ist durch  , die Poisson-Klammer der Funktionen   und   durch:
 
  • Koordinatenunabhängig lässt sich die Poisson-Klammer wie folgt darstellen: es sei   der durch   beschriebene Isomorphismus. Weiter sei für eine Funktion   das Vektorfeld   definiert als  . Damit gilt dann
 

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Hong-Tao Zhang: A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software, arxiv:quant-ph/0204081