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Gradient (Mathematik)

Differentialoperator auf einen Skalar
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Zwei Skalarfelder, dargestellt als Grauschattierung (dunklere Färbung entspricht größerem Funktionswert). Die blauen Pfeile darauf symbolisieren den zugehörigen Gradienten.

Der Gradient ist ein mathematischer Operator, genauer ein Differentialoperator, der auf ein Skalarfeld angewandt werden kann und in diesem Fall ein Vektorfeld liefert, das Gradientenfeld genannt wird. Der Gradient kann als eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis betrachtet werden. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren.[1]

In kartesischen Koordinaten sind die Komponenten des Gradientvektors die partiellen Ableitungen im Punkt , der Gradient zeigt deshalb in die Richtung der größten Änderung. Der Betrag des Gradienten gibt den Wert der größten Änderungsrate an diesem Punkt an.

Interpretiert man beispielsweise die Reliefkarte einer Landschaft als eine Funktion  die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von an der Stelle ein Vektor, der in die Richtung des größten Höhenanstiegs von zeigt. Der Betrag dieses Vektors gibt die größte Steigung an diesem Punkt an.

Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Divergenz und Rotation in der Vektoranalysis, einem Teilgebiet der mehrdimensionalen Analysis, untersucht. Sie werden mit dem gleichen Vektoroperator gebildet, und zwar mit dem sogenannten Nabla-Operator (um anzudeuten, dass der Nabla-Operator hilfsweise als Vektor verstanden werden kann, bisweilen auch oder ).

DefinitionBearbeiten

Auf   sei das Skalarprodukt   gegeben. Der Gradient   der total differenzierbaren Funktion   im Punkt   ist der durch die Forderung

 

eindeutig bestimmte Vektor   Der Operator   ist das totale Differential bzw. die Cartan-Ableitung.

KoordinatendarstellungBearbeiten

Der Gradient hat in unterschiedlichen Koordinatensystemen auch unterschiedliche Darstellungen.

Kartesische KoordinatenBearbeiten

Im   mit dem euklidischen Standardskalarprodukt ist   der Spaltenvektor

 

Die Einträge   sind die partiellen Ableitungen von   in  -Richtung. Oft schreibt man bei kartesischen Koordinaten auch   (gesprochen „Nabla  “) statt  . In drei Dimensionen hat der Gradient somit die Darstellung

 

wobei  ,   und   die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen bezeichnen.

RechenbeispielBearbeiten

Gegeben sei ein Skalarfeld durch   Somit sind die partiellen Ableitungen   und   und es folgt   oder in Vektordarstellung  

Für den Punkt  lautet beispielsweise der Gradientvektor  . Der Betrag ist  .

Zylinder- und KugelkoordinatenBearbeiten

  • Darstellung in dreidimensionalen Zylinderkoordinaten:  
 
  • Darstellung in dreidimensionalen Kugelkoordinaten:  
 

Dies sind Spezialfälle des Gradienten auf riemannschen Mannigfaltigkeiten. Für diese Verallgemeinerung siehe: Äußere Ableitung.

Orthogonale KoordinatenBearbeiten

In allgemeinen orthogonalen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung

 

wobei die   den Betrag und   die Richtung des Vektors   angeben.

Allgemein krummlinige KoordinatenBearbeiten

In allgemein krummlinigen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung

 

worin   der Gradient der Koordinate   ist.

Koordinatenfreie Darstellung als VolumenableitungBearbeiten

Mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß kann der Gradient, ähnlich wie die Divergenz (Quellendichte) und die Rotation (Wirbeldichte) als Volumenableitung dargestellt werden. Diese Darstellung hat den Vorteil, dass sie koordinatenunabhängig ist. Aus diesem Grund wird der Gradient im Bereich der Ingenieurwissenschaften oftmals direkt so definiert.

Ist   ein Raumgebiet mit stückweise glattem Rand   und dem Volumen   dann kann der Gradient des Skalarfelds   im Punkt   mittels der Volumenableitung durch

 

berechnet werden. Dabei bezeichnet   das äußere vektorielle Flächenelement von   wobei   der nach außen zeigende Normalenvektor und   das skalare Flächenelement ist.[2]

Zur Grenzwertbildung wird das Raumgebiet   auf den Punkt   zusammengezogen, sodass sein Inhalt   gegen null geht. Ersetzt man   durch einen Druck, erscheint der Gradient als Kraftdichte. Die Koordinatendarstellungen des vorigen Abschnitts ergeben sich aus der Volumenableitung, wenn man das jeweilige Volumenelement, beispielsweise Kugel oder Zylinder, als Raumgebiet   wählt.

Riemannsche MannigfaltigkeitenBearbeiten

Für eine glatte Funktion   auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit   ist der Gradient von   dasjenige Vektorfeld  , mit dem für jedes Vektorfeld   die Gleichung

 

gilt, wobei   das durch   definierte innere Produkt von Tangentialvektoren an   ist und   (oft auch   bezeichnet) diejenige Funktion ist, die jedem Punkt   die Richtungsableitung von   in Richtung  , ausgewertet in  , zuordnet. Mit anderen Worten, in einer Karte   von einer offenen Teilmenge von   auf eine offene Teilmenge von   ist   gegeben durch:

 

wobei   die  -te Komponente von   in diesen Koordinaten bedeutet.

In lokalen Koordinaten hat der Gradient also die Form

 

Analog zum Fall   hat man den Zusammenhang des Gradienten mit der äußeren Ableitung vermittels

 

Genauer:   ist das der 1-Form   unter dem mittels der Metrik   definierten musikalischen Isomorphismus („sharp“)

 

entsprechende Vektorfeld. Der Zusammenhang zwischen äußerer Ableitung und Gradienten für Funktionen auf dem   ist der Spezialfall für die durch das euklidische Skalarprodukt gegebene flache Metrik.

Geometrische InterpretationBearbeiten

Geometrisch betrachtet ist der Gradient eines Skalarfelds an einem Punkt ein Vektor, der in Richtung des steilsten Anstieges des Skalarfeldes weist. Der Gradient steht dabei senkrecht auf der Niveaufläche (Niveaumenge) des Skalarfeldes in einem Punkt  . Dabei entspricht der Betrag des Vektors der Stärke des Anstieges. Befindet man sich an einem lokalen Minimum oder Maximum (Extremum) oder an einem Sattelpunkt, so ist der Gradient an dieser Stelle gerade der Nullvektor, vorausgesetzt, dass dieser Extrempunkt im Inneren des betrachteten Gebietes liegt.

Mit Hilfe des Gradienten lässt sich auch der Anstieg in jeder beliebigen Richtung, Richtungsableitung genannt, ermitteln, der – im Unterschied zum Gradienten – wieder ein Skalar ist.

EigenschaftenBearbeiten

Für alle Konstanten   und Skalarfelder   gilt:

 

Linearität

 
 

Produktregel

 
 

Zusammenhang zur RichtungsableitungBearbeiten

Unter der Richtungsableitung versteht man die Ableitung, also den Anstieg eines Skalarfeldes   in Richtung eines normierten Vektors   genauer:

 

Ist   in einer Umgebung von   differenzierbar, dann kann man die Richtungsableitung als Skalarprodukt von   mit dem Gradienten von   berechnen:

 

IntegrabilitätsbedingungBearbeiten

Eine wichtige Beziehung für differenzierbare Gradientenfelder   in   Dimensionen ist die Aussage, dass diese (nach dem Satz von Schwarz) immer „integrabel“ sind, und zwar in folgendem Sinne: Es gilt für alle   und    :

 

Diese direkt nachprüfbare Beziehung – in drei Dimensionen identisch mit der Rotationsfreiheit des Feldes – ist notwendig für die Existenz einer „Potentialfunktion“   (präziser: der Funktion  ). Die   bzw.   sind die Komponenten des Vektorfeldes. Die Integrabilitätsbedingung impliziert ferner, dass für alle geschlossenen Wege   im   das Linienintegral   verschwindet, was in der Mechanik bzw. der Elektrodynamik große Bedeutung hat.

Lokal gilt auch das Umgekehrte: Die Integrabilitätsbedingung

 

für ein differenzierbares Vektorfeld   ist auch hinreichend für die lokale Existenz einer skalaren Potentialfunktion   mit   (vgl. Totales Differential#Integrabilitätsbedingung). Unter geeigneten Voraussetzungen an den Definitionsbereich von   (z. B. sternförmig) kann sogar auf die globale Existenz einer solchen Potentialfunktion geschlossen werden (siehe Poincaré-Lemma).

BeispieleBearbeiten

Folgende Gradienten treten häufig in der Physik auf. Es wird der Ortsvektor   verwendet.

 
 
 
 

Man beachte, dass beim letzten Beispiel der Gradient nur auf   und nicht auf   wirkt. Er wird deshalb auch als   geschrieben.

AnwendungenBearbeiten

Hydrodynamik
Die Strömungsfelder sogenannter Potentialströmungen sind Gradientenfelder.
Thermodynamik
Sind Teile eines Körper unterschiedlich heiß, so strömt Wärme von den heißeren zu den kühleren Bereichen. Ist die Wärmeleitfähigkeit überall gleich, so ist der Wärmestrom ein Vielfaches des Temperaturgradienten. Für den Wärmestrom jw gilt also beispielsweise   mit der sogenannten „Wärmeleitfähigkeit“ λ.
Akustik
Der Druckgradient ist das Verhältnis von Druckdifferenz und dem Abstand zweier Punkte. Bei Richtmikrofonen im Schallfeld hat dieser Begriff eine besondere Bedeutung.
Elektrodynamik
Statische elektrische Felder E sind stets Gradientenfelder elektrostatischer Potentiale   präziser gilt mit einem Minuszeichen:  
Mechanik
Hier gilt Analoges für sog. „konservative Kraftfelder“.
Bildverarbeitung
Der Gradient wird unter anderem für die Kantenerkennung benutzt. Da ein Bild nur diskrete Werte enthält, benutzt man Filter (Matrix, mit der das Bild gefaltet wird, siehe Diskrete Faltung) wie den Sobel-Operator, um ein Gradientenfeld des Bildes zu erhalten. Die Kanten in dem Bild sind dann als Extremwerte des gefilterten Bildes erkennbar.
Optimierung
Das Gradientenverfahren ist ein numerisches Verfahren zur Lösung von Optimierungsproblemen.

VektorgradientBearbeiten

DefinitionBearbeiten

In der Physik und in den Ingenieurwissenschaften wird jedoch ein sogenannter Vektorgradient auch für Vektorfelder   eingeführt, die ein Vektorfeld aus dem euklidischen Vektorraum   mit Frobenius-Skalarprodukt „·“ in den Vektorraum   abbilden, siehe Dyadisches Produkt, weswegen bei der Gradientenbildung aus Vektoren per definitionem Tensoren zweiter Stufe entstehen:

 

Das hochgestellte „┬“ steht für die Transposition und der Raum   enthält alle Tensoren zweiter Stufe, die Vektoren aus dem   in den   linear abbilden. Der Vektorgradient ist demnach das transponierte dyadische Produkt „ “ des Nabla-Operators und eines Vektorfelds.

Mit dem Vektorgradient kann die Richtungsableitung in Richtung eines Vektors   berechnet werden:

 

In der Strömungsmechanik wird die linke Darstellung mit dem Nabla-Operator gegenüber der rechten bevorzugt, die in der Kontinuumsmechanik üblich ist. Der so definierte Gradient stimmt mit der Fréchet-Ableitung überein:

 

Seien die komponentenweisen Darstellungen

 

bezüglich einer festen Orthonormalbasis   des   und   des   gegeben. Dann berechnet sich der Gradient gemäß

 

Die Komponenten dieses Tensors stimmen mit denen der Jacobi-Matrix überein:

 

Der Vektorgradient wird u. a. in der Kontinuumsmechanik (z. B. in den Navier-Stokes-Gleichungen) benutzt.

In der Literatur wird gelegentlich auch   definiert.

Totales DifferentialBearbeiten

Betrachte für ein Vektorfeld eine infinitesimale Verschiebung:

 

Das vollständige oder totale Differential eines Vektorfeldes   ist:

    bzw. in Indexschreibweise    

Das totale Differential eines Skalarfeldes und eines Vektorfeldes haben somit (formal) dieselbe Form. Beim totalen Differential eines Skalarfeldes wird der Gradient mit dem Differential skalar multipliziert. Beim totalen Differential eines Vektorfeldes ist die Multiplikation zwischen dem Gradient (Matrixform) mit dem Differentialvektor als Matrix-Vektor-Produkt durchzuführen.

EigenschaftenBearbeiten

Die Rechenregeln sind diejenigen der Jacobi-Matrix.   bezeichnet hier den Vektorgradienten.

Für alle Konstanten   und Vektorfelder   gilt:

Linearität

 
 

Produktregel

 
 
 

Speziell für Vektorfelder   lassen sich obige Beziehung noch umformen:

 
 

BeispieleBearbeiten

 

mit der  -Funktion aus arctan2.

  wobei   die Einheitsmatrix ist.
 

Die beiden letzten Formeln werden z. B. bei der kartesischen Multipolentwicklung verwendet.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz. 6., unveränderte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.
  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 4., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-43580-8.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ernst Grimsehl: Lehrbuch der Physik. Band 1: Mechanik, Wärmelehre, Akustik. 15. Auflage, herausgegeben von Walter Schallreuter. Teubner, Leipzig 1954, S. 579.
  2. Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 8. Aufl. 2012, Abschn. 13.2, Räumliche Differentialoperatoren