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Landau-Symbole

Notation zur Beschreibung des asymptotischen Verhaltens von Funktionen und Folgen

Landau-Symbole werden in der Mathematik und in der Informatik verwendet, um das asymptotische Verhalten von Funktionen und Folgen zu beschreiben. In der Informatik werden sie bei der Analyse von Algorithmen verwendet und geben ein Maß für die Anzahl der Elementarschritte oder der Speichereinheiten in Abhängigkeit von der Größe der Eingangsvariablen an. Die Komplexitätstheorie verwendet sie, um verschiedene Probleme danach zu vergleichen, wie „schwierig“ oder aufwendig sie zu lösen sind. Man sagt, „schwere Probleme“ wachsen exponentiell mit der Instanz oder schneller und für „leichte Probleme“ existiert ein Algorithmus, dessen Laufzeitzuwächse sich durch das Wachstum eines Polynoms beschränken lassen. Man nennt sie (nicht) polynomiell lösbar.

Notation Anschauliche Bedeutung

oder

wächst langsamer als

oder

wächst nicht wesentlich schneller als
wächst genauso schnell wie
wächst nicht immer langsamer als (Zahlentheorie)
wächst nicht wesentlich langsamer als (Komplexitätstheorie)
wächst schneller als

Inhaltsverzeichnis

Geschichte des O-SymbolsBearbeiten

  als Symbol für „eine Grösse […], deren Ordnung in Bezug auf   die Ordnung von   nicht überschreitet“, wurde erstmals vom deutschen Zahlentheoretiker Paul Bachmann im 1894 erschienenen zweiten Teil Die analytische Zahlentheorie seines Werkes Zahlentheorie verwendet. Bekannt gemacht wurde diese Notation durch den ebenfalls deutschen Zahlentheoretiker Edmund Landau, mit dessen Namen sie insbesondere im deutschen Sprachraum heute in Verbindung gebracht wird.[1]

Sonderfall: Omega-SymbolBearbeiten

Zwei unvereinbare DefinitionenBearbeiten

Es gibt in der Mathematik zwei sehr häufige und inkonsistente Definitionen für

 

wobei   eine reelle Zahl,   oder   ist, wo die reellen Funktionen   und   auf einer Umgebung von   definiert sind und   in dieser Umgebung positiv ist.

Die erste wird in der analytischen Zahlentheorie benutzt und die andere in der Komplexitätstheorie. Diese Situation kann zu Verwechslungen führen.

Die Hardy-Littlewoodsche DefinitionBearbeiten

Im Jahr 1914 führten G. H. Hardy und J. E. Littlewood das Symbol   mit der Bedeutung

 

ein.[2] Also ist   die Negation von  .

Im Jahr 1918 führten dieselben Verfasser zwei neue Symbole   und   mit den Bedeutungen

 ;
 

ein.[3] Also ist   die Negation von   und   die Negation von  .

Im Gegensatz zu einer späteren Aussage von D. E. Knuth[4] verwendete Edmund Landau diese drei Symbole im Jahre 1924 mit den gleichen Bedeutungen.[5]

Diese Hardy-Littlewood-Symbole sind Prototypen, sie werden nie genau so verwendet.   ist zu   und   zu   geworden.

Diese drei Symbole   sowie   (dies bedeutet, dass die beiden Eigenschaften   und   erfüllt sind) werden heute noch systematisch in der analytischen Zahlentheorie verwendet.

Einfache BeispieleBearbeiten

Wir haben

 

und speziell

 

Wir haben

 

und speziell

 

aber

 

Zahlentheoretische NotationBearbeiten

Die strenge Notation   wird in der Zahlentheorie nie benutzt und man schreibt weniger streng immer  . Dies bedeutet hier „  ist ein Omega von  “.

Die Knuthsche DefinitionBearbeiten

Im Jahr 1976 veröffentlichte D. E. Knuth einen Artikel,[4] dessen Hauptziel es ist, eine andere Verwendung des  -Symbols zu rechtfertigen. Er bemüht sich, seine Leser zu überzeugen, dass die Hardy-Littlewoodsche Definition fast nie benutzt wird (auch im Jahr 1976 war es für mindestens 25 Jahre falsch[6]). Er schreibt, dass er bei Landau keine Anwendung finden konnte und dass George Pólya, der bei Landau studierte, seine, Knuths, Einschätzung bestätigte, dass Landau das  -Symbol wohl nicht verwendet hat. Knuth schreibt: „For all the applications I have seen so far in computer science, a stronger requirement […] is much more appropriate.“ Es besteht kein Zweifel, dass er recht hat, wenn er das Symbol   verwendet, um diese stärkere Anforderung zu beschreiben: „Unfortunately, Hardy and Littlewood didn’t define   as I wanted to.“

Unter der Gefahr von Missverständnissen und Verwirrung definiert er auch

 .[7]

DefinitionBearbeiten

In der folgenden Tabelle bezeichnen   und   entweder

  • Folgen reeller Zahlen, dann ist   und der Grenzwert  , oder
  • reellwertige Funktionen der reellen Zahlen, dann ist   und der Grenzwert aus den erweiterten reellen Zahlen:  , oder
  • reellwertige Funktionen beliebiger topologischer Räume  , dann ist   und auch der Grenzwert  . Wichtigster Spezialfall ist dabei  .

Formal lassen sich die Landau-Symbole dann mittels Limes superior und Limes inferior folgendermaßen definieren:

Notation Definition Mathematische Definition
  asymptotisch gegenüber   vernachlässigbar  
  asymptotische obere Schranke  
  asymptotisch scharfe Schranke, sowohl   als auch    
  (Zahlentheorie) asymptotische untere Schranke,   ist nicht in    
  (Komplexitätstheorie) asymptotische untere Schranke,    
  asymptotisch dominant,    

In der Praxis existieren meist die Grenzwerte  , sodass die Abschätzung des limes superior oft durch die (einfachere) Berechnung eines Grenzwerts ersetzt werden kann.

Äquivalent zur Definition mit Limessymbolen können für einen metrischen Raum  , insbesondere also für die Fälle   und  , folgende Definitionen mit Quantoren verwendet werden:

Notation  
   
   
   
  (Zahlentheorie)  
  (Komplexitätstheorie)  
   
Notation  
   
   
   
  (Zahlentheorie)   (die Test-Funktion g ist immer positiv)
  (Komplexitätstheorie)  
   

Analoge Definitionen lassen sich auch für den Fall   sowie für einseitige Grenzwerte geben.

FolgerungBearbeiten

Für jede Funktion   werden durch

 

jeweils Mengen von Funktionen beschrieben. Es gelten folgende Beziehungen zwischen diesen:

 

Beispiele und NotationBearbeiten

Bei der Verwendung der Landau-Symbole wird die darin verwendete Funktion häufig verkürzt angegeben. Statt zum Beispiel   schreibt man häufig verkürzend   Dies wird auch in den folgenden Beispielen so gehandhabt.

Notation Bedeutung Anschauliche Erklärung Beispiele für Laufzeiten
    ist beschränkt.   überschreitet einen konstanten Wert nicht (unabhängig vom Wert des Arguments). Nachschlagen des  -ten Elementes in einem Feld
    wächst logarithmisch.   wächst ungefähr um einen konstanten Betrag, wenn sich das Argument verdoppelt.

Die Basis des Logarithmus ist dabei egal.

Binäre Suche im sortierten Feld mit   Einträgen
    wächst wie die Wurzelfunktion.   wächst ungefähr auf das Doppelte, wenn sich das Argument vervierfacht. Naiver Primzahltest mittels Teilen durch jede ganze Zahl  
    wächst linear.   wächst ungefähr auf das Doppelte, wenn sich das Argument verdoppelt. Suche im unsortierten Feld mit   Einträgen (Bsp. Lineare Suche)
    hat super-lineares Wachstum Fortgeschrittenere Algorithmen zum Sortieren von   Zahlen

Mergesort, Heapsort

    wächst quadratisch.   wächst ungefähr auf das Vierfache, wenn sich das Argument verdoppelt. Einfache Algorithmen zum Sortieren von   Zahlen

Selectionsort

    wächst polynomiell.   wächst ungefähr auf das  -Fache, wenn sich das Argument verdoppelt. „Einfache“ Algorithmen
    wächst exponentiell.   wächst ungefähr auf das Doppelte, wenn sich das Argument um 1 erhöht. Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) mittels exhaustiver Suche
    wächst faktoriell.   wächst ungefähr auf das  -Fache, wenn sich das Argument um 1 erhöht. Problem des Handlungsreisenden (mit exhaustiver Suche)

Die Landau-Notation wird verwendet, um das asymptotische Verhalten bei Annäherung an einen endlichen oder unendlichen Grenzwert zu beschreiben. Das große   wird verwendet, um eine maximale Größenordnung anzugeben. So gilt beispielsweise nach der Stirling-Formel für das asymptotische Verhalten der Fakultät

  für  

und

  für  .

Der Faktor   ist dabei nur eine Konstante und kann für die Abschätzung der Größenordnung vernachlässigt werden.

Die Landau-Notation kann auch benutzt werden, um den Fehlerterm einer Approximation zu beschreiben. Beispielsweise besagt

  für  ,

dass der Absolutbetrag des Approximationsfehlers kleiner als eine Konstante mal   für   hinreichend nahe bei Null ist.

Das kleine   wird verwendet, um zu sagen, dass ein Ausdruck vernachlässigbar klein gegenüber dem angegebenen Ausdruck ist. Für differenzierbare Funktionen gilt beispielsweise

  für  ,

der Fehler bei Approximation durch die Tangente geht also schneller als linear gegen  .

NotationsfallenBearbeiten

Symbolisches GleichheitszeichenBearbeiten

Oft wird in der Mathematik bei der Landau-Notation das Gleichheitszeichen verwendet. Es handelt sich dabei aber um eine rein symbolische Schreibweise und nicht um eine Gleichheitsaussage, auf die beispielsweise die Gesetze der Transitivität oder der Symmetrie anwendbar sind: Eine Aussage wie   ist keine Gleichung und keine Seite ist durch die andere bestimmt. Aus   und   folgt nicht, dass   und   gleich sind. Genauso wenig kann man aus   und   schließen, dass   und   dieselbe Klasse sind oder die eine in der anderen enthalten ist.

Tatsächlich handelt es sich bei   um eine Menge, welche alle diejenigen Funktionen enthält, welche höchstens so schnell wachsen wie  . Die Schreibweise   ist also formal korrekt.

Die Notation mit dem Gleichheitszeichen wie in   wird trotzdem in der Praxis ausgiebig genutzt. Beispielsweise soll der Ausdruck   besagen, dass es Konstanten   und   gibt, sodass

 

für hinreichend große   gilt.

Vergessener GrenzwertBearbeiten

Eine weitere Falle besteht darin, dass oft nicht angegeben wird, auf welchen Grenzwert sich das Landausymbol bezieht. Der Grenzwert ist aber wesentlich; so ist beispielsweise   für  , nicht aber für den einseitigen Grenzwert  . Normalerweise wird der betrachtete Grenzwert aber aus dem Zusammenhang klar, sodass hier Mehrdeutigkeiten nur selten auftreten.

Anwendung in der KomplexitätstheorieBearbeiten

  Die Artikel Landau-Symbole#Anwendung in der Komplexitätstheorie, Komplexität (Informatik) und Komplexitätstheorie überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zusammenzuführen (→ Anleitung). Beteilige dich dazu an der betreffenden Redundanzdiskussion. Bitte entferne diesen Baustein erst nach vollständiger Abarbeitung der Redundanz und vergiss nicht, den betreffenden Eintrag auf der Redundanzdiskussionsseite mit {{Erledigt|1=~~~~}} zu markieren. Accountalive 03:47, 1. Jan. 2010 (CET)

In der Komplexitätstheorie werden die Landau-Symbole vor allem verwendet, um den (minimalen, mittleren oder maximalen) Zeit- oder Speicherplatzbedarf eines Algorithmus zu beschreiben. Man spricht dann von Zeitkomplexität bzw. Platzkomplexität. Die Komplexität kann vom verwendeten Maschinenmodell abhängen. In der Regel nimmt man jedoch ein „normales“ Modell an, zum Beispiel ein der Turingmaschine äquivalentes.

Oft ist es sehr aufwendig oder ganz unmöglich, für ein Problem   eine Funktion   anzugeben, die allgemein jeder beliebigen Eingabe für ein Problem die zugehörige Anzahl der Rechenschritte (bzw. der Speicherzellen) zuordnet. Daher begnügt man sich in der Regel damit, statt jede Eingabe einzeln zu erfassen, sich lediglich auf die Eingabelänge   zu beschränken. Es ist aber meist ebenfalls zu aufwendig, eine Funktion   anzugeben.

Daher hat man die Landau-Notation entwickelt, die sich auf das asymptotische Verhalten der Funktion   beschränkt. Man betrachtet also, in welchen Schranken sich der Rechenaufwand (der Bedarf an Speicher und Rechenzeit) hält, wenn man die Eingabe vergrößert. Das wichtigste Landau-Symbol ist   (großer lateinischer Buchstabe „O“), mit dem man obere Schranken angeben kann; untere Schranken sind im Allgemeinen viel schwieriger zu finden. Dabei bedeutet   (oft auch  ), dass eine Konstante   und ein   existieren, so dass für alle   gilt:  . In anderen Worten: Für alle Eingabelängen ist der Rechenaufwand   nicht wesentlich größer – d. h. höchstens um einen konstanten Faktor   – als  .

Dabei ist die Funktion   nicht immer bekannt; als Funktion   wird hingegen meist eine Funktion gewählt, deren Wachstum gut bekannt ist (wie   oder  ). Die Landau-Notation ist gerade dazu da, den Rechenaufwand (Platzbedarf) abzuschätzen, wenn es zu aufwendig ist, die genaue Funktion anzugeben, bzw. wenn diese zu kompliziert ist.

Die Landau-Symbole erlauben es dadurch, Probleme und Algorithmen nach ihrer Komplexität in Komplexitätsklassen zusammenzufassen.

In der Komplexitätstheorie lassen sich die verschiedenen Probleme und Algorithmen dann folgendermaßen vergleichen: Man kann für Problemstellungen mit   eine untere Schranke für beispielsweise die asymptotische Laufzeit angeben, mit   entsprechend eine obere Schranke. Bei   wird die Form von   (z. B.  ) auch als die Komplexitätsklasse oder Aufwandsmaß bezeichnet (also z. B. quadratisch).

Bei dieser Notation werden, wie die Definitionen der Landau-Symbole zeigen, konstante Faktoren vernachlässigt. Dies ist gerechtfertigt, da die Konstanten zu großen Teilen vom verwendeten Maschinenmodell bzw. bei implementierten Algorithmen von der Qualität des Compilers und diversen Eigenschaften der Hardware des ausführenden Computer abhängig sind. Damit ist ihre Aussagekraft über die Komplexität des Algorithmus sehr beschränkt.

Siehe auchBearbeiten

QuellenBearbeiten

  1. Earliest Uses of Symbols of Number Theory, 22. September 2006: (Memento vom 19. Oktober 2007 im Internet Archive) According to Wladyslaw Narkiewicz in The Development of Prime Number Theory: “The symbols O(·) and o(·) are usually called the Landau symbols. This name is only partially correct, since it seems that the first of them appeared first in the second volume of P. Bachmann’s treatise on number theory (Bachmann, 1894). In any case Landau (1909a, p. 883) states that he had seen it for the first time in Bachmann’s book. The symbol o(·) appears first in Landau (1909a).”
  2. Godfrey H. Hardy, John E. Littlewood: Some problems of Diophantine approximation. Part II. The trigonometrical series associated with the elliptic ϑ-functions. In: Acta Mathematica. Bd. 37, 1914, S. 193–239, hier S. 225, doi:10.1007/BF02401834.
  3. Godfrey H. Hardy, John E. Littlewood: Contribution to the theory of the Riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes. In: Acta Mathematica. Bd. 41, 1916, S. 119–196, doi:10.1007/BF02422942.
  4. a b Donald Knuth: Big Omicron and big Omega and big Theta. SIGACT News, Apr.–June 1976, 18–24 (PDF; 348 kB).
  5. Edmund Landau: Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen. (Vierte Abhandlung). In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse. 1924, S. 137–150 (Digitalisat (PDF; 437,39 kB)).
  6. Edward C. Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. Clarendon Press, Oxford 1951.
  7. Mit dem Kommentar: “Although I have changed Hardy and Littlewood’s definition of  , I feel justified in doing so because their definition is by no mean in wide use, and because there are other ways to say what they want to say in the comparatively rare cases when their definition applies”.

WeblinksBearbeiten