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Exakte und geschlossene DifferentialformenBearbeiten

  • Eine Differentialform   vom Grad   heißt geschlossen, falls   gilt. Dabei bezeichnet   die äußere Ableitung.
  • Eine Differentialform   vom Grad   heißt exakt, falls es eine  -Differentialform   gibt, so dass   gilt. Die Form   nennt man eine Potentialform von  

Die Potentialform ist nicht eindeutig bestimmt, sondern nur "bis auf Umeichung" (siehe unten).

Wegen   ist jede exakte Differentialform auch geschlossen. Das Poincaré-Lemma gibt Voraussetzungen an, unter denen auch die umgekehrte Aussage gilt. Beim Beweis ergibt sich darüber hinaus eine Verallgemeinerung des Lemmas: Von jeder Differentialform lässt sich „per Konstruktion“ ein exakter Anteil abspalten.

AussageBearbeiten

Das Poincaré-Lemma besagt, dass jede auf einer sternförmigen offenen Menge   definierte geschlossene Differentialform exakt ist.

Die Aussage lässt sich abstrakter auch so formulieren: Für eine sternförmige offene Menge   verschwindet die  -te De-Rham-Kohomologie für alle  :

 

Im dreidimensionalen Spezialfall besagt das Poincaré-Lemma, in die Sprache der Vektoranalysis überführt, dass ein auf einem einfach-zusammenhängenden Gebiet definiertes wirbelfreies Vektorfeld – beispielsweise das elektrostatische Feld   – als Gradient eines Potentialfeldes   ( ), ein quellfreies Vektorfeld auf einem konvexen Gebiet – beispielsweise die magnetische Induktion   – durch Rotation eines Vektorpotentials   ( ), und eine skalare Felddichte („Quellendichte“) als Divergenz eines Vektorfeldes ( ) dargestellt werden können.

Beweis (konstruktiv)Bearbeiten

Das Poincaré-Lemma gibt eine solche  -Form explizit an, und zwar mit folgender Formel: Einer beliebigen  -Form,   lässt sich, Geschlossenheit nicht notwendig vorausgesetzt, eine  -Form   zuordnen, aus der sich bei Geschlossenheit die gesuchte Potentialform ergibt: Diese zugeordnete Form lässt sich durch folgende Abbildung definieren:

  (Das Dachsymbol in der  -ten Spalte der rechten Seite bedeutet, dass das entsprechende Differential ausgelassen wird.)

Nun zeigt man direkt, dass folgende Identität gilt:   was formal der Produktregel der Differentiation entspricht und die durch   repräsentierten Eigenschaften in zwei Anteile zerlegt, von denen der zweite die gesuchte Eigenschaft besitzt.

Wegen der Voraussetzung   und wegen   ergibt sich zunächst   Dies gilt ohne Einschränkung der Allgemeinheit auch ohne das vorderste   der rechten Seite, und zwar deshalb, weil durch die Forderung   die Form   nur am Nullpunkt betrachtet wird, sodass wie beim Totalen Differential einer Funktion aus   bis auf sog. Eichtransformationen (siehe unten) auch   gefolgert werden kann.

Somit bleibt nur der letzte Term der obigen Identität, und es folgt die gesuchte Aussage:   mit  

Die angegebene Identität verallgemeinert zugleich das Poincarésche Lemma durch Zerlegung einer beliebigen Differentialform   in einen nicht-exakten („anholonomen“) und einen exakten („holonomen“) Anteil (die eingeklammerten Bezeichnungen entsprechen den sog. Zwangskräften in der analytischen Mechanik). Es entspricht zugleich der Zerlegung eines beliebigen Vektorfeldes in einen Wirbel- und einen Quellen-Anteil.

In der Sprache der homologischen Algebra ist   eine kontrahierende Homotopie, die z. B. auf den zentralen Punkt des hier betrachteten sternförmigen Gebietes kontrahiert.

UmeichungBearbeiten

Das so definierte   ist nicht die einzige  -Form, deren äußeres Differential   ist. Alle anderen unterscheiden sich aber höchstens um das Differential einer  -Form voneinander: Sind   und   zwei solche  -Formen, so existiert eine  -Form   derart, dass   gilt.

Der Zusatz   wird auch als Eichtransformation bzw. Umeichung von   bezeichnet.

Anwendung in der ElektrodynamikBearbeiten

Aus der Elektrodynamik ist der Fall eines von einem stationären Strom erzeugten Magnetfeldes bekannt, mit dem sog. Vektorpotential   Dieser Fall entspricht  , wobei das sternförmige Gebiet der   ist. Der Vektor der Stromdichte ist   und entspricht der Stromform   Für das Magnetfeld   gilt Analoges: es entspricht der Magnetflussform   und lässt sich aus dem Vektorpotential ableiten:  , oder  . Dabei entspricht das Vektorpotential   der Potentialform   Die Geschlossenheit der Magnetflussform entspricht der Quellenfreiheit des Magnetfeldes  

Unter Verwendung der Coulomb-Eichung   bzw. passend zu   gilt dann für i=1,2,3

 

dabei ist   eine Naturkonstante, die sogenannte Magnetische Feldkonstante.

An dieser Gleichung ist u. a. bemerkenswert, dass sie vollständig einer bekannten Formel für das elektrische Feld   entspricht, dem Coulombpotential   einer gegebenen Ladungsverteilung mit der Dichte  . Man vermutet an dieser Stelle bereits, dass

  •   und   bzw.
  •   und   sowie
  •   und  

zusammengefasst werden können und dass sich die relativistische Invarianz der Maxwellschen Elektrodynamik daraus ergibt, siehe dazu Elektrodynamik.

Wenn man die Bedingung der Stationarität aufgibt, muss auf der linken Seite der obigen Gleichung bei   zu den Raumkoordinaten das Zeitargument   hinzugefügt werden, während auf der rechten Seite in   die sog. „retardierte Zeit“   zu ergänzen ist. Es wird dabei wie zuvor über die drei Raumkoordinaten   integriert. Schließlich ist   die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Anwendung in der KontinuumsmechanikBearbeiten

In der Kontinuumsmechanik wird das Lemma auf Tensoren angewendet, was z. B. für die Aufstellung der Kompatibilitätsbedingungen gebraucht wird. Ausgangspunkt ist das Lemma in der Formulierung:

  
 
 (I)
 

Der Operator „grad“ bildet den Gradient, die Vektoren   sind die Standardbasis des kartesischen Koordinatensystems mit Koordinaten   und es wurde die einsteinsche Summenkonvention angewendet, dergemäß über in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes, hier k, von eins bis drei zu summieren ist, was auch im Folgenden praktiziert werden soll.

Gegeben sei nun ein Tensorfeld  , dessen Zeilenvektoren   mit dem dyadischen Produkt “ zum Tensor zusammengefügt werden. Die Rotation des transponierten Tensors verschwinde

 

so dass also jeder Zeilenvektor rotationsfrei ist. Dann gibt es für jeden Zeilenvektor ein Skalarfeld  , dessen Gradient er ist:

 

denn der Gradient des Vektors   bildet sich gemäß:

 

Damit gilt die zweite Form des Lemmas:

  
 
 (II)
 

Wenn zusätzlich die Spur des Tensors verschwindet, dann ist das Vektorfeld divergenzfrei:

 

In diesem Fall berechnet sich mit dem Kronecker-Delta δij:

 

und der Tensor   ist schiefsymmetrisch:

 

Darin ist   das Permutationssymbol. Es folgt die dritte Form des Lemmas:

  
 
 (III)
 

In der Literatur wird auch ein Rotationsoperator benutzt, der direkt die Rotation der Zeilenvektoren bildet:

 

Mit diesem Operator gilt:

 

LiteraturBearbeiten

  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Integralrechnung im Rn mit Anwendungen. 4. Auflage. Vieweg + Teubner, Braunschweig u. a. 2007, ISBN 978-3-528-37252-1.
  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.
  • C. Truesdell: Festkörpermechanik II in S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik, Band VIa/2. Springer-Verlag, 1972, ISBN 3-540-05535-5, ISBN 0-387-05535-5.