Einheitstensor

Ein Einheitstensor ist in der Kontinuumsmechanik die lineare Abbildung jedes Vektors auf sich selbst. Der Einheitstensor ist ein dimensionsloser Ein-Feld-Tensor, weil er die Vektoren aus einem euklidischen Vektorraum in denselben Vektorraum abbildet. Des Weiteren ist der Einheitstensor symmetrisch, orthogonal und unimodular. Die Koeffizienten des Einheitstensors zweiter Stufe werden Metrikkoeffizienten genannt.

Einheitstensoren treten in der Kontinuumsmechanik häufig auf. Der Einheitstensor zweiter Stufe kommt in den Verzerrungstensoren vor und der Einheitstensor vierter Stufe in vielen Materialmodellen (z. B. im Hookeschen Gesetz). Wegen seiner Wichtigkeit befasst sich dieser Artikel deshalb mit dem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum und dem Einheitstensor zweiter Stufe. Nur im gleichnamigen Kapitel ist vom Einheitstensor vierter Stufe die Rede. Eine Verallgemeinerung auf Räume beliebiger endlicher Dimension ist in einfacher Weise möglich.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein euklidischer Vektorraum   und die Menge der linearen Abbildungen   von   nach  . Dann ist der Einheitstensor   definiert als

 .

SchreibweisenBearbeiten

Für den Einheitstensor werden die Schriftzeichen „1“, „I“ oder „E“ benutzt. Als Schriftauszeichnung wird der Buchstabe mit Doppelstrich ( ), Fettdruck ( ), Unter- ( ) oder Überstreichung ( ) benutzt. In Indexschreibweise stimmt dieser Einheitstensor mit dem Kronecker-Delta   überein.

Tensoren vierter Stufe können mit der aufgesetzten vier gekennzeichnet werden, beispielsweise:  .

In diesem Artikel wird   für den Einheitstensor zweiter Stufe und   für den Einheitstensor vierter Stufe verwendet.

EigenschaftenBearbeiten

Weil die Identität von Tensoren über die Bilinearform nachgewiesen werden kann, ist jeder Tensor   für den gilt

 

identisch zum Einheitstensor. Wegen

 

ist der Einheitstensor gleich seiner Inversen und wegen

 

ist der Einheitstensor zudem symmetrisch. Aus den letzten beiden Eigenschaften ergibt sich, dass der Einheitstensor auch orthogonal ist. Weil der Einheitstensor keinen Vektor spiegelt (in den negativen Vektor überführt) ist der Einheitstensor eigentlich orthogonal, weswegen er die „Drehung“ um 0° repräsentiert. Seine Determinante ist also gleich eins

 

weswegen der Einheitstensor unimodular ist. Der Einheitstensor ist im Tensorprodukt "·" das Neutrale Element:

 .

Das Frobenius-Skalarprodukt zweier Tensoren A und B wird mittels der Spur A : B := Sp(AT · B) gebildet. Das Skalarprodukt des Einheitstensors mit einem anderen Tensor zweiter Stufe liefert somit dessen Spur:

 .

EigensystemBearbeiten

Aus den Eigenschaften des Einheitstensors leitet sich sofort ab, dass jeder Vektor Eigenvektor des Einheitstensors mit dem zugehörigen Eigenwert eins ist. Weil auch jeder Basisvektor   einer beliebigen Orthonormalbasis des zugrunde liegenden Vektorraums Eigenvektor des Einheitstensors ist, können auch die Darstellungen

 

benutzt werden. Darin bildet   das dyadische Produkt.

Darstellungsweisen mit BasisvektorenBearbeiten

Bezüglich der Standardbasis   wird der Einheitstensor als

 

geschrieben, so dass er hier mit seiner Matrix-Notation übereinstimmt. Bei einer anderen Orthonormalbasis mit Basisvektoren   kann er als

 

notiert werden. Ist   eine beliebige Basis des Vektorraums und   die dazu duale Basis, dann ist

 .

Ist   eine weitere beliebige Basis des Vektorraums und   die dazu duale Basis, dann gilt die allgemeine Darstellung:

 .

InvariantenBearbeiten

Die drei Hauptinvarianten des Einheitstensors sind

 

Wegen   sind dies auch die Hauptinvarianten der n-ten Potenzen des Einheitstensors. Die Spur des Einheitstensors ist gleich der Dimension des zugrunde gelegten Vektorraums.

Der Betrag des Einheitstensors ist die Wurzel aus der Dimension des Vektorraums:

 .

Die Eigenwerte (hier alle gleich eins) sind ebenfalls invariant.

MetrikkoeffizientenBearbeiten

Der Abstand zweier Punkte mit den Ortsvektoren

 

mit Koordinaten   und   bezüglich eines beliebigen schiefwinkligen Basissystems   berechnet sich mit der Skalarproduktnorm zu

 .

Das heißt, dass die Produkte der Koeffizienten   des Koordinatenvektors des Abstandsvektors   im Skalarprodukt mit den Koeffizienten   gewichtet werden. In der Darstellung

 

werden die Koeffizienten   deshalb Metrikkoeffizienten genannt, weil mit der Skalarproduktnorm die Metrik des Vektorraums vorgegeben ist. Sind die Basisvektoren   kovariant (Tangentenvektoren an das schiefwinklige Koordinatensystem) dann sind die Skalarprodukte   die kovarianten Metrikkoeffizienten. Entsprechend sind dann die Koeffizienten   die kontravarianten Metrikkoeffizienten.

Einheitstensor vierter StufeBearbeiten

Der Einheitstensor vierter Stufe bildet Tensoren zweiter Stufe auf sich selbst ab. Sind die Tensoren zweiter Stufe   die Standardbasis des Raums   der Tensoren zweiter Stufe, dann ist

 

der Einheitstensor vierter Stufe. Wird

 

definiert, kann wie üblich auch

 

geschrieben werden. Ist   eine beliebige Basis des Raums   und   die dazu duale Basis, dann gilt

 

oder mit

 
 

in der üblichen Schreibweise:

 .

BeispielBearbeiten

Die Vektoren

 

bilden eine Basis im   und ihre duale Basis ist

 .

Damit bekommt man

 .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten