Hauptinvariante

Begriff aus der Mathematik

Die Hauptinvarianten eines Tensors sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms.

Die Komponenten eines Tensors referenzieren auf Dyaden von Vektoren, die sich ihrerseits komponentenweise bezüglich einer Vektorraumbasis darstellen lassen. Bei einem Wechsel der Basis ändern sich die Komponenten der Vektoren in charakteristischer Weise, nicht aber die Beträge der Vektoren. Der Betrag eines Vektors ist also invariant gegenüber einem Wechsel der Basis. In gleicher Weise sind die Hauptinvarianten des Tensors invariant gegenüber einem Wechsel der Basis, daher der Name.

Die Hauptinvarianten symmetrischer Tensoren spielen eine zentrale Rolle in der Materialtheorie. Eine wichtige Anforderung an Materialmodelle leitet sich daraus ab, dass ein bewegter Beobachter immer dasselbe Materialverhalten misst wie ein ruhender. Diese Eigenschaft wird materielle Objektivität genannt. Die Bewegung eines Beobachters wird mathematisch als Wechsel des Bezugssystems und somit als Wechsel der Vektorraumbasis beschrieben. Die Hauptinvarianten sind also Größen, die alle Beobachter in gleicher Weise wahrnehmen und die daher für die Materialmodellierung geeignet sind. Beispiele für Materialmodelle, die die Hauptinvarianten benutzen, sind das Hooke'sche Gesetz, die Hyperelastizität und Plastizitätstheorie.

Die Darstellung erfolgt in drei Dimensionen für Tensoren zweiter Stufe, lässt sich aber in einfacher Weise auf mehr Dimensionen verallgemeinern.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein Tensor zweiter Stufe  . Dann lautet sein charakteristisches Polynom:

 .

Darin ist   die Determinante, 1 der Einheitstensor,   eine reelle oder komplexe Zahl und die Koeffizienten   sind die drei Hauptinvarianten

 

Der Operator   liefert die Spur seines Arguments,   ist die Adjunkte und   der Kofaktor

 

wobei letztere Identität nur gilt, wenn der Tensor invertierbar ist und mithin   ist.

Berechnung der HauptinvariantenBearbeiten

Für Tensoren zweiter Stufe ist die Addition und Multiplikation mit einem Skalar definiert weshalb die Menge aller Tensoren zweiter Stufe einen Vektorraum bildet, der Vektorraumbasen besitzt, die aus Dyaden bestehen, die sich wiederum mit dem dyadischen Produkt   zweier Vektoren berechnen. Sei   der Vektorraum der geometrischen Vektoren. Dann ist   der Vektorraum der Tensoren zweiter Stufe, die Vektoren aus   in den   abbilden. Bezüglich einer Vektorraumbasis des   kann jeder Tensor komponentenweise dargestellt werden und aus diesen Komponenten können die Hauptinvarianten berechnet werden, die ja unabhängig von der Wahl der Basis sind.

Hauptinvarianten in Komponenten bezüglich der StandardbasisBearbeiten

Sei   die Standardbasis des   und

 

ein Tensor mit den Komponenten   bezüglich dieser Standardbasis. Dann berechnet sich

 

Hauptinvarianten in Komponenten bezüglich einer allgemeinen BasisBearbeiten

Seien   und   zwei beliebige Basissysteme des   und

 

ein Tensor mit den Komponenten   bezüglich dieser Basen. Dann berechnet sich

 
 
 

wo die letzten beiden Determinanten den Spatprodukten der Basisvektoren entsprechen.

Zusammenhang mit dem äußeren TensorproduktBearbeiten

Das äußere Tensorprodukt # ist mittels Dyaden definiert über

 

Mit diesem und dem Frobenius-Skalarprodukt “ von Tensoren bekommen die drei Hauptinvarianten die Darstellungen

 

Zusammenhang mit anderen InvariantenBearbeiten

EigenwerteBearbeiten

Die Eigenwerte   eines Tensors zweiter Stufe sind die Lösungen   seines charakteristischen Polynoms und ebenfalls Invarianten. Nach dem Satz von Vieta gilt:

 .

Betrag eines TensorsBearbeiten

Der Betrag eines Tensors

 ,

definiert mit der Frobeniusnorm   und dem Frobenius-Skalarprodukt „:“, lässt sich im Allgemeinen nicht mit den drei Hauptinvarianten darstellen. Es gelingt aber bei symmetrischen oder schiefsymmetrischen Tensoren.

Bei symmetrischen Tensoren ist  , d. h. der Tensor ist mit seiner transponierten identisch, und daher

 

Bei schiefsymmetrischen Tensoren ist   und daher   und

 

Spuren der Potenzen eines TensorsBearbeiten

Die drei Hauptinvarianten lassen sich auch mit den Spuren der Potenzen eines Tensors darstellen, die ebenfalls Invarianten sind. Sei

 

dann gilt

 

Ableitungen der HauptinvariantenBearbeiten

In der Hyperelastizität wird die Formänderungsenergie, die aufgebracht werden muss um einen Körper zu verformen, manchmal als Funktion der Hauptinvarianten des Verzerrungstensors modelliert. Die Spannungen ergeben sich dann aus der Ableitung der Formänderungsenergie nach dem Verzerrungstensor, wofür die Ableitungen der Hauptinvarianten nach dem Verzerrungstensor benötigt werden. Daher lohnt es sich, diese Ableitungen bereitzustellen.

Die Ableitung einer skalarwertigen Funktion   nach dem Tensor   ist der Tensor   für den gilt

 

Man schreibt dann auch

 .

So berechnet sich:

 

Mit dem charakteristischen Polynom und dem Determinantenproduktsatz zeigt sich

 

Daraus berechnet sich die Ableitung

 .

Diese Ableitung existiert nur, wenn T invertierbar, also det(T) ≠ 0 ist.

AnwendungenBearbeiten

Die folgenden Beispiele zeigen die Benutzung der Hauptinvarianten in Materialtheorien und oft benutzten Materialmodellen:

  1. Hookesches Gesetz: Der Spannungstensor   berechnet sich aus dem Verzerrungstensor   gemäß  . Darin ist   der Schubmodul und   die Querkontraktionszahl.
  2. Hyperelastizität: Die Formänderungsenergiedichte   im Neo-Hooke Modell ist  . Darin ist   ein Materialparameter und   der linke Cauchy-Green Tensor.
  3. Plastizitätstheorie, Festigkeitslehre: Die v. Mises Vergleichsspannung   ist eine Funktion der zweiten Hauptinvariante des Spannungsdeviators  .
  4. Inkompressibilität: Hier ist die dritte Hauptinvariante des Deformationsgradienten   an jedem materiellen Punkt konstant:  .

BeispielBearbeiten

Es wird der Nachweis der Invarianz der Spur eines Tensors erbracht. Seien   und   zwei beliebige Basissysteme des   und

 .

Beim Wechsel zu anderen Basen   und   mit dualen Basen   und   berechnen sich die neuen Komponenten   gemäß

 

Die Spur mit den neuen Komponenten   ergibt sich also zu

 

was zu zeigen war.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten