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Verzerrungstensoren sind dimensionslose Tensoren zweiter Stufe, die das Verhältnis von Momentankonfiguration zur Ausgangskonfiguration bei der Deformation von kontinuierlichen Körpern und damit Veränderung der gegenseitigen Lagebeziehungen der Materieelemente beschreiben. Diese Änderung (Deformation) der inneren Anordnung korrespondiert mit einer Änderung der äußeren Gestalt des Festkörpers und wird damit beispielsweise als Dehnung, Stauchung, Scherung usw. sichtbar. Die Verzerrungstensoren sind eine wesentliche Größe in der Beschreibung der Kinematik der Deformation. In der Kontinuumsmechanik werden eine Reihe von verschiedenen Verzerrungstensoren definiert, deren Benennung nicht einheitlich ist.

Die Verzerrungstensoren werden vor allem für die Formulierung von Materialmodellen, z. B. der Hyperelastizität, verwendet, die eine Relation zwischen den Spannungen im Material und seinen Deformationen herstellen. Solche Materialmodelle werden dazu benutzt, Verformungen von Körpern zu berechnen.

Inhaltsverzeichnis

EinleitungBearbeiten

In der Literatur ist eine Vielzahl von Verzerrungstensoren bekannt, die aus dem Deformationsgradienten gebildet werden. Für deren Definition werden die Verschiebungen

 

als Differenzvektor zwischen der momentanen Lage   eines Partikels und seiner Ausgangslage   eingeführt, mit   als den materiellen Koordinaten des Partikels bezüglich der Standardbasis. Der Verschiebungsgradient[1]

 

ist dann die Ableitung des Verschiebungsvektors   nach den materiellen Koordinaten   und enthält die Ableitungen der Verschiebungen ui nach den Koordinaten Xj. Damit bekommt der Deformationsgradient die Form

 

worin 1 der Einheitstensor ist. Zunächst lassen sich damit der rechte Cauchy-Green-Tensor

 

bzgl. der Ausgangskonfiguration und der linke Cauchy-Green-Tensor

 

bzgl. der Momentankonfiguration bilden. Diese beiden Strecktensoren sind symmetrisch und im Fall einer Nicht-Deformation gleich dem Einheitstensor.

Für ingenieurtechnische Anwendungen werden gewöhnlich allerdings Größen gewünscht, die bei Nicht-Deformation eine Null darstellen. Dies führt auf Definitionen des Green-Lagrange-Verzerrungstensors

 

oder des Euler-Almansi-Verzerrungstensors

 

Daneben existiert aber noch eine Vielzahl weiterer ähnlicher Definitionen, die jeweils ihre Berechtigung und Vorteile in verschiedenen Theorien besitzen, siehe unten. Dort erklärt sich auch der oben auftretende Faktor ½.

Linearisierter VerzerrungstensorBearbeiten

Zur Beschreibung kleiner Verzerrungen wird in der technischen Mechanik üblicherweise der linearisierte Verzerrungstensor   verwendet. Dieser Verzerrungstensor wird auch Ingenieursdehnung genannt, denn bei vielen Anwendungen im technischen Bereich liegen kleine Dehnungen vor oder sie müssen aus sicherheitstechnischen Gründen klein gehalten werden. Der linearisierte Verzerrungstensor entsteht durch Linearisierung der Größen   oder   Hierzu wird die Definition des Deformationsgradienten in den Verzerrungstensor eingesetzt:

 

Bei kleinen Verzerrungen kann der letzte Term vernachlässigt werden und so entsteht der linearisierte Verzerrungstensor

 

mit den Komponenten

 

Allgemeine DefinitionBearbeiten

Ein Tensor E ist ein geeignetes Verzerrungsmaß, wenn er drei Forderungen genügt[2]:

  1. E verschwindet bei Starrkörperbewegungen (Verschiebung und/oder Drehung ohne Formänderung)
  2. E ist eine monotone, stetige und stetig differenzierbare Funktion des Verschiebungsgradienten H und
  3. E geht bei kleinen Verzerrungen in den linearisierten Verzerrungstensor ε über.

Die Polarzerlegung des Deformationsgradienten F = R · U = v · R spaltet die Verformung lokal in eine reine Drehung, vermittelt durch den orthogonalen Rotationstensor R (mit R · RT und der Determinante det(R) = 1), und eine reine Streckung, vermittelt durch die symmetrischen positiv definiten rechten bzw. linken Strecktensoren U bzw. v. Letztere dienen der Definition einer Vielzahl von Verzerrungstensoren.

In seiner natürlichen Darstellung in konvektiven Koordinaten ist der rechte Strecktensor U kovariant und der linke Strecktensor v kontravariant. Diese Eigenschaft überträgt sich auf die mit ihnen gebildeten Verzerrungstensoren. Durch Invertierung werden kovariante Tensoren kontravariant und umgekehrt.

Seth-Hill-Familie von VerzerrungstensorenBearbeiten

Die Verzerrungstensoren

 

und

 

die sich für verschiedene Werte des Parameters   ergeben, genügen den Bedingungen der allgemeinen Definition[3]. Die einigen gebräuchlichen Werten von   entsprechenden Tensoren führt die folgende Tabelle auf:

m Verzerrungstensor   Namen[4][5][6]
1     Green-Lagrange-Verzerrungstensor, Green- oder St.-Venant-Dehnungen
½     Biot-Verzerrungstensor, Materieller Biot-, Cauchy- oder Swainger-Verzerrungstensor
0     Hencky-Dehnungen, materielle logarithmische Dehnungen
−1     negativer Piola-Verzerrungstensor, Lagrange-Karni-Reiner-Verzerrungstensor

Die hier benutzten Namen stehen jeweils kursiv hervorgehoben an erster Stelle. In der räumlichen Beschreibung ergeben sich die Entsprechungen:

m Verzerrungstensor   Namen[4] [5] [6]
1     negativer Finger-Tensor, Euler-Karni-Reiner-Verzerrungstensor
0     Räumliche Hencky-Dehnungen, räumliche logarithmische Dehnungen
    Swainger-Verzerrungstensor, räumlicher Biot-Verzerrungstensor
−1     Euler-Almansi-Verzerrungstensor, Almansis- oder Hamels-Verzerrungstensor

In den Tabellen bedeutet " " Kovarianz und " " Kontravarianz. Der Funktionswert eines Tensors (z. B  ) berechnet sich durch Hauptachsentransformation, Bildung der Funktionswerte der Diagonalelemente und Rücktransformation.

Beschreibung einiger VerzerrungstensorenBearbeiten

Weil die Verzerrungstensoren der Seth-Hill-Familie bei kleinen Verzerrungen in den linearisierten Verzerrungstensor übergehen, trifft das hier gesagte bei kleinen Verzerrungen auch auf den linearisierten Verzerrungstensor zu.

Der Green-Lagrange-VerzerrungstensorBearbeiten

 
Streckung und Scherung der Tangenten (rot und blau) an materielle Linien (schwarz) im Zuge einer Deformation

Der Green-Lagrange-Verzerrungstensor ist aus dem Vergleich zweier materieller Linienelemente   und   im Punkt   motiviert, siehe Abbildung rechts:

 

In einer Richtung   ergibt sich über

 

die Dehnung:

 

Wenn in der Ausgangskonfiguration   ist, berechnet sich:

 

Mit   resultiert für die Scherung γ dann:

 

Der Euler-Almansi-VerzerrungstensorBearbeiten

Der Euler-Almansi-Verzerrungstensor

 

kann analog zum Green-Lagrange-Verzerrungstensor aus dem Vergleich zweier materieller Linienelemente   und   im Punkt   motiviert werden:

 

Für die Dehnung   in eine Richtung   ergibt sich dann:

  mit  

Der Hencky-VerzerrungstensorBearbeiten

Der Hencky-Verzerrungstensor wird über die Hauptachsentransformation des rechten Strecktensors   berechnet. Weil dieser symmetrisch und positiv definit ist, lautet seine spektrale Zerlegung

 

wobei λi die sämtlich positiven Eigenwerte und   die auf eins normierten und paarweise orthogonalen Eigenvektoren von   sind. Dann berechnet sich der Hencky-Verzerrungstensor aus

 

Seine Spur ist wegen

 

ein Maß für die Kompression am Ort. Bei kleinen Verzerrungen ist

 

weswegen dann die Spur des Verschiebungsgradienten oder des linearisierten Verzerrungstensors diese Rolle übernimmt.

Der Piola- und Finger-VerzerrungstensorBearbeiten

 
Streckung und Scherung der Normalen (rot und blau) an materielle Flächen (grau) im Zuge einer Deformation

Der Piola-Verzerrungstensor   ist aus dem Vergleich der Normalenvektoren   an materielle Flächen motiviert. Eine Familie von Flächen kann durch eine skalare Funktion

 

und einen Flächenparameter   definiert werden. Die Normalenvektoren an diese Flächen sind die Gradienten

 

Im Zuge einer Deformation wird daraus

 

Mit einer anderen skalaren Funktion   kann eine andere Familie von Flächen definiert werden, deren Normalenvektoren   bzw.   über

 

in Beziehung stehen. Der Vergleich der Skalarprodukte der Normalenvektoren in der deformierten und undeformierten Lage in einem materiellen Punkt   führt auf den Piola-Verzerrungstensor

 

der also ein Maß für die Deformationen der materiellen Flächen ist. Der Piola-Verzerrungstensor operiert in der Ausgangskonfiguration.

Sein Gegenstück in der Momentankonfiguration ist der Finger-Tensor[5]

 

für den

 

abgeleitet werden kann.

VerzerrungsgeschwindigkeitenBearbeiten

Alle realen Materialien sind mehr oder weniger ratenabhängig, das heißt ihr Widerstand gegen eine Deformation hängt davon ab, mit welcher Geschwindigkeit diese Deformation herbeigeführt wird. Für die Beschreibung eines solchen Zusammenhangs werden Verzerrungsgeschwindigkeiten benutzt. Das Materialverhalten ist beobachterinvariant, die meisten Zeitableitungen der Verzerrungen jedoch nicht. Es wurden aber eine Reihe von Verzerrungsgeschwindigkeiten definiert, die beobachterinvariant sind.

Der rechte Strecktensor   ist körperbezogen objektiv, was bedeutet, dass er von einem Wechsel des Bezugssystems unbeeinflusst ist. Gleiches gilt auch für seine materielle Zeitableitung   Dementsprechend sind auch alle aus dieser Zeitableitung gebildeten Verzerrungsgeschwindigkeiten, z. B.

 

körperbezogen objektiv.

In der räumlichen Beschreibung kann nachgewiesen werden, dass der linke Strecktensor   objektiv ist, seine Rate   jedoch nicht. Für die Formulierung objektiver Raten der räumlichen Verzerrungstensoren wird der räumliche Geschwindigkeitsgradient

 

definiert, dessen symmetrischer Anteil

 

räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor und dessen unsymmetrischer Anteil

 

Spin- oder Wirbeltensor heißt. Dann lautet die (objektive) kovariante Oldroyd-Ableitung eines Tensors  :

 

Für den Euler-Almansi-Tensor e gilt insbesondere

 

Die kontravariante Oldroyd-Ableitung eines Tensors   ist definiert als:

 

Die Raten der kovarianten Tensoren werden üblicher Weise mit der kovarianten Oldroyd-Ableitung gebildet und die der kontravarianten Tensoren mit der kontravarianten Oldroyd-Ableitung. Die Zaremba-Jaumann-Rate eines Tensors   ist ebenfalls objektiv und definiert als:

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Die Fréchet-Ableitung einer Funktion   nach   ist der beschränkte lineare Operator   der – sofern er existiert – in alle Richtungen   dem Gâteaux-Differential entspricht, also
     
    gilt. Darin ist   skalar-, vektor- oder tensorwertig aber   und   gleichartig. Dann wird auch
     
    geschrieben.
  2. Z. P. Bazant, L. Cedolin: Stability of Structures. Elastic, Inelastic, Fracture and Damage Theories. Oxford Univ. Press, 2003, ISBN 0-486-42568-1.
  3. B. R. Seth vom Indian Institute of Technology in Kharagpur war der erste der gezeigt hat, dass der Green-Lagrange- und der Euler-Almansi-Verzerrungstensor Spezialfälle dieses allgemeineren Verzerrungsmaßes sind [a][b]. Die Idee wurde von Rodney Hill in [c] weiterentwickelt.
    [a] B. R. Seth: Generalized strain measure with applications to physical problems. MRC Technical Summary Report #248 des Mathematics Research Center, United States Army, University of Wisconsin, 1961, S. 1–18, AD0266913.pdf
    [b] B. R. Seth: Generalized strain measure with applications to physical problems. IUTAM Symposium on Second Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Mechanics, Haifa 1962.
    [c] R. Hill: On constitutive inequalities for simple materials-I. In: Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 16, Nr. 4, 1968, S. 229–242.
  4. a b Bertram (2012)
  5. a b c Haupt (2000)
  6. a b Altenbach (2012)