Die duale Basis ist ein Begriff aus der linearen Algebra, der in zwei unterschiedlichen Bedeutungen auftritt:

  • Zu einer gegebenen Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums wird eine zugehörige duale Basis des Dualraums konstruiert.
  • Zu einer gegebenen Basis eines euklidischen Vektorraums wird eine weitere, zur ersten duale Basis von konstruiert.

Duale Basis im Dualraum V*Bearbeiten

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein  -dimensionaler Vektorraum über einem Körper  . (In Anwendungen ist der Körper oft   oder  .) Weiter sei   eine Basis von  .

Dann gibt es zu jedem   genau eine lineare Abbildung   mit   und   für  , denn eine lineare Abbildung ist durch die Bilder auf einer Basis eindeutig bestimmt. Die so definierten   bilden eine Basis des Dualraums  , die zur Basis   von   duale Basis. Mit der Kronecker-Delta-Schreibweise, ist also die definierende Eigenschaft der dualen Basis  .

Verhalten bei BasiswechselBearbeiten

Sei   eine Basis von   und   die zugehörige duale Basis. Weiter sei   eine zweite Basis von   mit  .

Als Matrix eines Basiswechsels ist   invertierbar. Die Komponenten der Inversen   seien mit   bezeichnet. Ein Vergleich von

 

mit der definierenden Eigenschaft   ergibt sofort das Transformationsverhalten der dualen Basis:

 .

Berechnung bezüglich einer festen BasisBearbeiten

Ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension   über dem Körper   ist stets isomorph zum Koordinatenraum   der Spalten-Vektoren mit Einträgen aus  . Wählt man als Isomorphismus

 ,   usw.,

wird   gemäß obigem abgebildet auf die i-te Zeile von  .

Tensor-SchreibweiseBearbeiten

Im Tensor-Formalismus der Relativitätstheorie schreibt man die Basis eines Vektorraumes (wie etwa eines Tangentialraums) mit oberen Indizes,  , nennt diese Vektoren kontravariant und versteht diese als Spalten-Vektoren. Die zugehörige kovariante Basis ist dann genau die oben vorgestellte duale Basis in Form von Zeilen-Vektoren. Diese schreibt man dann mit unteren Indizes,  . Die definierende Bedingung lautet dann  .

Der Grund für diese Schreibweise ist das unterschiedliche Transformationsverhalten der Vektoren bei Basiswechsel. Ist   die lineare Transformation, die eine Basis   auf eine andere   abbildet, so gilt:

 

und man liest ab, dass sich die duale Basis mittels   transformiert. Betrachtet man Koordinaten bezüglich der Basen, so findet man ähnliche Verhältnisse. Ist etwa   und ist  , so gilt bei Beachtung der Einsteinschen Summenkonvention für einen Vektor  :

 .

Der Koeffizient von   zum Basisvektor   ist also  , das heißt die Koeffizienten transformieren sich ebenfalls mittels der inversen Transformationsmatrix. Generell schreibt man alle (kontravarianten) Größen, die sich mittels   transformieren, mit oberen Indizes und alle (kovarianten) Größen, die sich gegenläufig, also mittels   transformieren, mit unteren Indizes.

Duale Basis im euklidischen Vektorraum VBearbeiten

Definition und BerechnungBearbeiten

Sei   eine beliebige Basis eines euklidischen Vektorraums  . Die dazu duale Basis   in   ist definiert durch die Eigenschaft

 ,

Hierbei bezeichnet   das Skalarprodukt.

Weiter sei   eine Orthonormalbasis in  ,     beschreibe den Basiswechsel mit der invertierbaren Matrix  . Durch Vergleichen von

 

mit   ergibt sich

 .

Mit dem dyadischen Produkt   schreibt sich das:

 

Die Vektoren   bilden hier die Spalten der Matrix (oder des Tensors zweiter Stufe)   und die duale Basis findet sich in den Zeilen der Inversen  

Spezialfall R3Bearbeiten

Im Vektorraum   mit Standardskalarprodukt   und Kreuzprodukt   findet sich mit obiger Gleichung und der Formel für Matrizeninversion:

 

Im Nenner der Brüche steht das mit den Basisvektoren gebildete Spatprodukt, das invariant gegenüber einer zyklischen Vertauschung seiner Argumente ist, und das gleich der Determinante der Matrix ist, die aus den Basisvektoren gebildet wird. Die definierende Eigenschaft ist hier sofort ersichtlich.

Anwendung aus der KristallographieBearbeiten

Die Bestimmung dieser dualen Basis im   ist bei der Beschreibung von Kristallgittern wichtig. Dort bilden die primitiven Gittervektoren   eine (i. A. nicht orthonormale) Basis des  . Das Skalarprodukt zwischen Basisvektoren der reziproken Basis   und primitiven Gittervektoren   ist in der kristallographischen Konvention:

 ,

  ist also die zu   duale Basis im  .

Beispiel: Die primitiven Gittervektoren des kubisch-flächenzentrierten (fcc) Gitters lauten:

 
 
 

Obige Gleichungen für den   ergeben:

 
 
 

Diese bilden ein kubisch-raumzentriertes (bcc) Gitter.

Verallgemeinerung auf pseudo-riemannsche MetrikBearbeiten

Im endlichdimensionalen Vektorraum   mit pseudo-riemannscher Metrik   und einer Basis   betrachte den Dualvektor   definiert durch

 .

Dann gilt

    mit  .

Dabei ist   der duale Vektor im Dualraum aus der ersten Bedeutung,   das äußere Produkt und   der durch die pseudo-riemannsche Metrik induzierte Isomorphismus zwischen   und  .

Siehe auchBearbeiten

QuellenBearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
  • Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1991, ISBN 3-326-00083-9.