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Dyadisches Produkt zweier Vektoren als Matrizenprodukt

Das dyadische Produkt (kurz auch Dyade von griech. δύας, dýas „Zweiheit“) oder tensorielle Produkt ist in der Mathematik ein spezielles Produkt zweier Vektoren. Das Ergebnis eines dyadischen Produkts ist eine Matrix (also ein Tensor zweiter Stufe) mit dem Rang eins. Das dyadische Produkt kann als Spezialfall eines Matrizenprodukts einer einspaltigen Matrix mit einer einzeiligen Matrix angesehen werden; es entspricht dann dem Kronecker-Produkt dieser beiden Matrizen. Um den Gegensatz zum inneren Produkt (Skalarprodukt) zu betonen, wird das dyadische Produkt gelegentlich auch äußeres Produkt genannt, wobei diese Bezeichnung aber nicht eindeutig ist, da sie auch für das Kreuzprodukt und das Dachprodukt verwendet wird.

Das Konzept des dyadischen Produkts geht auf den US-amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs zurück, der es erstmals im Jahr 1881 im Rahmen seiner Vektoranalysis formulierte.[1]

DefinitionBearbeiten

Das dyadische Produkt ist eine Verknüpfung zweier reeller Vektoren   und   der Form

 ,

wobei das Ergebnis eine Matrix   ist. Jeder Eintrag   der Ergebnismatrix berechnet sich dabei aus den Vektoren   und   über

 

als das Produkt der Elemente   und  . Interpretiert man den ersten Vektor als einspaltige Matrix und den zweiten Vektor als einzeilige Matrix, so lässt sich das dyadische Produkt mittels

 

als Matrizenprodukt darstellen, wobei   der zu   transponierte Vektor ist. Das dyadische Produkt kann so auch als Spezialfall des Kronecker-Produkts einer einspaltigen mit einer einzeiligen Matrix angesehen werden.

BeispieleBearbeiten

Sind   und  , dann ist das dyadische Produkt von   und  

 

Jede Spalte dieser Matrix ist also ein Vielfaches von   und jede Zeile ein Vielfaches von  . Als triviale Beispiele sind jede Nullmatrix das dyadische Produkt von Nullvektoren und jede Einsmatrix das dyadische Produkt von Einsvektoren entsprechend passender Größe:

    und    

EigenschaftenBearbeiten

Die folgenden Eigenschaften des dyadischen Produkts ergeben sich direkt aus den Eigenschaften der Matrizenmultiplikation.

KommutativitätBearbeiten

Das dyadische Produkt ist, wie zahlreiche Beispiele belegen, nicht kommutativ.

Für die Transponierte des dyadischen Produkts zweier Vektoren   und   gilt

 .

Zwei Vektoren   und   sind damit genau dann vertauschbar, das heißt, es gilt

 ,

wenn die Ergebnismatrix symmetrisch ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn einer der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen Vektors ist, das heißt, wenn es eine Zahl   gibt, sodass   oder   gilt. Ist einer der Vektoren ein Nullvektor, dann gilt insbesondere für alle  

 ,

wobei die Ergebnismatrix dann die Nullmatrix ist.

DistributivitätBearbeiten

Mit der Vektoraddition   ist das dyadische Produkt distributiv, das heißt, es gilt für alle   und  

 

sowie für alle   und   entsprechend

 .

Weiter ist das dyadische Produkt verträglich mit der Skalarmultiplikation, das heißt für   und   sowie   gilt

 .

Dyadisches Produkt zweier VektorenBearbeiten

Das dyadische Produkt zweier Vektoren   und   ergibt, sofern keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist, eine Rang-Eins-Matrix, das heißt

 .

Umgekehrt lässt sich jede Rang-Eins-Matrix als dyadisches Produkt zweier Vektoren darstellen. Für die Spektralnorm und die Frobeniusnorm eines dyadischen Produkts gilt

 ,

wobei   die euklidische Norm des Vektors   ist. Neben der Nullmatrix sind Rang-Eins-Matrizen die einzigen Matrizen, für die diese beiden Normen übereinstimmen.

Bezüge zu anderen ProduktenBearbeiten

SkalarproduktBearbeiten

Bildet man umgekehrt das Produkt aus einem Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor, so erhält man das Standardskalarprodukt zweier Vektoren   gegeben durch

 ,

wobei das Ergebnis eine reelle Zahl ist. Das Standardskalarprodukt zweier Vektoren ist gleich der Spur (der Summe der Diagonalelemente) ihres dyadischen Produkts, also

 .

Weiter ist die Matrix   genau dann nilpotent (immer vom Grad 2), wenn die beiden Vektoren orthogonal sind, das heißt

 .

Wenn sich Zeilen- und Spaltenvektoren passender Größe abwechseln, können auch mehrere Vektoren miteinander multipliziert werden. Aufgrund der Assoziativität der Matrizenmultiplikation erhält man so die Identitäten

 

und

 .

Ein Skalarprodukt wird auch inneres Produkt genannt, weswegen das dyadische Produkt gelegentlich auch als äußeres Produkt bezeichnet wird. Diese Dualität wird in der Bra-Ket-Notation der Quantenmechanik genutzt, wo ein inneres Produkt durch   und ein äußeres Produkt durch   notiert wird.

TensorproduktBearbeiten

Der Vektorraum, der durch dyadische Produkte von Vektoren   aufgespannt wird, ist der Tensorproduktraum

 .

Dieser Raum ist isomorph zum Raum aller Matrizen  . Jede Matrix   lässt sich demnach als Linearkombination dyadischer Produkte von Vektoren darstellen, das heißt

 ,

wobei  ,   und   sind. Durch eine geeignete Wahl von Vektoren   und einer Rangschranke   lässt sich auf diese Weise auch eine Niedrigrang-Approximation einer Matrix erreichen, wodurch numerische Berechnungen bei sehr großen Matrizen beschleunigt werden können.[2]

VerwendungBearbeiten

In vielen Anwendungen wird ein dyadisches Produkt nicht komponentenweise ausgerechnet, sondern zunächst stehen gelassen und erst ausgewertet, wenn es mit weiteren Termen multipliziert wird. Multipliziert man das dyadische Produkt   mit einem Vektor   erhält man einen Vektor, der parallel zu   ist, da

 

gilt. Das dyadische Produkt eines Einheitsvektors   mit sich selbst ist ein Projektionsoperator, denn das Matrix-Vektor-Produkt

 

projiziert einen gegebenen Vektor   orthogonal auf eine Ursprungsgerade mit Richtungsvektor  . Die Spiegelung eines Vektors an einer Ursprungsebene mit Einheits-Normalenvektor   ergibt sich entsprechend als

 ,

wobei   die Einheitsmatrix ist. Solche Spiegelungen werden beispielsweise in der Householdertransformation verwendet.

In der digitalen Bildverarbeitung können Faltungsmatrizen als dyadisches Produkt zweier Vektoren dargestellt werden. Durch diese Separierbarkeit können z. B. Weichzeichnungs- oder Kantenerkennungsfilter in „two passes“ (engl. zwei Durchläufe) angewendet werden, um den Rechenaufwand zu reduzieren.

Als Beispiel der 5 × 5 „convolution kernel“ (engl. Faltungsmatrix) des Gaußschen Weichzeichners:

 

Koordinatenfreie DarstellungBearbeiten

Bei der abstrakteren, koordinatenfreien Darstellung ist das dyadische Produkt   zweier Vektoren   und   aus zwei Vektorräumen   und   ein Tensor zweiter Stufe   im Tensorproduktraum  . Die verschiedenen Notationen verwenden teilweise Fettdruck für Vektoren oder lassen das Zeichen   weg:

 

Nicht jeder Tensor zweiter Stufe ist ein dyadisches Produkt von zwei Vektoren, jedoch kann jeder Tensor zweiter Stufe als Summe dyadischer Produkte dargestellt werden. Ein Tensor, der dyadisches Produkt zweier Vektoren ist, heißt einfacher Tensor oder Dyade.

Anwendung findet diese Version des dyadischen Produkts in der Kontinuumsmechanik, wo meist   identisch mit dem dreidimensionalen Vektorraum   der geometrischen Vektoren ist.

Ist   ein euklidischer Vektorraum, so kann mit Hilfe des Skalarprodukts von   das innere Produkt zwischen Tensoren und Vektoren definiert werden. Es ordnet jedem Tensor   und Vektoren   einen Vektor   zu. Für Dyaden   ist das innere Produkt wie folgt definiert:

 

Hierdurch kann jede Dyade und damit auch jeder Tensor   als lineare Abbildung

 

aufgefasst werden. Der Tensorproduktraum   kann also mit dem Raum   der linearen Abbildungen von   nach   identifiziert werden. Dies wird im Folgenden getan.

In Koordinatendarstellung ist das oben als Matrix definierte dyadische Produkt zweier Spaltenvektoren gerade die Abbildungsmatrix dieser linearen Abbildung. Für das dyadische Produkt gelten die folgenden Rechenregeln.  ,  , und  , seien euklidische Vektorräume. Dann gilt für alle  :

 .

Das Skalarprodukt zweier Tensoren aus   kann mit Vektoren   definiert werden:

 

Damit baut   einen euklidischen Vektorraum auf, dessen Elemente Tensoren zweiter Stufe sind. Mit einer Basis   von   und   von   besitzt   eine Basis   bezüglich der jeder Tensor komponentenweise dargestellt werden kann:

 

worin   die Dimension von   und   die Dimension von   ist. Die Komponenten   können in einer Matrix angeordnet werden, wobei dann die verwendete Basis in Erinnerung behalten werden muss. Gelegentlich wird z. B.

 

geschrieben. Ist der Definitionsbereich mit dem Bildbereich identisch, kann bei Verwendung der Standardbasis   der Verweis auf die verwendete Basis weggelassen werden und der Tensor geht in seine Matrixrepräsentation über, z. B.:

 .

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ari Ben-Menahem: Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences. Band 1. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-68831-0, S. 2463.
  2. Ivan Markovsky: Low Rank Approximation. Algorithms, Implementation, Applications. Springer, 2011, ISBN 978-1-4471-2227-2.

WeblinksBearbeiten