Nilpotente Matrix

Matrix, von der eine Potenz die Nullmatrix ergibt

Die nilpotente Matrix und der nilpotente Endomorphismus sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra.

DefinitionBearbeiten

Eine quadratische Matrix bezeichnet man als nilpotent, wenn eine ihrer Potenzen die Nullmatrix ergibt:

  für ein  

Entsprechend bezeichnet man einen Vektorraum-Endomorphismus   als nilpotent, wenn es eine Zahl   gibt, sodass   die Nullabbildung ist. Die kleinste natürliche Zahl  , welche dieses Kriterium erfüllt bezeichnet man als Nilpotenzgrad oder Nilpotenzindex. Zwischen nilpotenten Matrizen und nilpotenten Endomorphismen gibt es folgenden Zusammenhang: Zu jeder nilpotenten Matrix   ist die Linksmultiplikation dieser Matrix an Spaltenvektoren ein nilpotenter Endomorphismus. Umgekehrt ist jede Darstellungsmatrix eines nilpotenten Endomorphismus nilpotent.

Äquivalente DefinitionenBearbeiten

Für eine quadratische Matrix   mit   Zeilen und Spalten sind folgende Aussagen äquivalent:

  •   ist nilpotent.
  • Es gibt ein   mit   und  . Dann ist   nilpotent mit dem Nilpotenzgrad  .
  • Das charakteristische Polynom von   hat die Form  .
  • Das Minimalpolynom von   hat die Form   für ein  .
  •   ist ähnlich zu einer strikten Dreiecksmatrix, das heißt, es existiert eine invertierbare Matrix  , so dass gilt:

 

  • Speziell für Matrizen über   oder anderen algebraisch abgeschlossenen Körpern gilt, dass sie genau dann nilpotent sind, wenn ihr einziger Eigenwert 0 ist.

BeispielBearbeiten

Ein Beispiel für eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzgrad 2 ist die Matrix

 

da  .

Eigenschaften nilpotenter MatrizenBearbeiten

Wenn eine Matrix   nilpotent mit Nilpotenzgrad k ist, dann …

  • hat sie nur den Eigenwert Null. Das folgt direkt aus der Form des charakteristischen Polynoms  , dessen Nullstellen die Eigenwerte sind.
  • ist sie nicht invertierbar, da sie den Eigenwert null besitzt und somit ihr Kern nicht trivial ist.
  • ist entweder   oder sie ist nicht diagonalisierbar, da alle Diagonalmatrizen ungleich   nicht nilpotent sind.
  • ist die Determinante Null:  .
  • ist die Spur Null.
  • hat sie keinen vollen Rang, d. h. ihre Spaltenvektoren sind linear abhängig. Es sind jedoch nicht alle quadratischen Matrizen mit linear abhängigen Spalten auch gleichzeitig nilpotent.
  • ist   invertierbar (  ist die Einheitsmatrix), denn es ist  .

Da eine nilpotente Matrix ein Spezialfall eines nilpotenten Elements eines Ringes ist, gelten die im Artikel „Nilpotentes Element“ getroffenen allgemeinen Aussagen auch hier.

Jordan-Chevalley-ZerlegungBearbeiten

Jeder Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem algebraisch abgeschlossenen Körper lässt sich eindeutig als Summe eines diagonalisierbaren und eines nilpotenten Endomorphismus schreiben. Diese Zerlegung wird als Jordan-Chevalley-Zerlegung bezeichnet und ist im Wesentlichen eine Folge der Existenz der Jordanschen Normalform.

LiteraturBearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger) (= Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik). 14., durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, S. 384.