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Diagonalmatrix

quadratische Matrix, nur mit Einträgen auf der Hauptdiagonalen

Als Diagonalmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonalen bestimmt.

Für Diagonalmatrizen lässt sich die Matrixmultiplikation und die Inversenbildung einfacher als bei einer voll besetzten Matrix berechnen. Wird eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum mithilfe einer Diagonalmatrix dargestellt, so können die Eigenwerte der Abbildung aufgrund des Spektralsatzes direkt abgelesen werden.

Eine quadratische -dimensionale Matrix heißt diagonalisierbar, wenn es eine Diagonalmatrix gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, wenn eine reguläre Matrix so existiert, dass bzw. gilt.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine quadratische Matrix   über einem Körper   (zum Beispiel den reellen Zahlen  )

 ,

deren Elemente   mit   alle gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. Häufig schreibt man dafür

 .

BeispieleBearbeiten

ZahlenbeispielBearbeiten

Die  -Matrix

 

ist eine Diagonalmatrix.

Besondere DiagonalmatrizenBearbeiten

  • Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert   haben.
  • Die quadratische Nullmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert   haben.
  • Stimmen bei einer Diagonalmatrix sämtliche Zahlen auf der Hauptdiagonalen überein, spricht man auch von Skalarmatrizen.[1] Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix  . Die Gruppe der von der Nullmatrix verschiedenen Skalarmatrizen ist das Zentrum der allgemeinen linearen Gruppe  .

Eigenschaften von DiagonalmatrizenBearbeiten

  • Die jeweiligen Diagonalmatrizen bilden einen kommutativen Unterring des Rings der quadratischen  -Matrizen.
  • Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen:
     
  • Die Adjunkte einer Diagonalmatrix ist ebenfalls wieder eine Diagonalmatrix.
  • Diagonalmatrizen sind selbstadjungiert und normal.

RechenoperationenBearbeiten

Matrizenaddition, Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation, TranspositionBearbeiten

Die Matrizenaddition, Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation gestalten sich bei Diagonalmatrizen sehr einfach:

 

Multiplikation einer Matrix   von links mit einer Diagonalmatrix entspricht der Multiplikation der Zeilen von   mit den Diagonaleinträgen. Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von   mit den Diagonaleinträgen.

Für jede Diagonalmatrix   gilt, dass sie symmetrisch ist, folglich gilt:  .[2]

Berechnung der InversenBearbeiten

Eine Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keiner der Einträge auf der Hauptdiagonale   ist. Die inverse Matrix berechnet sich dann wie folgt:

 

Für die Pseudoinverse einer beliebigen Diagonalmatrix gilt:

 

mit   für   und   für  ,  . Damit kann beispielsweise bei einer bestehenden Singulärwertzerlegung die Pseudoinverse   sehr effizient berechnet werden:  .[3]

Invertierbare DiagonalmatrizenBearbeiten

In der Theorie algebraischer Gruppen wird eine Gruppe, die isomorph zu einem endlichen Produkt von Kopien der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist, als algebraischer Torus oder einfach als Torus bezeichnet.

Wie man leicht sieht, ist das Produkt von   Kopien der multiplikativen Gruppe des Körpers   isomorph zur Gruppe der invertierbaren  -Diagonalmatrizen über dem Körper  .

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wiktionary: Diagonalmatrix – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.
  2. Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. 4., korrigierte Auflage, Nachdruck. Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1812-0, S. 363.
  3. Mathematical Modelling of Continuous Systems, p. 31 f.