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Basiswechsel (Vektorraum)

Übergang zwischen zwei verschiedenen Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums

Der Basiswechsel oder die Basistransformation ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit den Übergang zwischen zwei verschiedenen Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem Körper . Dadurch ändern sich im Allgemeinen die Koordinaten der Vektoren und die Abbildungsmatrizen von linearen Abbildungen. Ein Basiswechsel ist somit ein Spezialfall einer Koordinatentransformation.

Der Basiswechsel kann durch eine Matrix beschrieben werden, die Basiswechselmatrix, Transformationsmatrix oder Übergangsmatrix genannt wird. Mit dieser lassen sich auch die Koordinaten bezüglich der neuen Basis ausrechnen. Stellt man die Basisvektoren der alten Basis als Linearkombinationen der Vektoren der neuen Basis dar, so bilden die Koeffizienten dieser Linearkombinationen die Einträge der Basiswechselmatrix.

Inhaltsverzeichnis

BasiswechselmatrixBearbeiten

 
Kommutatives Diagramm

Es sei   ein  -dimensionaler Vektorraum über dem Körper   (zum Beispiel dem Körper   der reellen Zahlen). In   seien zwei geordnete Basen gegeben,   und  .

Die Basiswechselmatrix   für den Basiswechsel von   nach   ist eine  -Matrix. Es handelt sich um die Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung auf   bezüglich der Basen   im Urbild und   im Bild:

 

Man erhält sie, indem man die Vektoren der alten Basis   als Linearkombinationen der Vektoren der neuen Basis   darstellt:

 

Die Koeffizienten   bilden die  -te Spalte der Basiswechselmatrix

 

Diese Matrix ist quadratisch und invertierbar und somit ein Element der allgemeinen linearen Gruppe  . Ihre Inverse   beschreibt den Basiswechsel von   zurück nach  .

SpezialfälleBearbeiten

Ein wichtiger Spezialfall ist der Fall  , der Vektorraum stimmt also mit dem Koordinatenraum überein. In diesem Fall sind die Basisvektoren Spaltenvektoren

 

die sich zu Matrizen

 

zusammenfassen lassen, die hier der Einfachheit halber mit den gleichen Buchstaben wie die zugehörigen Basen bezeichnet werden. Die Bedingung

 

übersetzt sich dann zu

 

das heißt,

 

Die Transformationsmatrix   lässt sich somit durch

 

berechnen, wobei   die inverse Matrix der Matrix   ist.

Insbesondere gilt: Ist   die Standardbasis, so gilt  . Ist   die Standardbasis, so gilt  .

Wie im Vorangehenden wird hier die Basis   mit der Matrix identifiziert, die man erhält, indem man die Basisvektoren als Spaltenvektoren schreibt und diese zu einer Matrix zusammenfasst.

KoordinatentransformationBearbeiten

Ein Vektor   habe bezüglich der Basis   die Koordinaten  , d. h.

 

und bezüglich der neuen Basis   die Koordinaten  , also

 

Stellt man wie oben die Vektoren   der alten Basis als Linearkombination der neuen Basis dar, so erhält man

 

Dabei sind die   die oben definierten Einträge der Basiswechselmatrix  . Durch Koeffizientenvergleich erhält man

 

bzw. in Matrizenschreibweise:

 

oder kurz:

 

Basiswechsel bei AbbildungsmatrizenBearbeiten

Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung hängt von der Wahl der Basen im Urbild- und im Zielraum ab. Wählt man andere Basen, so erhält man auch andere Abbildungsmatrizen.

 
Kommutatives Diagramm der beteiligten Abbildungen. Mit   wird hier die lineare Abbildung von   nach   bezeichnet, die   auf   abbildet, etc.

Seien   ein  -dimensionaler und   ein  -dimensionaler Vektorraum über   und   eine lineare Abbildung. In   seien die geordneten Basen   und   gegeben, in   die geordneten Basen   und  . Dann gilt für die Darstellungsmatrizen von   bezüglich   und   bzw. bezüglich   und  :

 

Man erhält diese Darstellung, indem man

 

schreibt. Die Abbildungsmatrix der Verkettung ist dann das Matrizenprodukt der einzelnen Abbildungsmatrizen, wenn die Basen passend gewählt sind, das heißt: die Basis   im Urbild von  , die Basis   im Bild von   und im Urbild von  , die Basis   im Bild von   und im Urbild von  , und die Basis   im Bild von  . Man erhält also:

 

Ein wichtiger Spezialfall ist, wenn   ein Endomorphismus ist und im Urbild und Bild jeweils dieselbe Basis   bzw.   benutzt wird. Dann gilt:

 

Setzt man  , so gilt also

 

Die Abbildungsmatrizen   und   sind also ähnlich.

BeispielBearbeiten

Wir betrachten zwei Basen   und   des   mit

 

und

 

wobei die Koordinatendarstellung der Vektoren die Vektoren bezüglich der Standardbasis beschreibt.

Die Transformation der Koordinaten eines Vektors

 

ergibt sich durch die Darstellung der alten Basisvektoren   bezüglich der neuen Basis   und deren Gewichtung mit  .

Um die Matrix der Basistransformation   von   nach   zu berechnen, müssen wir die drei linearen Gleichungssysteme

 

nach den 9 Unbekannten   auflösen.

Dies kann mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus für alle drei Gleichungssysteme simultan erfolgen. Dazu wird folgendes lineares Gleichungssystem aufgestellt:

 

Durch Umformen mit elementaren Zeilenoperationen lässt sich die linke Seite auf die Einheitsmatrix bringen und auf der rechten Seite erhält man als Lösung des Systems die Transformationsmatrix

 .

Wir betrachten den Vektor  , also den Vektor der bezüglich der Basis   die Koordinaten

 

besitzt. Um nun die Koordinaten bezüglich   zu berechnen, müssen wir die Transformationsmatrix   mit diesem Spaltenvektor multiplizieren:

 .

Also ist  .

In der Tat rechnet man als Probe leicht nach, dass

 

gilt.

Basiswechsel mit Hilfe der dualen BasisBearbeiten

Im wichtigen und anschaulichen Spezialfall des euklidischen Vektorraums (V, ·) kann der Basiswechsel elegant mit der dualen Basis   einer Basis   durchgeführt werden. Für die Basisvektoren gilt dann

 

mit dem Kronecker-Delta  . Skalare Multiplikation eines Vektors   mit den Basisvektoren  , Multiplikation dieser Skalarprodukte mit den Basisvektoren   und Addition aller Gleichungen ergibt einen Vektor   Hier wie im Folgenden ist die Einsteinsche Summenkonvention anzuwenden, der zufolge über in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes, im vorhergehenden Satz beispielsweise nur  , von eins bis   zu summieren ist. Skalare Multiplikation von   mit irgendeinem Basisvektor   ergibt wegen

 

dasselbe Ergebnis wie die skalare Multiplikation von   mit diesem Basisvektor, weswegen die beiden Vektoren identisch sind:

 

Analog zeigt sich:

 

Dieser Zusammenhang zwischen den Basisvektoren und einem Vektor, seinen Komponenten und Koordinaten, gilt für jeden Vektor im gegebenen Vektorraum.

Wechsel zur dualen BasisBearbeiten

Skalare Multiplikation beider Gleichungen mit   liefert   oder

 

Die Umkehroperation mit   ist

 

Für die oben benutzten Skalarprodukte   und   gilt:

 

Wechsel zu einer anderen BasisBearbeiten

Gegeben sei ein Vektor  , der von einer Basis   zur Basis   wechseln soll. Das gelingt, indem jeder Basisvektor gemäß   durch die neue Basis ausgedrückt wird:

  mit  

Die Umkehrung davon ist   Der Basiswechsel bei Tensoren zweiter Stufe wird analog durchgeführt:

  mit  

was sich ohne weiteres auf Tensoren höherer Stufe verallgemeinern lässt. Das Rechenzeichen „ “ bildet das dyadische Produkt.

Der Zusammenhang zwischen den Koordinaten

  und  

kann kompakt mit Basiswechselmatrizen   mit den Komponenten   bei einem Basiswechsel von   nach   und ihren dualen Partnern dargestellt werden. Die Inverse der Basiswechselmatrix hat, wie oben angedeutet, die Komponenten   denn bei der Matrizenmultiplikation ergibt sich für Komponenten  :

 

AnwendungenBearbeiten

Basiswechselmatrizen besitzen vielfältige Anwendungsmöglichkeiten in der Mathematik und Physik.

In der MathematikBearbeiten

Eine Anwendung von Basiswechselmatrizen in der Mathematik ist die Veränderung der Gestalt der Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung, um die Rechnung zu vereinfachen.

Möchte man zum Beispiel die Potenz   einer  -Matrix   mit einem Exponenten   berechnen, so ist die Zahl der benötigten Matrizenmultiplikationen von der Größenordnung  . Ist   diagonalisierbar, so existieren eine Diagonalmatrix   und eine Basiswechselmatrix  , sodass   und somit

 

Die Zahl der für die Berechnung der rechten Seite benötigten Multiplikationen ist nur von der Größenordnung:

  •   zur Berechnung von  ,
  •   zur Berechnung des Produkts  
  • sowie einer Matrixmultiplikation für das Produkt  

Da die Matrixmultiplikation von der Größenordnung   ist, erhalten wir eine Komplexität von   anstelle von  .

In der PhysikBearbeiten

Eine Anwendung von Basiswechselmatrizen in der Physik findet bspw. in der Ähnlichkeitstheorie statt, um dimensionslose Kennzahlen zu ermitteln. Hierbei werden durch einen Basiswechsel einer physikalischen Größe neue Basisdimensionen zugeordnet. Die dimensionslosen Kennzahlen stellen dann genau das Verhältnis der physikalischen Größe zu seiner Dimensionsvorschrift dar.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wikiversity: Vorlesung zu Basiswechsel – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch