Formelsammlung Tensoralgebra

${\sqrt[{n}]{x}}$

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Tensoralgebra. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.

Allgemeines

Notation

• Operatoren wie $\mathrm {I} _{1}$ werden nicht kursiv geschrieben.
• Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
  • $i,j,k,l,m,n\in \{1,2,3\}$.
    Ausnahme:
    Die imaginäre Einheit $\mathrm {i} ^{2}=-1$ und die #Vektorinvariante ${\vec {\mathrm {i} }}$ werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben.
  • $p,q,r,s\in \{1,2,\ldots ,9\}$
  • $u,v\in \{1,2,\ldots ,6\}$
• Alle anderen Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
• Vektoren:
  • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum $\mathbb {V}$.
  • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
    Ausnahme #Dualer axialer Vektor ${\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}$
  • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von $\mathbb {V}$ ist ê_1,2,3.
  • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in ${\vec {a}}$ mit einem Pfeil versehen.
  • Dreiergruppen von Vektoren wie in ${\vec {h}}_{1},{\vec {h}}_{2},{\vec {h}}_{3}$ oder ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}$ bezeichnen eine rechtshändige Basis von $\mathbb {V}$.
  • Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ${\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}$ ist dual zu ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}$.
• Tensoren zweiter Stufe werden wie in A mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit ${\mathcal {L}}:=\mathrm {Lin} (\mathbb {V} ,\mathbb {V} )$ bezeichnet. Tensoren höherer Stufe werden mit einer hochgestellten Zahl wie in ${\stackrel {4}{\mathbf {C} }}$ geschrieben. Tensoren vierter Stufe sind Elemente der Menge ${\stackrel {4}{\mathcal {L}}}:=\mathrm {Lin} ({\mathcal {L}},{\mathcal {L}})$.
• Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
  • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in $c=a_{i}b^{i}$ wird über diesen Index summiert:
    $c=a_{i}b^{i}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}b^{i}$.
  • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in $c=A_{pq}B_{q}^{p}$ wird über diese summiert:
    $c=A_{pq}B_{q}^{p}=\sum _{p=1}^{9}\sum _{q=1}^{9}A_{pq}B_{q}^{p}$.
  • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie $u$ in $a_{u}=A_{uv}b_{v}$, ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
    $a_{u}=A_{uv}b_{v}\quad \leftrightarrow \quad a_{u}=\sum _{v=1}^{6}A_{uv}b_{v}\quad \forall \;u\in \{1,\ldots ,6\}$.

Glossar

Reservierte und besondere Symbole

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
$\mathbf {I,1}$	#Einheitstensor	Einheitstensor
$\mathbf {Q,R}$	#Orthogonale Tensoren	Orthogonaler Tensor
$\lambda$	#Eigenwerte	Eigenwertproblem
$\delta _{ij}$	#Kronecker-Delta	Kronecker-Delta
$\epsilon _{ijk}$	#Permutationssymbol	Permutationssymbol
${\stackrel {3}{\mathbf {E} }}$	#Fundamentaltensor 3. Stufe	Epsilon-Tensor
$[{\vec {a}}]_{\times }$	#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix	Kreuzprodukt
${\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}},\mathbf {A} _{\times }$	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt
${\vec {\mathrm {i} }}$	#Vektorinvariante	Vektorinvariante
$\mathrm {i}$		Imaginäre Einheit

Zeichen für Operatoren

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
$(\cdot )\cdot (\cdot )$	Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation, #Tensorprodukt	Skalarprodukt
$(\cdot )\times (\cdot )$	#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor, #Kreuzprodukt von Tensoren	Kreuzprodukt
$(\cdot ):(\cdot )$	#Skalarprodukt von Tensoren	Frobenius-Skalarprodukt
$(\cdot )\otimes (\cdot )$	#Dyadisches Produkt	Dyadisches Produkt
$(\cdot )\cdot \!\!\times (\cdot )$	#Skalarkreuzprodukt von Tensoren
$(\cdot )\times \!\!\times (\cdot )$	#Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren
$(\cdot )\#(\cdot )$	#Äußeres Tensorprodukt	Äußeres Tensorprodukt
$\parallel (\cdot )\parallel$	#Betrag	Frobeniusnorm
$|x|,|{\vec {v}}|,|\mathbf {A} |$	Betrag der Zahl x oder des Vektors ${\vec {v}}$, #Determinante des Tensors A	Determinante

Tensorfunktionen

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
$\mathrm {Sp,tr,I} _{1}$	#Spur	Spur (Mathematik), Hauptinvariante
$\mathrm {I} _{2}$	#Zweite Hauptinvariante	Hauptinvariante
$\mathrm {det,I} _{3},|\mathbf {A} |$	#Determinante	Determinante, Hauptinvariante
sym	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix
skw, skew	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
adj	#Adjunkte	Adjunkte
cof	#Kofaktor	Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix
dev	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
sph	#Kugelanteil	Kugeltensor

Indizes

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
$(\cdot )_{ij},(\cdot )^{ij},(\cdot )_{j}^{i}$	#Tensorkomponenten
$(\cdot )^{\top }$	#Transposition	Transponierte Matrix
$(\cdot )^{\stackrel {mn}{\top }}$	Transpositionen von Tensoren vierter Stufe
$(\cdot )^{-1}$	#Inverse	Inverse Matrix
$(\cdot )^{-\top },(\cdot )^{\top -1}$	#Transposition der #Inverse
$(\cdot )^{\mathrm {S} }$	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix
$(\cdot )^{\mathrm {A} }$	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
$(\cdot )^{\mathrm {D} }$	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
$(\cdot )^{\mathrm {K} }$	#Kugelanteil	Kugeltensor
${\stackrel {n}{(\cdot )}}$	Tensor n-ter Stufe
${\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}},\mathbf {A} _{\times }$	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt

Mengen

Formelzeichen	Elemente
$\mathbb {R}$	Reelle Zahlen
$\mathbb {C}$	Komplexe Zahlen
$\mathbb {V}$	Vektoren
${\mathcal {L}}=\mathrm {Lin} (\mathbb {V,V} )$	Tensoren zweiter Stufe
${\stackrel {4}{\mathcal {L}}}=\mathrm {Lin} ({\mathcal {L,L}})$	#Tensoren vierter Stufe

Kronecker-Delta

Siehe auch: Kronecker-Delta

$\delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&\mathrm {falls} \quad i=j\\0&\mathrm {sonst} \end{cases}}$

Für Summen gilt dann z. B.

$v_{i}\delta _{ij}=v_{j}$

$A_{ij}\delta _{ij}=A_{ii}$

Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.

Permutationssymbol

Siehe auch: Permutationssymbol

$\epsilon _{ijk}={\hat {e}}_{i}\cdot ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})={\begin{cases}1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\\-1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\}\\0&{\text{sonst, d.h. bei doppeltem Index}}\end{cases}}$

$\epsilon _{ijk}\epsilon _{lmn}={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{jl}&\delta _{kl}\\\delta _{im}&\delta _{jm}&\delta _{km}\\\delta _{in}&\delta _{jn}&\delta _{kn}\end{vmatrix}}$

$\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}$

$\epsilon _{ijk}\epsilon _{jkl}=2\delta _{il}$

$\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijk}=6$

Kreuzprodukt:

$a_{i}{\hat {e}}_{i}\times b_{j}{\hat {e}}_{j}=\epsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\hat {e}}_{k}=\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}{\hat {e}}_{i}=\epsilon _{ijk}a_{k}b_{i}{\hat {e}}_{j}$

$\epsilon _{ijk}{\hat {e}}_{k}={\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}$

Spaltenvektoren und Matrizen

Siehe auch: Matrix (Mathematik)

Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

${\vec {a}}=a_{i}{\hat {e}}_{i}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}$

Drei Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ können spaltenweise in einer 3×3-Matrix $M$ arrangiert werden:

$M={\begin{pmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}$

Die Determinante der Matrix

$|M|={\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}$

ist

• ungleich null, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind und
• größer null, wenn die Spaltenvektoren zusätzlich ein Rechtssystem bilden.

Also gewährleistet ${\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}>0$, dass die Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

$M^{\top }M={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

worin $M^{\top }$ die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich $|M|=+1$.

Vektoralgebra

Basis und Duale Basis

Siehe auch: Vektorraumbasis

Basisvektoren ${\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}$

Duale Basisvektoren ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}$

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

${\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j}$

${\vec {g}}^{1}={\frac {{\vec {g}}_{2}\times {\vec {g}}_{3}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}},\quad g^{2}={\frac {{\vec {g}}_{3}\times {\vec {g}}_{1}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}},\quad g^{3}={\frac {{\vec {g}}_{1}\times {\vec {g}}_{2}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}}$

${\vec {g}}_{1}={\frac {{\vec {g}}^{2}\times {\vec {g}}^{3}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3})}},\quad g_{2}={\frac {{\vec {g}}^{3}\times {\vec {g}}^{1}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3})}},\quad g_{3}={\frac {{\vec {g}}^{1}\times {\vec {g}}^{2}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3})}}$

mit dem Spatprodukt

$({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}):={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}$

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der #transponiert #Inversen $()^{\top -1}$:

${\begin{pmatrix}{\vec {g}}^{1}&{\vec {g}}^{2}&{\vec {g}}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\vec {g}}_{1}&{\vec {g}}_{2}&{\vec {g}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top -1}$

In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren ${\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}$ zu sich selbst dual:

${\hat {e}}_{i}={\hat {e}}^{i}$

Berechnung von Vektorkomponenten

${\vec {v}}=v_{i}{\hat {e}}_{i}\quad \rightarrow \;v_{i}={\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{i}$

${\vec {v}}=v^{i}{\vec {g}}_{i}\quad \rightarrow \;v^{i}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}^{i}$

${\vec {v}}=v_{i}{\vec {g}}^{i}\quad \rightarrow \;v_{i}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}_{i}$

Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren

$({\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{k})({\vec {g}}^{k}\cdot {\vec {g}}^{j})={\vec {g}}_{i}\cdot ({\vec {g}}^{j}\cdot {\vec {g}}^{k}){\vec {g}}_{k}={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j}$

Wechsel der Basis bei Vektoren

Siehe auch: Koordinatentransformation

Wechsel von

Basis ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}$ mit dualer Basis ${\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}$

nach

Basis ${\vec {h}}^{1},{\vec {h}}^{2},{\vec {h}}^{3}$ mit dualer Basis ${\vec {h}}_{1},{\vec {h}}_{2},{\vec {h}}_{3}$:

${\vec {v}}=v_{i}\,{\vec {g}}^{i}=v_{i}^{\ast }\,{\vec {h}}^{i}\quad \rightarrow \;v_{i}^{\ast }=({\vec {h}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j})v_{j}$

Matrizengleichung:

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{1}^{\ast }\\v_{2}^{\ast }\\v_{3}^{\ast }\end{pmatrix}}=&{\begin{pmatrix}{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{3}\\{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{3}\\{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\\=&{\begin{pmatrix}{\vec {h}}_{1}&{\vec {h}}_{2}&{\vec {h}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top }{\begin{pmatrix}{\vec {g}}^{1}&{\vec {g}}^{2}&{\vec {g}}^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Dyadisches Produkt

Siehe auch: Dyadisches Produkt

Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:

Abbildung $\mathbb {V} \times \mathbb {V} \to {\mathcal {L}}$

${\vec {a}}\otimes {\vec {g}}=\mathbf {T} \in {\mathcal {L}}$

Multiplikation mit einem Skalar:

$x({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=(x{\vec {a}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\otimes (x{\vec {g}})=x{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}$

Distributivität:

$(x+y){\vec {a}}\otimes {\vec {g}}=x{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+y{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}$

$({\vec {a}}+{\vec {b}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+{\vec {b}}\otimes {\vec {g}}$

${\vec {a}}\otimes ({\vec {g}}+{\vec {h}})={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+{\vec {a}}\otimes {\vec {h}}$

Skalarprodukt:

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}):({\vec {b}}\otimes {\vec {h}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {g}}\cdot {\vec {h}})$

Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes

Siehe auch: Dyadisches Produkt und Tensor

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird ${\mathcal {L}}$ zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von ${\mathcal {L}}$ dargestellt werden:

$\mathbf {A} \in {\mathcal {L}}\rightarrow \mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}$ mit Komponenten $A_{ij},A^{ij}\in \mathbb {R}$.

Die Dyaden $\{{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}|i,j=1,2,3\}$ und $\{{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}|i,j=1,2,3\}$ bilden Basissysteme von ${\mathcal {L}}$.

Operatoren

Transposition

Siehe auch: Transponierte Matrix

Abbildung ${\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}$

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }:={\vec {g}}\otimes {\vec {a}}$

$(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})^{\top }=A_{ij}({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i})=A_{ji}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})$

$(A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})^{\top }=A^{ij}({\vec {g}}_{j}\otimes {\vec {a}}_{i})=A^{ji}({\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {a}}_{j})$

$\left(\mathbf {A} ^{\top }\right)^{\top }=\mathbf {A}$

$(\mathbf {A+B} )^{\top }=\mathbf {A} ^{\top }+\mathbf {B} ^{\top }$

$(\mathbf {A\cdot B} )^{\top }=\mathbf {B} ^{\top }\cdot \mathbf {A} ^{\top }$

Vektortransformation

Abbildung ${\mathcal {L}}\times \mathbb {V} \to \mathbb {V}$ oder $\mathbb {V} \times {\mathcal {L}}\to \mathbb {V}$

Dyaden:

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot {\vec {h}}:=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}$

${\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}):=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {g}}$

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot {\vec {h}}={\vec {h}}\cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }$

${\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }\cdot {\vec {b}}$

Allgemeine Tensoren:

$A_{ij}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\cdot {\vec {v}}=A_{ij}({\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{j}){\hat {e}}_{i}$

$A^{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})\cdot {\vec {v}}=A^{ij}({\vec {v}}\cdot {\vec {g}}_{j}){\vec {a}}_{i}$

${\vec {v}}\cdot A_{ij}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{ij}({\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{i}){\hat {e}}_{j}$

${\vec {v}}\cdot A^{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=A^{ij}({\vec {v}}\cdot {\hat {a}}_{i}){\vec {g}}_{j}$

Symbolisch:

$\mathbf {A} \cdot {\vec {v}}={\vec {v}}\cdot \mathbf {A} ^{\top }$

${\vec {v}}\cdot \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\vec {v}}$

Tensorprodukt

Siehe auch: Matrizenmultiplikation

Abbildung ${\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}$

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot ({\vec {h}}\otimes {\vec {u}}):=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}\otimes {\vec {u}}$

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot \mathbf {A} ={\vec {a}}\otimes ({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\cdot \mathbf {A} ={\vec {a}}\otimes (\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\vec {g}})$

$\mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\otimes {\vec {g}}=\mathbf {A} \cdot {\vec {a}}\otimes {\vec {g}}$

$(A_{ik}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{k})\cdot (B_{lj}{\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{ik}B_{kj}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}$

$\left(A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\right)\cdot \left(B^{kl}{\vec {h}}_{k}\otimes {\vec {u}}_{l}\right)=A^{ij}({\vec {g}}_{j}\cdot {\vec {h}}_{k})B^{kl}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{l}$

Skalarprodukt von Tensoren

Siehe auch: Frobenius-Skalarprodukt

Abbildung ${\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to \mathbb {R}$

Definition über die #Spur:

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}):({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=\mathrm {Sp} (({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }\cdot ({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}))=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {g}}\cdot {\vec {h}})$

$\mathbf {A} :\mathbf {B} :=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {B} )$

Eigenschaften:

$\mathbf {A} :\mathbf {B} =\mathbf {B} :\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top }:\mathbf {B} ^{\top }=\mathbf {B} ^{\top }:\mathbf {A} ^{\top }$

$\mathbf {A} ^{\top }:\mathbf {B} =\mathbf {A} :\mathbf {B} ^{\top }$

$\mathbf {A} :(\mathbf {B\cdot C} )=(\mathbf {B} ^{\top }\cdot \mathbf {A} ):\mathbf {C} =(\mathbf {A\cdot C} ^{\top }):\mathbf {B}$

$(\mathbf {A\cdot B} ):\mathbf {C} =\mathbf {B} :(\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {C} )=\mathbf {A} :(\mathbf {C\cdot B} ^{\top })$

$({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}):\mathbf {A} ={\vec {u}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}$

Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor

Abbildung $\mathbb {V} \times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}$ oder ${\mathcal {L}}\times \mathbb {V} \to {\mathcal {L}}$

Dyaden:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\otimes {\vec {g}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}\otimes {\vec {g}}$

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\times {\vec {h}}={\vec {a}}\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}})={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\times {\vec {h}}$

${\vec {a}}\times {\vec {b}}\otimes {\vec {g}}=-[({\vec {b}}\otimes {\vec {g}})^{\top }\times {\vec {a}}]^{\top }$

${\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\times {\vec {h}}=-[{\vec {h}}\times ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }]^{\top }$

$a_{j}{\hat {e}}_{j}\times (A_{kl}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l})=a_{j}A_{kl}({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})\otimes {\hat {e}}_{l}=\epsilon _{ijk}a_{j}A_{kl}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{l}$

$(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\times a_{k}{\hat {e}}_{k}=A_{ij}a_{k}{\hat {e}}_{i}\otimes ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})=\epsilon _{jkl}A_{ij}a_{k}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{l}$

Allgemeine Tensoren:

$({\vec {a}}\times \mathbf {A} )\cdot {\vec {g}}:={\vec {a}}\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}})={\vec {a}}\times ({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} ^{\top })$

${\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\times \mathbf {A} ):=({\vec {b}}\times {\vec {a}})\cdot \mathbf {A}$

${\vec {g}}\cdot (\mathbf {A} \times {\vec {a}}):=({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )\times {\vec {a}}=(\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\vec {g}})\times {\vec {a}}$

$(\mathbf {A} \times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=\mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})$

${\vec {a}}\times \mathbf {A} =-\left(\mathbf {A} ^{\top }\times {\vec {a}}\right)^{\top }$

$\mathbf {A} \times {\vec {a}}=-\left({\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\top }\right)^{\top }$

Symmetrische Tensoren: ${\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\mathrm {S} }=-\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }\times {\vec {a}}\right)^{\top }$

Insbesondere Kugeltensoren: ${\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\mathrm {K} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {K} }\times {\vec {a}}=-({\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\mathrm {K} })^{\top }$

Schiefsymmetrische Tensoren: ${\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\mathrm {A} }=\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }\times {\vec {a}}\right)^{\top }$

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix mit dem #Einheitstensor:

$({\vec {a}}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {g}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {g}}\times \mathbf {1} )={\vec {a}}\cdot (\mathbf {1} \times {\vec {g}})={\vec {a}}\times {\vec {g}}$

Mehrfach:

$({\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times \mathbf {A} ))\cdot {\vec {g}}={\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}}))=({\vec {a}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\mathbf {A} \cdot {\vec {g}}$

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times \mathbf {A} )={\vec {b}}\otimes {\vec {a}}\cdot \mathbf {A} -({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\mathbf {A}$

Meistens ist aber:

$(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\times {\vec {g}}\neq \mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\times {\vec {g}})=(\mathbf {A} \times {\vec {a}})\cdot {\vec {g}}$

${\vec {a}}\times ({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )\neq ({\vec {a}}\times {\vec {g}})\cdot \mathbf {A} ={\vec {a}}\cdot ({\vec {g}}\times \mathbf {A} )$

Kreuzprodukt von Tensoren

Abbildung ${\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to \mathbb {V}$

$\mathbf {A\times B} ={\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:(\mathbf {A\cdot B} ^{\top })=-{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:(\mathbf {B\cdot A} ^{\top })=-\mathbf {B\times A} \in \mathbb {V}$

mit #Fundamentaltensor 3. Stufe ${\stackrel {3}{\mathbf {E} }}$.

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\times ({\vec {b}}\otimes {\vec {h}})=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}\times {\vec {b}}$

${\begin{aligned}&A_{ik}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{k})\times [B_{jl}({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{l})]=A_{ik}B_{jk}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j})=\ldots \\&\ldots ={\begin{pmatrix}A_{21}B_{31}-A_{31}B_{21}+A_{22}B_{32}-A_{32}B_{22}+A_{23}B_{33}-A_{33}B_{23}\\A_{31}B_{11}-A_{11}B_{31}+A_{32}B_{12}-A_{12}B_{32}+A_{33}B_{13}-A_{13}B_{33}\\A_{11}B_{21}-A_{21}B_{11}+A_{12}B_{22}-A_{22}B_{12}+A_{13}B_{23}-A_{23}B_{13}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Zusammenhang mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

$\mathbf {A\times B} =-2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A\cdot B} ^{\top }}}}={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A\cdot B} ^{\top })$

Mit #Einheitstensor:

$\mathbf {1\times A} =2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}=-{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )$

Mehrfachprodukte:

$(\mathbf {A\cdot B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times (\mathbf {C\cdot B} ^{\top })$

$\mathbf {A} \times (\mathbf {B\cdot C} )=(\mathbf {A\cdot C} ^{\top })\times \mathbf {B}$

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

$\mathbf {A\times B} =\mathbf {A} \cdot \!\!\times (\mathbf {B} ^{\top })$

Skalarkreuzprodukt von Tensoren

Abbildung ${\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to \mathbb {V}$

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot \!\!\times ({\vec {h}}\otimes {\vec {u}})=-({\vec {u}}\otimes {\vec {h}})\cdot \!\!\times ({\vec {g}}\otimes {\vec {a}}):=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}\times {\vec {u}}$

${\begin{aligned}&A_{ik}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{k})\cdot \!\!\times [B_{lj}({\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{j})]=A_{ik}B_{kj}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j})=\ldots \\&\ldots ={\begin{pmatrix}A_{21}B_{13}-A_{31}B_{12}+A_{22}B_{23}-A_{32}B_{22}+A_{23}B_{33}-A_{33}B_{32}\\A_{31}B_{11}-A_{11}B_{13}+A_{32}B_{21}-A_{12}B_{23}+A_{33}B_{31}-A_{13}B_{33}\\A_{11}B_{12}-A_{21}B_{11}+A_{12}B_{22}-A_{22}B_{21}+A_{13}B_{32}-A_{23}B_{31}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Das Skalarkreuzprodukt mit dem #Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:

$\mathbf {1} \cdot \!\!\times ({\vec {a}}\otimes {\vec {b}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}$

Allgemein:

$\mathbf {A} \cdot \!\!\times \mathbf {B} =-(\mathbf {B} ^{\top })\cdot \!\!\times (\mathbf {A} ^{\top })$

$\mathbf {A} \cdot \!\!\times (\mathbf {B\cdot C} )=(\mathbf {A\cdot B} )\cdot \!\!\times \mathbf {C}$

$(\mathbf {A\cdot B} )\cdot \!\!\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \!\!\times (\mathbf {B\cdot C} )$

Zusammenhang mit dem #Kreuzprodukt von Tensoren:

$\mathbf {S} \cdot \!\!\times \mathbf {T} =\mathbf {S\times (T^{\top })}$

Zusammenhang mit #Vektorinvariante und #Dualer axialer Vektor:

$\mathbf {A} \cdot \!\!\times \mathbf {B} ={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=-2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }}}$

Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren

Siehe auch #Äußeres Tensorprodukt #

Abbildung ${\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}$

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\times \!\!\times ({\vec {h}}\otimes {\vec {b}}):=({\vec {g}}\times {\vec {h}})\otimes ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=({\vec {g}}\otimes {\vec {a}})\#({\vec {h}}\otimes {\vec {b}})$

$A_{ij}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\times \!\!\times [B_{kl}({\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l})]:=A_{ij}B_{kl}({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})\otimes ({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{l})$

$\mathbf {A} \times \!\!\times \mathbf {B} =\mathbf {A} ^{\top }\#\mathbf {B}$

Äußeres Tensorprodukt

Siehe auch: Äußeres Tensorprodukt

Abbildung ${\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}$

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\#({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}})=({\vec {g}}\otimes {\vec {a}})\times \!\!\times ({\vec {b}}\otimes {\vec {h}})$

${\begin{aligned}&(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\#(B_{kl}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l})=A_{ij}B_{kl}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{k})\otimes ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{l})\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;=\epsilon _{ikm}\epsilon _{jln}A_{ij}B_{kl}{\hat {e}}_{m}\otimes {\hat {e}}_{n}\end{aligned}}$

Mit der Formel für das Produkt zweier #Permutationssymbole:

${\begin{aligned}\mathbf {A} \#\mathbf {B} =&[\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathrm {Sp} (\mathbf {B} )-\mathrm {Sp} (\mathbf {A\cdot B} )]\mathbf {1} \\&+[\mathbf {A\cdot B} +\mathbf {B\cdot A} -\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {B} -\mathrm {Sp} (\mathbf {B} )\mathbf {A} ]^{\top }\end{aligned}}$

Grundlegende Eigenschaften:

$\mathbf {A} \#\mathbf {B} =\mathbf {B} \#\mathbf {A} =(\mathbf {A} ^{\top }\#\mathbf {B} ^{\top })^{\top }$

$(\mathbf {A+B} )\#\mathbf {C} =\mathbf {A} \#\mathbf {C} +\mathbf {B} \#\mathbf {C}$

$\mathbf {A} \#(\mathbf {B+C} )=\mathbf {A} \#\mathbf {B} +\mathbf {A} \#\mathbf {C}$

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

$(\mathbf {A} \#\mathbf {B} )\cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})=(\mathbf {A} \cdot {\vec {u}})\times (\mathbf {B} \cdot {\vec {v}})-(\mathbf {A} \cdot {\vec {v}})\times (\mathbf {B} \cdot {\vec {u}})$

${\frac {1}{2}}(\mathbf {A} \#\mathbf {A} )\cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})=\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})=(\mathbf {A} \cdot {\vec {u}})\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {v}})$

#Hauptinvarianten:

${\frac {1}{2}}(\mathbf {A\#1} ):\mathbf {1} =\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )$

${\frac {1}{2}}(\mathbf {A\#A} ):\mathbf {1} =\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )$

${\frac {1}{6}}(\mathbf {A\#A} ):\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )$

Weitere Eigenschaften:

$\mathbf {1} \#\mathbf {1} =2\,\mathbf {1}$

$\mathbf {A} \#\mathbf {1} =\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {1} -\mathbf {A} ^{\top }$

$(\mathbf {A} \#\mathbf {B} ):\mathbf {C} =(\mathbf {B} \#\mathbf {C} ):\mathbf {A} =(\mathbf {C} \#\mathbf {A} ):\mathbf {B}$

$\mathrm {Sp} (\mathbf {A} \#\mathbf {B} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathrm {Sp} (\mathbf {B} )-\mathrm {Sp} (\mathbf {A\cdot B} )$

$(\mathbf {A} \#\mathbf {B} )\cdot (\mathbf {C} \#\mathbf {D} )=(\mathbf {A\cdot C} )\#(\mathbf {B\cdot D} )+(\mathbf {A\cdot D} )\#(\mathbf {B\cdot C} )$

Aber meistens:

$(\mathbf {A} \#\mathbf {B} )\#\mathbf {C} \neq \mathbf {A} \#(\mathbf {B} \#\mathbf {C} )$

.

Produkte von Tensoren, Dyaden und Vektoren

$\mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\otimes {\vec {g}}$

${\vec {a}}\otimes (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}})=({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot \mathbf {A} ^{\top }$

${\vec {a}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}=\mathbf {A} :({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})$

Spatprodukt und #Determinante eines Tensors:

$(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\cdot [(\mathbf {A} \cdot {\vec {b}})\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {c}})]=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\;{\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

$(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {b}})=\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})$

$\mathbf {A} ^{\top }\cdot [(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {b}})]=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\;{\vec {a}}\times {\vec {b}}$

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix, #Kreuzprodukt von Tensoren, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren, #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

$({\vec {u}}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {v}}=({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})\times \mathbf {1} =({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})\cdot \!\!\times \mathbf {1} ={\stackrel {A}{\overrightarrow {({\vec {u}}\times {\vec {v}})\times \mathbf {1} }}}={\vec {\mathrm {i} }}({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})={\vec {u}}\times {\vec {v}}$

Tensorkomponenten

$\mathbf {A} =A_{ij}\,{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}\quad \rightarrow \;A_{ij}={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {A} \cdot {\hat {e}}_{j}$

$\mathbf {A} =A^{ij}\,{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\quad \rightarrow \;A^{ij}={\vec {a}}^{i}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}^{j}=({\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}):\mathbf {A}$

$\mathbf {A} =A_{ij}\,{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\quad \rightarrow \;A_{ij}={\vec {a}}_{i}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}_{j}$

$\mathbf {A} =A_{j}^{i}\,{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\quad \rightarrow \;A_{j}^{i}={\vec {a}}^{i}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}_{j}$

$\mathbf {A} =A_{i}^{j}\,{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\quad \rightarrow \;A_{i}^{j}={\vec {a}}_{i}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}^{j}$

Wechsel der Basis

$\mathbf {A} =A_{ij}{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {a}}^{j}=A_{ij}^{\ast }{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}$

Die Komponenten $A_{ij}^{\ast }$ ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit dem #Einheitstensor $\mathbf {1} ={\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}_{i}$:

${\begin{aligned}\mathbf {A} =\mathbf {1\cdot A\cdot 1} ^{\top }=&({\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}_{i})\cdot (A_{kl}{\vec {a}}^{k}\otimes {\vec {a}}^{l})\cdot ({\vec {b}}_{j}\otimes {\vec {b}}^{j})\\=&({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})A_{kl}({\vec {a}}^{l}\cdot {\vec {b}}_{j}){\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}=:A_{ij}^{\ast }{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}\\\rightarrow A_{ij}^{\ast }=&({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})A_{kl}({\vec {a}}^{l}\cdot {\vec {b}}_{j})\end{aligned}}$

Allgemein:

$\mathbf {A} =A_{ij}{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}=A_{ij}^{\ast }{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {h}}^{j}$

Basiswechsel mit $\mathbf {1} =({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k}){\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {a}}_{k}=({\vec {h}}_{j}\cdot {\vec {g}}^{l}){\vec {h}}^{j}\otimes {\vec {g}}_{l}$:

${\begin{aligned}\mathbf {A} =\mathbf {1\cdot A\cdot 1} ^{\top }=&({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})({\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {a}}_{k})\cdot A_{mn}({\vec {a}}^{m}\otimes {\vec {g}}^{n})\cdot ({\vec {h}}_{j}\cdot {\vec {g}}^{l})({\vec {g}}_{l}\otimes {\vec {h}}^{j})\\=&({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})A_{kl}({\vec {h}}_{j}\cdot {\vec {g}}^{l})({\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {h}}^{j})=A_{ij}^{\ast }{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {h}}^{j}\\\rightarrow A_{ij}^{\ast }=&({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})A_{kl}({\vec {g}}^{l}\cdot {\vec {h}}_{j})\end{aligned}}$

Bilinearform und Identität von Tensoren

Siehe auch: Bilinearform

Definition für einen Tensor A:

$\langle {\vec {u}},{\vec {v}}\rangle :={\vec {u}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {A} :({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})$

Zwei Tensoren A und B sind identisch, wenn

${\vec {u}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}={\vec {u}}\cdot \mathbf {B} \cdot {\vec {v}}\quad \forall \;{\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {V}$

Kofaktor

Siehe auch: Minor (Mathematik)

Definition

$\mathrm {cof} (\mathbf {A} ):=\mathbf {A^{\top }\cdot A^{\top }} -\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{\top }+\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1}$

#Invarianten:

Wenn λ_1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ₁λ₂, λ₂λ₃, λ₃λ₁.

#Hauptinvarianten:

$\mathrm {I} _{1}(\mathrm {cof} (\mathbf {A} ))=\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )$

$\mathrm {I} _{2}(\mathrm {cof} (\mathbf {A} ))=\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\mathrm {det} (\mathbf {A} )$

$\mathrm {det} (\mathrm {cof} (\mathbf {A} ))=\mathrm {det} ^{2}(\mathbf {A} )$

#Betrag:

$\|\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\|={\sqrt {\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A^{\top }\cdot A} )}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {\|\mathbf {A} \|^{4}-\|\mathbf {A^{\top }\cdot A} \|^{2}}}$

Weitere Eigenschaften:

$\mathrm {cof} (x\mathbf {A} )=x^{2}\mathrm {cof} (\mathbf {A} )$

$\mathrm {det} (\mathbf {A} )\neq 0\quad \rightarrow \quad \mathrm {cof} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{\top -1}$

$\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathrm {cof} (\mathbf {A} )=\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} ^{\top }=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {1}$

$\mathrm {cof} (\mathbf {A\cdot B} )=\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\cdot \mathrm {cof} (\mathbf {B} )$

$\mathrm {cof} (\mathbf {A} ^{\top })=\mathrm {cof} (\mathbf {A} )^{\top }$

$\mathrm {cof} \left(\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\right)=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {A}$

${\begin{aligned}&\mathrm {cof} (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})={\frac {1}{2}}(A_{kl}A_{mn}\epsilon _{kmi}\epsilon _{lnj})({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=\ldots \\&\ldots ={\begin{pmatrix}A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}\\A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}\\A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}&A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}&A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Kofaktor und #Äußeres Tensorprodukt:

$\mathrm {cof} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\mathbf {A} \#\mathbf {A}$

${\begin{aligned}\mathrm {cof} (\mathbf {A+B} )=&{\frac {1}{2}}(\mathbf {A} \#\mathbf {A} +2\mathbf {A} \#\mathbf {B} +\mathbf {B} \#\mathbf {B} )\\=&\mathrm {cof} (\mathbf {A} )+\mathrm {cof} (\mathbf {B} )+\mathbf {A} \#\mathbf {B} \end{aligned}}$

Kreuzprodukt und Kofaktor:

$(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {b}})=\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})$

Adjunkte

Siehe auch: Adjunkte

Definition:

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} ):=\mathbf {A} ^{2}-\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\mathbf {A} +\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1} =\mathrm {cof} (\mathbf {A} )^{\top }$

#Hauptinvarianten:

$\mathrm {I} _{1}(\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )$

$\mathrm {I} _{2}(\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\mathrm {det} (\mathbf {A} )$

$\mathrm {det} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\mathrm {det} ^{2}(\mathbf {A} )$

#Betrag:

$\|\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\|={\sqrt {\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A^{\top }\cdot A} )}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {\|\mathbf {A} \|^{4}-\|\mathbf {A^{\top }\cdot A} \|^{2}}}$

Weitere Eigenschaften:

$\mathrm {adj} (x\mathbf {A} )=x^{2}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$

$\mathrm {det} (\mathbf {A} )\neq 0\quad \rightarrow \quad \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}$

$\mathbf {A} \cdot \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} =\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {1}$

$\mathrm {adj} (\mathbf {A\cdot B} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\cdot \mathrm {adj} (\mathbf {A} )$

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{\top })=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{\top }$

${\begin{aligned}\mathrm {adj} (\mathbf {A+B} )=&{\frac {1}{2}}(\mathbf {A} \#\mathbf {A} +2\mathbf {A} \#\mathbf {B} +\mathbf {B} \#\mathbf {B} )^{\top }\\=&\mathrm {adj} (\mathbf {A} )+\mathrm {adj} (\mathbf {B} )+\mathbf {A} ^{\top }\#\mathbf {B} ^{\top }\end{aligned}}$

$\mathrm {adj} \left(\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\right)=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {A}$

${\begin{aligned}&\mathrm {adj} (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})={\frac {1}{2}}(A_{kl}A_{mn}\epsilon _{kmj}\epsilon _{lni})({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=\ldots \\&\ldots ={\begin{pmatrix}A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}\\A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}\\A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}&A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}&A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Inverse

Siehe auch: Inverse Matrix

Definition

$\mathbf {A} ^{-1}:\quad \mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {A} =\mathbf {A\cdot A} ^{-1}=\mathbf {1}$

Die Inverse ist nur definiert, wenn $|\mathbf {A} |=\mathrm {det} (\mathbf {A} )=\mathrm {I} _{3}(\mathbf {A} )\neq 0$

Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor $\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$

${\begin{aligned}\mathbf {A} =&A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\\\rightarrow \mathbf {A} ^{-1}=&{\frac {1}{|\mathbf {A} |}}{\begin{pmatrix}A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}\\A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}\\A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}&A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}&A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet, also $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{pmatrix}}$, dann gilt:

$\mathbf {A} ^{-1}={\begin{pmatrix}{\vec {a}}^{1}&{\vec {a}}^{2}&{\vec {a}}^{3}\end{pmatrix}}^{\top }={\frac {1}{\mathrm {det} (\mathbf {A} )}}{\begin{pmatrix}{\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3}&{\vec {a}}_{3}\times {\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\end{pmatrix}}^{\top }$

Satz von Cayley-Hamilton:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\mathrm {I} _{3}(\mathbf {A} )}}(\mathbf {A} ^{2}-\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\mathbf {A} +\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1} )$

worin $\mathrm {I} _{1,2,3}$ die drei #Hauptinvarianten sind.

Inverse des transponierten Tensors:

$(\mathbf {A} ^{\top })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\top }=\mathbf {A} ^{\top -1}=\mathbf {A} ^{-\top }$

Inverse eines Tensorprodukts:

$(\mathbf {A\cdot B} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\cdot \mathbf {A} ^{-1}$

$(x\mathbf {A} )^{-1}={\frac {1}{x}}\mathbf {A} ^{-1}$

#Äußeres Tensorprodukt und Inverse einer Summe:

$(\mathbf {A+B} )^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A+B} )}}\left(\mathrm {adj} (\mathbf {A} )+\mathrm {adj} (\mathbf {B} )+(\mathbf {A} \#\mathbf {B} )^{\top }\right)$

Invertierungsformeln:

$(a\mathbf {1} +{\vec {b}}\otimes {\vec {c}})^{-1}={\frac {1}{a}}\left(\mathbf {1} -{\frac {1}{a+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}}{\vec {b}}\otimes {\vec {c}}\right)$

${\begin{aligned}&(a\mathbf {1} +{\vec {b}}\otimes {\vec {c}}+{\vec {d}}\otimes {\vec {e}})^{-1}={\frac {1}{aD}}\left(D\mathbf {1} +{\vec {b}}\otimes (q{\vec {c}}+r{\vec {e}})+{\vec {d}}\otimes (s{\vec {c}}+t{\vec {e}})\right)\\&\qquad q=a+{\vec {d}}\cdot {\vec {e}},\quad r=-{\vec {c}}\cdot {\vec {d}},\quad s=-{\vec {b}}\cdot {\vec {e}},\quad t=a+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\&\qquad D=rs-qt\end{aligned}}$

$({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{i})^{-1}={\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {a}}^{i}$

Eigensystem

Siehe auch: Eigenwertproblem

Eigenwertproblem

$\mathbf {A} \cdot {\hat {v}}=\lambda {\hat {v}}$

mit Eigenwert $\lambda$ und Eigenvektor ${\hat {v}}$. Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.

Jeder Tensor hat drei Eigenwerte und drei dazugehörige Eigenvektoren. Mindestens ein Eigenwert und Eigenvektor sind reell. Die beiden anderen Eigenwerte und -vektoren können reell oder komplex sein.

Eigenwerte

Siehe auch: Charakteristisches Polynom

Charakteristische Gleichung

$\mathrm {det} (\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {1} )=-\lambda _{i}^{3}+\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\lambda _{i}^{2}-\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\lambda _{i}+\mathrm {I} _{3}(\mathbf {A} )=0$

Lösung siehe Cardanische Formeln. Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten :

$\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} ):=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}$

$\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} ):={\frac {1}{2}}[\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )^{2}-\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} ^{2})]=\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{3}\lambda _{1}$

$\mathrm {I} _{3}(\mathbf {A} ):=\mathrm {det} (\mathbf {A} )=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}$

Eigenvektoren

Eigenvektoren ${\vec {v}}$ sind nur bis auf einen Faktor ≠ 0 bestimmt. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.

Bestimmungsgleichung: $(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {1} )\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$

Tensor $\mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}-\lambda &A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}-\lambda &A_{23$