Formelsammlung Tensoralgebra

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.

AllgemeinesBearbeiten

NotationBearbeiten

  • Operatoren wie   werden nicht kursiv geschrieben.
  • Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
    •  .
      Ausnahme:
      Die imaginäre Einheit   und die #Vektorinvariante   werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben.
    •  
    •  
  • Alle anderen Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
  • Vektoren:
    • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum  .
    • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
      Ausnahme #Dualer axialer Vektor  
    • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von   ist ê1,2,3.
    • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in   mit einem Pfeil versehen.
    • Dreiergruppen von Vektoren wie in   oder   bezeichnen eine rechtshändige Basis von  .
    • Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B.   ist dual zu  .
  • Tensoren zweiter Stufe werden wie in A mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit   bezeichnet. Tensoren höherer Stufe werden mit einer hochgestellten Zahl wie in   geschrieben. Tensoren vierter Stufe sind Elemente der Menge  .
  • Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
    • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in   wird über diesen Index summiert:
       .
    • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in   wird über diese summiert:
       .
    • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie   in  , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
       .

GlossarBearbeiten

Reservierte und besondere SymboleBearbeiten

Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
  #Einheitstensor Einheitstensor
  #Orthogonale Tensoren Orthogonaler Tensor
  #Eigenwerte Eigenwertproblem
  #Kronecker-Delta Kronecker-Delta
  #Permutationssymbol Permutationssymbol
  #Fundamentaltensor 3. Stufe Epsilon-Tensor
  #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix Kreuzprodukt
  #Dualer axialer Vektor Kreuzprodukt
  #Vektorinvariante Vektorinvariante
  Imaginäre Einheit

Zeichen für OperatorenBearbeiten

Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
  Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation, #Tensorprodukt Skalarprodukt
  #Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor, #Kreuzprodukt von Tensoren Kreuzprodukt
  #Skalarprodukt von Tensoren Frobenius-Skalarprodukt
  #Dyadisches Produkt Dyadisches Produkt
  #Skalarkreuzprodukt von Tensoren
  #Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren
  #Äußeres Tensorprodukt Äußeres Tensorprodukt
  #Betrag Frobeniusnorm
  Betrag der Zahl x oder des Vektors  , #Determinante des Tensors A Determinante

TensorfunktionenBearbeiten

Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
  #Spur Spur (Mathematik), Hauptinvariante
  #Zweite Hauptinvariante Hauptinvariante
  #Determinante Determinante, Hauptinvariante
sym #Symmetrischer Anteil Symmetrische Matrix
skw, skew #Schiefsymmetrischer Anteil Schiefsymmetrische Matrix
adj #Adjunkte Adjunkte
cof #Kofaktor Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix
dev #Deviator Deviator, Spannungsdeviator
sph #Kugelanteil Kugeltensor

IndizesBearbeiten

Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
  #Tensorkomponenten
  #Transposition Transponierte Matrix
  Transpositionen von Tensoren vierter Stufe
  #Inverse Inverse Matrix
  #Transposition der #Inverse
  #Symmetrischer Anteil Symmetrische Matrix
  #Schiefsymmetrischer Anteil Schiefsymmetrische Matrix
  #Deviator Deviator, Spannungsdeviator
  #Kugelanteil Kugeltensor
  Tensor n-ter Stufe
  #Dualer axialer Vektor Kreuzprodukt

MengenBearbeiten

Formelzeichen Elemente
  Reelle Zahlen
  Komplexe Zahlen
  Vektoren
  Tensoren zweiter Stufe
  #Tensoren vierter Stufe

Kronecker-DeltaBearbeiten

 

Für Summen gilt dann z. B.

 
 

Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.

PermutationssymbolBearbeiten

 
 
 
 
 

Kreuzprodukt:

 
 

Spaltenvektoren und MatrizenBearbeiten

Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

 

Drei Vektoren   können spaltenweise in einer 3×3-Matrix   arrangiert werden:

 

Die Determinante der Matrix

 

ist

Also gewährleistet  , dass die Vektoren   eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

 

worin   die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich  .

VektoralgebraBearbeiten

Basis und Duale BasisBearbeiten

Basisvektoren  

Duale Basisvektoren  

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

 
 
 

mit dem Spatprodukt

 

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der #transponiert #Inversen  :

 

In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren   zu sich selbst dual:

 

Berechnung von VektorkomponentenBearbeiten

 
 
 

Beziehung zwischen den Skalarprodukten der BasisvektorenBearbeiten

 

Wechsel der Basis bei VektorenBearbeiten

Wechsel von

Basis   mit dualer Basis  

nach

Basis   mit dualer Basis  :

 

Matrizengleichung:

 

Dyadisches ProduktBearbeiten

Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:

Abbildung  

 

Multiplikation mit einem Skalar:

 

Distributivität:

 
 
 

Skalarprodukt:

 

Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.

Tensoren als Elemente eines VektorraumesBearbeiten

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird   zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von   dargestellt werden:

  mit Komponenten  .

Die Dyaden   und   bilden Basissysteme von  .

OperatorenBearbeiten

TranspositionBearbeiten

Abbildung  

 
 
 
 
 
 

VektortransformationBearbeiten

Abbildung   oder  

Dyaden:

 
 
 
 

Allgemeine Tensoren:

 
 
 
 

Symbolisch:

 
 

TensorproduktBearbeiten

Abbildung  

 
 
 
 
 

Skalarprodukt von TensorenBearbeiten

Abbildung  

Definition über die #Spur:

 
 

Eigenschaften:

 
 
 
 
 

Kreuzprodukt eines Vektors mit einem TensorBearbeiten

Abbildung   oder  

Dyaden:

 
 
 
 
 
 

Allgemeine Tensoren:

 
 
 
 
 
 

Symmetrische Tensoren:  

Insbesondere Kugeltensoren:  

Schiefsymmetrische Tensoren:  

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix mit dem #Einheitstensor:

 

Mehrfach:

 
 

Meistens ist aber:

 
 

Kreuzprodukt von TensorenBearbeiten

Abbildung  

 

mit #Fundamentaltensor 3. Stufe  .

 
 

Zusammenhang mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

 

Mit #Einheitstensor:

 

Mehrfachprodukte:

 
 

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

 

Skalarkreuzprodukt von TensorenBearbeiten

Abbildung  

 
 

Das Skalarkreuzprodukt mit dem #Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:

 

Allgemein:

 
 
 

Zusammenhang mit dem #Kreuzprodukt von Tensoren:

 

Zusammenhang mit #Vektorinvariante und #Dualer axialer Vektor:

 

Doppeltes Kreuzprodukt von TensorenBearbeiten

Siehe auch #Äußeres Tensorprodukt #

Abbildung  

 
 
 

Äußeres TensorproduktBearbeiten

Abbildung  

 
 

Mit der Formel für das Produkt zweier #Permutationssymbole:

 

Grundlegende Eigenschaften:

 
 
 

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

 
 

#Hauptinvarianten:

 
 
 

Weitere Eigenschaften:

 
 
 
 
 

Aber meistens:

 

.

Produkte von Tensoren, Dyaden und VektorenBearbeiten

 
 
 

Spatprodukt und #Determinante eines Tensors:

 

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

 
 

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix, #Kreuzprodukt von Tensoren, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren, #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

 

TensorkomponentenBearbeiten

 
 
 
 
 

Wechsel der BasisBearbeiten

 

Die Komponenten   ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit dem #Einheitstensor  :

 

Allgemein:

 

Basiswechsel mit  :

 

Bilinearform und Identität von TensorenBearbeiten

Definition für einen Tensor A:

 

Zwei Tensoren A und B sind identisch, wenn

 

KofaktorBearbeiten

Definition

 

#Invarianten:

Wenn λ1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ1λ2, λ2λ3, λ3λ1.

#Hauptinvarianten:

 
 
 

#Betrag:

 

Weitere Eigenschaften:

 
 
 
 
 
 
 

Kofaktor und #Äußeres Tensorprodukt:

 
 

Kreuzprodukt und Kofaktor:

 

AdjunkteBearbeiten

Definition:

 

#Hauptinvarianten:

 
 
 

#Betrag:

 

Weitere Eigenschaften:

 
 
 
 
 
 
 
 

InverseBearbeiten

Definition

 

Die Inverse ist nur definiert, wenn  

Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor  :

 
 

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet, also  , dann gilt:

 

Satz von Cayley-Hamilton:

 

worin   die drei #Hauptinvarianten sind.

Inverse des transponierten Tensors:

 

Inverse eines Tensorprodukts:

 
 

#Äußeres Tensorprodukt und Inverse einer Summe:

 

Invertierungsformeln:

 
 
 

EigensystemBearbeiten

EigenwertproblemBearbeiten

 

mit Eigenwert   und Eigenvektor  . Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.

Jeder Tensor hat drei Eigenwerte und drei dazugehörige Eigenvektoren. Mindestens ein Eigenwert und Eigenvektor sind reell. Die beiden anderen Eigenwerte und -vektoren können reell oder komplex sein.

EigenwerteBearbeiten

Charakteristische Gleichung

 

Lösung siehe Cardanische Formeln. Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten :

 
 
 

EigenvektorenBearbeiten

Eigenvektoren   sind nur bis auf einen Faktor ≠ 0 bestimmt. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.

Bestimmungsgleichung:  

Tensor  :

 

Bestimmung mit gegebenem/angenommenem  :

 

Geometrische Vielfachheit 1:

 
 

Geometrische Vielfachheit 2: