Satz von Vieta

mathematischer Lehrsatz der elementaren Algebra

Der Satz von Vieta oder auch Wurzelsatz von Vieta ist ein mathematischer Lehrsatz aus der elementaren Algebra. Benannt ist er nach dem Mathematiker François Viète, der ihn in seinem postum erschienenen Werk „De aequationum recognitione et emendatione tractatus duo“ („Zwei Abhandlungen über die Untersuchung und Verbesserung von Gleichungen“) bewies.[1] Der Satz macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer algebraischen Gleichung.

AussageBearbeiten

Seien   und   die Koeffizienten der quadratischen Gleichung

 

und   und   deren Lösungen (Wurzeln). Dann gilt

 

BeispieleBearbeiten

Für den Satz gibt es drei wichtige Anwendungen:

  • Es lassen sich damit quadratische Gleichungen zu vorgegebenen Lösungen konstruieren. Beispielsweise lautet eine quadratische Gleichung zu den Lösungen 2 und 3  .
  • Es lassen sich Gleichungssysteme der Form
 
lösen. Beispielsweise sind die Lösungen   und   des Systems   die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung  . Nach der Lösungsformel ergibt sich  ,   oder  ,  .
  • Der Satz kann helfen, die Lösungen durch Probieren zu bestimmen: Ist die quadratische Gleichung
 
gegeben, dann muss für die Nullstellen  ,   gelten:
 
Wenn wir zunächst nach ganzzahligen Nullstellen suchen, müssen die Nullstellen Teiler der 10 sein, deren Summe 7 ist. Als Teiler von 10 kommen 2 und 5 infrage, oder 1 und 10, oder −2 und −5, oder −1 und −10. 2 und 5 sind tatsächlich Nullstellen, da   und   ist.

BeweisBearbeiten

Der Satz ergibt sich direkt durch Ausmultiplizieren der Nullstellenform nach Koeffizientenvergleich:

 

und somit   und  .

Alternativ folgt der Satz aus der pq-Formel: Für die Lösungen der Gleichung   gilt

  und  

Addieren der beiden Gleichungen ergibt:

 ,

Multiplizieren ergibt nach der dritten binomischen Formel:

 .

VerallgemeinerungBearbeiten

Der Satz von Vieta über quadratische Gleichungen lässt sich auf Polynomgleichungen bzw. Polynome beliebigen Grades verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung des Satzes von Vieta ist die Grundlage für das Lösen von Gleichungen höheren Grades durch Polynomdivision. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt:

Jedes (normierte) Polynom  -ten Grades mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen lässt sich als Produkt von   Linearfaktoren darstellen:

 

  sind die Nullstellen des Polynoms; auch wenn alle Koeffizienten   reell sind, können die Nullstellen komplex sein. Nicht alle   müssen verschieden sein.

Nun ergibt sich der Satz von Vieta durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich:

 ,

wobei

 

die sogenannten Elementarsymmetrischen Polynome in   bis   sind. Für ein Polynom vierten Grades

 

ergibt sich:

 

Eine wichtige Anwendung des Satzes für   und   ist die Rückführung der kubischen Gleichung auf eine quadratische Gleichung und der Gleichung 4. Grades auf eine kubische Gleichung, die sog. kubische Resolvente.

Allgemein gilt der Wurzelsatz von Vieta auch für Polynome mit Koeffizienten in anderen Körpern, solange diese nur algebraisch abgeschlossen sind.

LiteraturBearbeiten

  • Walter Gellert: Lexikon der Mathematik. Leipzig: Bibliographisches Institut, 1990, S. 578, 200.

WeblinkBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 268.