Polynom vierten Grades

In der Algebra ist ein Polynom vierten Grades ein Polynom der Form

mit ungleich Null. Eine quartische Funktion ist die diesem Polynom entsprechende Abbildung . Eine biquadratische Funktion ist eine quartische Funktion mit und .[1]

Eine quartische Gleichung oder Gleichung vierten Grades ist eine Gleichung der Form

mit . Entsprechend spricht man auch von biquadratischen Gleichungen.

Eigenschaften quartischer FunktionenBearbeiten

Im Folgenden sei   eine durch   mit   definierte quartische Funktion.

Verhalten im UnendlichenBearbeiten

Wie bei allen ganzrationalen Funktionen von geradem Grad gilt

 ,  ,

falls der führende Koeffizient   positiv ist, und

 ,  ,

falls   negativ ist.

NullstellenBearbeiten

Ein Polynom vierten Grades hat höchstens vier Nullstellen, kann aber auch keine reellen Nullstellen haben. Es hat, wenn Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden, genau vier komplexe Nullstellen. Falls alle Nullstellen reell sind, ist die Diskriminante nichtnegativ. Die Umkehrung gilt nicht, das Polynom   hat positive Diskriminante, aber keine reellen Nullstellen.

Für die (komplexen) Nullstellen gibt es eine Lösungsformel, siehe Quartische Gleichung. Das numerische Auffinden reeller Nullstellen ist beispielsweise mit dem Newton-Verfahren möglich.

Lokale ExtremaBearbeiten

Als Polynomfunktion ist   beliebig oft differenzierbar; für ihre 1. Ableitung   ergibt sich die kubische Funktion

 .

Ist deren Diskriminante positiv, so besitzt   genau drei lokale Extrema, nämlich für   ein lokales Maximum und zwei lokale Minima oder für   zwei lokale Maxima und ein lokales Minimum.

WendepunkteBearbeiten

Eine quartische Funktion   besitzt höchstens zwei Wendepunkte  . Die Wendestellen   sind die Nullstellen der 2. Ableitung  .

Polynome vierten GradesBearbeiten

Sei   ein beliebiger Ring. Als Polynome vierten Grades über   bezeichnet man Ausdrücke der Form

 

mit   und  . Formal handelt es sich um Elemente des Polynomringes vom Grad 4, sie definieren Abbildungen von   nach  . Für   handelt es sich im obigen Sinne um quartische Funktionen.

Falls   ein algebraisch abgeschlossener Körper ist, zerfällt jedes Polynom vierten Grades als Produkt vierer Linearfaktoren.

Allgemeiner sind quartische Polynome in   Variablen Ausdrücke der Form

 ,

wobei nicht alle   Null sein sollen. Diese Polynome definieren Abbildungen von   nach  . Ihre Nullstellenmengen im   werden für   als quartische Kurven und für   als quartische Flächen bezeichnet.

Lösung der Gleichung vierten Grades durch Radikale (Wurzelausdrücke)Bearbeiten

Natur der LösungenBearbeiten

Für die quartische Gleichung

 

mit reellen Koeffizienten   und   ist die Natur der Wurzeln (der Lösungen) im Wesentlichen gegeben durch das Vorzeichen der sogenannten Diskriminante

 

Zusätzlich muss man noch vier weitere Polynome betrachten. Man erhält daraus die Information, wie viele Nullstellen reell und wie viele echt komplex sind.

Allgemeine Formeln für die WurzelnBearbeiten

 
Volle Lösungsformel. Zu kompliziert, um wirklich nützlich zu sein.[2]

Die vier Wurzeln  ,  ,   und   der allgemeinen quartischen Gleichung

 

mit a ≠ 0 ergeben sich aus der folgenden Formel.

 

mit p und q wie folgt

 

wobei

 

(falls   oder  , siehe unter Spezialfälle der Formel unten)

hierbei ist

 

und

  wobei   die oben genannte Diskriminante ist. Für die in   auftretende dritte Wurzel, kann jede beliebige der komplexen dritten Wurzeln genutzt werden.

Spezialfälle der FormelBearbeiten

  • Falls   und   muss das Vorzeichen von   so gewählt werden, dass  .
  • Falls   muss die Wahl der dritten Wurzel in der Definition von   so geändert werden, dass   Dies ist immer möglich, außer wenn das Polynom vierten Grades als   faktorisiert werden kann, wodurch die Lösungen gegeben sind.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn - Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge. 12. Auflage. Springer, 2019, ISBN 978-3-658-26603-5, S. 97.
  2. Quartic formula as four single equations. In: PlanetMath. (englisch)