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Kubische Gleichung

Polynom-Gleichung 3. Grades
Graph einer Funktion 3. Grades; die Nullstellen (y = 0) sind dort, wo der Graph die x-Achse schneidet. Dieser Graph hat drei reelle Nullstellen.

Kubische Gleichungen sind Polynomgleichungen dritten Grades, also algebraische Gleichungen der Form

.

Eine kubische Gleichung hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra stets drei komplexe Lösungen , die auch zusammenfallen können. Mit ihrer Hilfe lässt sich die Gleichung in faktorisierter Form darstellen:

Im Falle reeller Koeffizienten beschreibt die linke Seite der kubischen Gleichung geometrisch eine kubische Parabel in der --Ebene, also den Graph einer kubischen Funktion. Dessen Nullstellen, also seine Schnittpunkte mit der -Achse, sind die reellen Lösungen der kubischen Gleichung. Der Funktionsgraph hat nach dem Zwischenwertsatz stets mindestens eine reelle Nullstelle, jedoch höchstens drei.

LösungsansätzeBearbeiten

Raten einer LösungBearbeiten

VerfahrenBearbeiten

Kennt man eine Lösung   exakt, so kann man das kubische Polynom mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner-Schemas durch   dividieren und erhält so eine quadratische Gleichung. Diese kann man mit Hilfe einer Lösungsformel lösen und erhält so die restlichen Lösungen der kubischen Gleichung. Dieses Verfahren ist aber nur für eine rationale Lösung   praktikabel. Bereits bei der irreduziblen Gleichung   ist das Verfahren mit der noch relativ einfachen Lösung   nicht mehr praktikabel, da die Koeffizienten der verbleibenden quadratischen Gleichung sehr kompliziert werden. In diesen Fällen lassen sich die Lösungen mit der unten genannten Cardanischen Formel leichter bestimmen.

Sind alle Koeffizienten der kubischen Gleichung ganzzahlig, so kann man versuchen, eine rationale Lösung zu raten, das heißt, durch Probieren zu finden. Ist der führende Koeffizient   vom Betrag gleich 1, so kann man die ganzzahligen Teiler des letzten Koeffizienten   durchprobieren (auch negative Werte!). Ist   von eins verschieden, so müssen alle Brüche, deren Zähler ein Teiler von   und deren Nenner ein Teiler von   ist, durchprobiert werden. Der Satz über rationale Nullstellen garantiert, dass man mit diesem endlichen Aufwand eine rationale Nullstelle findet, falls eine solche existiert. Sind die Koeffizienten rational, so kann man ganzzahlige Koeffizienten erreichen, indem man die Gleichung mit dem Hauptnenner aller Koeffizienten multipliziert.

BeispielBearbeiten

Als rationale Lösungen der kubischen Gleichung

 

kommen nur die ganzzahligen Teiler   des letzten Koeffizienten sowie   in Frage. In der Tat ist   eine Lösung, wovon man sich durch Einsetzen überzeugt. Polynomdivision liefert

 

und mit der quadratischen Lösungsformel ergeben sich als weitere Lösungen  .

Algebraische BestimmungBearbeiten

Reduktion der Gleichung auf eine NormalformBearbeiten

Es gibt eine Reihe äquivalenter Umformungen der kubischen Gleichung durch Lineartransformation des Arguments, die es erlauben, diese für das nachfolgende Lösungsverfahren zu vereinfachen (Tschirnhaus-Transformation). Durch Division durch   kann das Polynom zunächst normiert werden.

 

Durch Lineartransformation des Arguments mit Hilfe der Substitution   ergibt sich folgender Term:

 

Durch die Wahl von   lässt sich das quadratische Glied beseitigen und man erhält die reduzierte Form der kubischen Gleichung:

 

Die reduzierte Form mit   kann nun mit Hilfe der Cardanischen Formeln aufgelöst und durch anschließende Rücksubstitution können die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt werden. Hierdurch ist die Gesamtheit der reellen und komplexen Lösungen zugänglich.

Analytische Bestimmung der reellen Lösungen der reellen GleichungBearbeiten

Im Fall, dass das ursprüngliche Polynom nur reelle Koeffizienten hat, kann mithilfe der Diskriminante   überprüft werden, ob ausschließlich reelle Lösungen vorliegen:

 

Ist  , so sind alle Lösungen reell. Andernfalls gibt es genau eine reelle Lösung, die andern beiden sind komplex nicht-reell und konjugiert zueinander.

Der Fall p = 0Bearbeiten

Fall 1:    

Hier wählt man   und erhält  . Nach Rücksubstitution ergibt sich eine einzige reelle Lösung zu  .

Unterfall 1a:     und  

Die einzige reelle Lösung   und   hat die Vielfachheit 3.
Die Fälle mit p ≠ 0Bearbeiten

Eine Lösungsstrategie für die verbleibenden Lösungen, die ohne die Verwendung komplexer Zahlen auskommt, ist die folgende:
Die reduzierte Form wird durch Substitution mit Hilfe einer geeigneten trigonometrischen oder hyperbolischen Funktion so umgeformt, dass sie auf bekannte Additionstheoreme zurückgeführt werden kann.

Geeignete Funktionen sind:

Funktion   Wertebereich Additionstheorem   kubische Gleichung Fall
          2
          3
          3
  beliebig reell       4

Die aufgeführten Additionstheoreme sind so parametrisiert, dass sie sich in dieselbe kubische Gleichung überführen lassen, die sich mit der reduzierten Form der gegebenen Gleichung

 

zur Deckung bringen lässt. Mithilfe der Setzung   erhält man durch Koeffizientenvergleich sofort

      und      .

Somit lässt sich   durch die ursprünglichen Koeffizienten   und   ausdrücken:

 ,

wobei   gesetzt ist und   eine zugehörige Arkus- oder Areafunktion bezeichnet. Durch Rücksubstitution kann dann die endgültige Lösung der kubischen Gleichung ermittelt werden. Aus  ,   und   erhält man somit

 .

Als erstes bestimmt das Vorzeichen von   die Wahl der Substitutionsfunktion  , in zweiter Linie  , das im reellen Wertebereich von   liegen muss.

Fall 2:       (woraus       und       folgt):

Substitution mit  , entspricht  
Es ergeben sich drei mögliche Lösungen zu
  mit   und  

Unterfall 2a:       (woraus       folgt):

Es gibt nur zwei Lösungen. Die reduzierte Form vereinfacht sich zu  . Aus den Linearfaktoren lassen sich nun direkt die zwei Lösungen   und   ablesen. Zum selben Ergebnis führt  , also   bzw.  . Entsprechend ist   und  . Die letztere Lösung hat die Vielfachheit 2.

Fall 3:       und       (woraus       und       folgt):

Substitution mit  , entspricht  , also  
Zunächst hat man zwei Lösungen  , die wegen   wieder in eins geworfen werden. Also:   mit  .

Grenzfall 3a:       und       (woraus       folgt):

 , also   und  .
Bemerkung:
Die zwei anderen (rein-imaginären) Lösungen   von   werden durch die Anwendung von   ins Reelle zurückgeworfen:  . Das Ergebnis ist wie im Unterfall 2a:   und  .

Fall 4:       und    :

Substitution mit  , entspricht  
Als Ergebnis folgt:
  mit  
Es ergibt sich eine reelle Lösung.

Schnelle numerische BerechnungBearbeiten

Die Methode von Deiters und Macías-Salinas[1] bringt die kubische Funktion zunächst einmal in die Form   und verwendet dann die Laguerre-Nair-Samuelson-Ungleichung,[2] um Schranken für die Lösungen zu finden,

 .

Hierbei ist  , und   ist der Abszissenwert des Wendepunkts. Dann sind folgende Fälle zu unterscheiden:

  1.  : Dann ist die Wendestelle die erste Lösung,  .
  2.  : Dann ist   eine Lösung.
  3. Andernfalls wird iterativ eine Näherungslösung   bestimmt. Dies geschieht ausgehend vom Startwert
 
mit dem Halley-Verfahren:
 .

Anschließend wird durch Polynomdivision die quadratische Funktion   (mit kleinem  , dessen Betrag von der erzielten Genauigkeit abhängt) gebildet, deren Nullstellen (im Fall  ) direkt ausgerechnet werden können:

  mit   und  .

Bei sorgfältiger Implementierung (siehe revidierte Zusatzinformationen zur Originalpublikation[3]) ist dieses Verfahren auf modernen Prozessoren (2014, Architektur x86-64) um den Faktor 1,2 bis 10 schneller als die auf vergleichbare Genauigkeit ausgewerteten Cardanischen Formeln.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Quellen und LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. U. K. Deiters, R. Macías-Salinas: Calculation of densities from cubic equations of state: revisited. In: Ind. Eng. Chem. Res. Band 53, 2014, S. 2529–2536, doi:10.1021/ie4038664.
  2. Paul Samuelson: How Deviant Can You Be?. In: Journal of the American Statistical Association. 63, Nr. 324, 1968, S. 1522–1525. doi:10.2307/2285901.
    S. a. Samuelson’s inequality in der englischen Wikipedia, zugegriffen am 2016-06-10
  3. Cubic rootfinder using Halley’s method: C/C++ program code (PDF) Universität Köln. Abgerufen am 5. Juli 2019.