Diskriminante

Die Diskriminante (lateinisch discriminare = unterscheiden) ist ein Rechenausdruck, der Aussagen über Zahl und Art der Lösungen einer algebraischen Gleichung ermöglicht. Am bekanntesten ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung.

Diskriminante einer quadratischen GleichungBearbeiten

Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung   mit reellen Koeffizienten  ,   und   lassen sich mit der Mitternachtsformel

 

berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der Wurzel, dem sogenannten Radikanden, ab.

Dieser Ausdruck

 

heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung   und werde im Folgenden mit   bezeichnet.

  • Für   hat die Quadratwurzel in der Lösungsformel einen positiven Wert, sodass es zwei verschiedene reelle Lösungen   und   gibt.
  • Für   hat die Quadratwurzel den Wert 0. Da es keinen Unterschied macht, ob man 0 addiert oder subtrahiert, gibt es trotz des Plus-Minus-Zeichens genau eine reelle Lösung (der Vielfachheit 2).
  • Für   ist die Quadratwurzel der Lösungsformel im Körper der reellen Zahlen ( ) nicht definiert. Es existiert also keine reelle Lösung. Anders sieht die Situation aus, wenn man den Körper der komplexen Zahlen zugrunde legt. In diesem Fall gibt es zwei (nicht-reelle) Lösungen, die zueinander konjugiert komplex sind.

Motivation des allgemeinen Diskriminanten-BegriffsBearbeiten

Es sei   ein Polynom mit den Nullstellen  , von denen einige möglicherweise komplex sind. Der Ausdruck

 ,

der aus   Faktoren besteht (ein Faktor für jedes Nullstellenpaar), verschwindet genau dann, wenn (mindestens) eine Nullstelle mehrfach auftritt. Der Ausdruck ist nicht symmetrisch in den Nullstellen, d. h., dass sich sein Wert möglicherweise verändert, wenn man die Nullstellen umnummeriert. Die Symmetrie kann man erzwingen, indem man alle Faktoren quadriert:

 .

Dieser Ausdruck   ist ein homogenes symmetrisches Polynom vom Grad  . Man nennt ihn die Diskriminante des Polynoms  . (Die Bedeutung des Normierungstermes   wird weiter unten erläutert.)

BeispieleBearbeiten

Quadratisches PolynomBearbeiten

Ein allgemeines Polynom vom Grad 2 hat die Form   mit  . Seine Diskriminante ist  .

Mit dem Satz von Vieta und quadratischer Ergänzung lässt sie sich umformen in:  .

Das quadratische Polynom   hat also genau dann eine doppelte Nullstelle, wenn   gilt.

Kubisches PolynomBearbeiten

Ein allgemeines Polynom vom Grad 3 hat die Form   mit  . Seine Diskriminante ist  .

Mit dem Satz von Vieta lässt sie sich (mit aufwendiger Rechnung) umformen in

 .

Dieser Ausdruck ist unhandlich und lässt sich schwer merken. Bringt man durch eine ähnliche Ergänzung wie bei quadratischer Ergänzung das Polynom auf die Form  , so ergibt sich die leichter zu merkende Formel:  

Berücksichtigt man, dass sich jede kubische Gleichung   nach Division durch   und anschließender Substitution   auf eine Gleichung der Form   bringen lässt, so erhält man eine besser merkbare Formel für die Diskriminante:  .

Ein reduziertes kubisches Polynom   besitzt also genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn   gilt. In Schulbüchern wird häufig dieser Ausdruck als Diskriminante bezeichnet, der Faktor   wird also ignoriert.

Polynome höheren GradesBearbeiten

Das oben beschriebene Verfahren funktioniert für Polynome beliebigen Grades. Aus der Theorie der symmetrischen Polynome und dem Satz von Vieta folgt, dass der Ausdruck

 

stets auf eine eindeutige Art als (polynomiale) Funktion der Koeffizienten des Polynoms   dargestellt werden kann.

Bemerkungen zum Vorzeichen der DiskriminanteBearbeiten

  • Sind alle Nullstellen eines Polynoms reell, so ist die Diskriminante   Das folgt sofort aus der Definition.
  • Für quadratische und kubische Polynome gilt auch die Umkehrung: Ist   so sind alle Nullstellen reell.
  • Das Polynom   besitzt die vier Nullstellen  ,  ,   und  . Die Diskriminante hat den Wert 16384, ist also positiv. Dennoch sind die Nullstellen nicht reell.

NormierungsfaktorBearbeiten

In der oben verwendeten Definition tritt der Faktor   auf. Er bewirkt, dass beim Verwenden des Satzes von Vieta die Nenner verschwinden, dass also die Diskriminante als Polynom in den Koeffizienten   erscheint. Je nach Kontext und Verwendungszweck der Diskriminante wird die Definition leicht abgeändert:

  • Anstelle von   wird der Faktor   gesetzt.
  • Anstelle von   wird der Faktor   gesetzt.
  • Anstelle von   wird der Faktor   gesetzt.
  • Der Faktor   wird weggelassen.

Bei den ersten drei Varianten ist Vorsicht geboten mit Aussagen, wie sie im Abschnitt “Bemerkungen zum Vorzeichen der Diskriminante” gemacht werden.

Allgemeine DefinitionBearbeiten

Sei   ein univariates Polynom (also ein Polynom in einer Unbekannten) über einem kommutativen unitären Ring. Die Diskriminante von   ist definiert als die um   reduzierte Resultante von   mit seiner Ableitung  :

 .

Die Diskriminante wird auch mit dem Symbol   bezeichnet.

Ist   ein Körper und  , so gilt wie oben

 ;

dabei seien   die Nullstellen von   in einem algebraischen Abschluss von  .

Hinweis: Oft wird die Diskriminante ohne den zusätzlichen Faktor   definiert; der entsprechende Vorfaktor ist dann in der oben angegebenen Formel zur Berechnung der Diskriminante aus den Nullstellen zu ergänzen.

BemerkungBearbeiten

Ausgeschrieben ist die Resultante eines Polynoms   mit seiner Ableitung   gleich der Determinante der  -Matrix.

 .

Da die erste Spalte aus Vielfachen von   besteht, kann dieses als Faktor von der Determinante abgespalten werden.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten