In der Mathematik ist die Resultante ein Werkzeug der kommutativen Algebra, um zwei Polynome auf das Vorhandensein gemeinsamer Nullstellen zu prüfen. In Erweiterung auf multivariate polynomiale Gleichungssysteme kann die Resultante dazu verwendet werden, nacheinander die Variablen des Systems zu eliminieren. Zu diesem Zweck wurde die Resultante und ähnliche Konstruktionen im Verlaufe des 19. Jahrhunderts untersucht, zuerst für Systeme mit Symmetrien, 1882 durch L. Kronecker auch für den allgemeinen Fall. In modernen Computeralgebrasystemen werden Resultanten bzw. deren mehrdimensionale Analoga benutzt, um aus einer vorher bestimmten Gröbner-Basis auf die Lösungen (bzw. deren Approximationen) eines Gleichungssystems zu schließen.

DefinitionBearbeiten

Seien   und   zwei Polynome von Grad   bzw.   aus  , dem Polynomring in einer Unbestimmten   über einem kommutativen unitären Ring  , ausgeschrieben

  und  .

Die Resultante dieser beiden Polynome ist die Determinante der Sylvestermatrix.

 

Die Matrix besteht aus   Zeilen mit den Koeffizienten von   und   Zeilen mit den Koeffizienten von  . Alle in der obigen Matrix nicht beschrifteten Einträge sind Null. Die Sylvestermatrix ist also eine quadratische Matrix mit   Zeilen und Spalten.

EigenschaftenBearbeiten

Die (Transponierte der) Sylvestermatrix ist die Systemmatrix der Gleichung  , aufgefasst als lineares Gleichungssystem in den Koeffizienten der Kofaktor-Polynome

  und  .

Haben die Polynome   und   einen gemeinsamen Faktor, so verschwindet die Resultante. Für die Aussage in der anderen Richtung benötigt man noch, dass der Ring   ein faktorieller Integritätsbereich, d. h. ohne Nullteiler und mit eindeutiger Primfaktorzerlegung ist. Das ist immer der Fall, wenn   ein Körper ist, z. B. der Körper der rationalen oder reellen Zahlen oder ein Polynomring darüber. Sind diese Bedingungen erfüllt und gilt  , so enthalten   und   einen gemeinsamen Faktor mit positivem Grad.

Ist der Koeffizientenbereich ein algebraisch abgeschlossener Körper, wie der Körper der komplexen Zahlen, so zerfallen die Polynome   und   in Linearfaktoren

  und  .

In diesem Fall kann die Resultante als Ausdruck in den Nullstellen dargestellt werden, es gelten

 .

Mit Hilfe der cramerschen Regel kann man zeigen, dass es immer Polynome   und   mit Koeffizienten in   gibt, so dass

 

gilt. Die Koeffizienten von   und   ergeben sich aus der letzten Spalte der Komplementärmatrix der Sylvestermatrix.

Beziehung zum Euklidischen AlgorithmusBearbeiten

Eine ähnliche Formel erhält man durch den erweiterten Euklidischen Algorithmus. In der Tat kann aus diesem ein effizientes Berechnungsverfahren für die Resultante abgeleitet werden, das Subresultanten-Verfahren.

LiteraturBearbeiten