Integritätsring

kommutativer und nullteilerfreier nicht- nullring mit Einselement
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In der Algebra ist ein Integritätsring oder Integritätsbereich ein vom Nullring verschiedener nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement.

Alternativ kann man einen Integritätsring definieren als einen kommutativen Ring mit 1, in dem das Nullideal ein Primideal ist, oder als einen Teilring eines Körpers. Es gibt auch eine abgeschwächte Definition, in der kein Einselement gefordert wird, sondern nur, dass es wenigstens ein von Null verschiedenes Element in dem Ring gibt. Viele Sätze über Integritätsringe benötigen jedoch eine Eins, deshalb wird diese Eigenschaft meist mit in die Definition aufgenommen.

BeispieleBearbeiten

  • Das bekannteste Beispiel ist der Ring   der ganzen Zahlen.
  • Jeder Körper ist ein Integritätsring. Umgekehrt ist jeder artinsche Integritätsring ein Körper. Insbesondere ist jeder endliche Integritätsring ein endlicher Körper: Leicht verifiziert man, dass für ein   die Abbildung   injektiv ist. Da   endlich ist, folgt die Bijektivität von  . Es existiert also ein eindeutiges Element   aus  , sodass  . Da   beliebig bis auf von Null verschieden gewählt wurde, folgt, dass jedes   ein Inverses in   besitzt, also, dass   ein Körper ist.
  • Ein Polynomring ist genau dann ein Integritätsring, wenn die Koeffizienten aus einem Integritätsring stammen. Zum Beispiel ist der Ring   der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten ein Integritätsring, ebenso wie der Ring   der reellen Polynome in zwei Variablen.
  • Der Ring aller reellen Zahlen der Form   mit ganzen Zahlen   ist ein Integritätsring, da er Teilring von   ist. Allgemein ist der Ganzheitsring eines Algebraischen Zahlkörpers immer ein Integritätsring.
  • Ist   ein kommutativer Ring mit 1, so ist der Faktorring   genau dann ein Integritätsring, wenn   ein Primideal in   ist. So ist der Restklassenring   genau dann ein Integritätsring wenn   eine Primzahl ist.
  • Ist   ein Gebiet (eine zusammenhängende offene Teilmenge) in den komplexen Zahlen, so ist der Ring   der holomorphen Funktionen   ein Integritätsring.
  • Zu einem Integritätsring   und einer natürlichen Zahl   ist der Matrizenring   genau dann ein Integritätsring, wenn   gilt.

TeilbarkeitBearbeiten

Sind   und   Elemente des Integritätsrings  , dann nennt man   einen Teiler von   und   ein Vielfaches von   (und sagt auch:   teilt  ), wenn es ein Element   in   gibt, so dass  . Man schreibt dann  , andernfalls  .

Es gelten die folgenden Teilbarkeitsregeln:

  • Gilt   und  , dann folgt daraus  .
  • Gilt  , dann gilt auch   für jedes  , insbesondere auch  .
  • Gilt   und  , dann gilt auch   und  .

Die erste Regel besagt, dass Teilbarkeit transitiv ist. Die zweite und dritte Regel besagen, dass die Menge   der Vielfachen eines Elementes   ein Ideal in   bildet; dieses wird auch als   notiert.

EinheitenBearbeiten

Ringelemente, die Teiler der 1 sind, heißen Einheiten von  . Die Einheiten sind identisch mit den invertierbaren Elementen und teilen alle anderen Elemente. Die Menge der Einheiten von   wird mit   bezeichnet und bildet zusammen mit der Ringmultiplikation als Verknüpfung eine abelsche Gruppe – die sogenannte Einheitengruppe von  . Ein Ringelement, das keine Einheit ist, heißt Nichteinheit.

Assoziierte ElementeBearbeiten

Gelten   und  , dann heißen   und   zueinander assoziiert. Zwei Ringelemente   und   sind genau dann assoziiert, wenn es eine Einheit   gibt, sodass  .

IrreduzibilitätBearbeiten

Ein Element heißt reduzibel, wenn es eine Einheit oder ein Produkt zweier (nicht notwendig verschiedener) Nichteinheiten ist, andernfalls heißt es irreduzibel.

PrimelementeBearbeiten

Ein Element   heißt Primelement (oder kurz prim), falls   weder 0 noch eine Einheit ist und außerdem gilt: Aus   folgt   oder  . Das Hauptideal   ist dann ein Primideal. Ist andersherum das Hauptideal   einer von Null verschiedenen Nichteinheit   ein Primideal, so ist   prim. (Das Nullideal ist in Integritätsringen ein Primideal, die Hauptideale von Einheiten sind schon der gesamte Ring.)

Zusammenhang zwischen primen und irreduziblen ElementenBearbeiten

Jedes Primelement ist irreduzibel (für diese Aussage wird die Nullteilerfreiheit des Rings benötigt), aber nicht immer ist jedes irreduzible Element prim. Im Ring   sind  ,  ,   und   irreduzibel, aber nicht prim: zum Beispiel teilt   weder   noch  , aber deren Produkt.

In Hauptidealringen und allgemeiner in faktoriellen Ringen stimmen jedoch beide Begriffe überein. So werden in   die Primzahlen üblicherweise nur als positive, irreduzible Elemente von   definiert. Diese Elemente sind jedoch auch Primelemente, da   faktoriell und somit jedes irreduzible Element prim ist. Es sind jedoch auch noch die negativen Pendants der Primzahlen Primelemente, woran man sieht, dass der Begriff des Primelements allgemeiner gefasst ist als der Begriff der Primzahl.

QuotientenkörperBearbeiten

Ist   ein Integritätsring, dann existiert ein kleinster Körper   der   als Teilring enthält. Der Körper   ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und heißt Quotientenkörper von  . Seine Elemente haben die Form   mit   Der Quotientenkörper ist ein Beispiel einer Konstruktion mit einem Integritätsring, in dem keine Eins (in der Definition des Integritätsringes) benötigt wird, sondern lediglich irgendein von Null verschiedenes Element.

Der Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen ist der Körper der rationalen Zahlen. Der Quotientenkörper eines Körpers ist der Körper selbst.

Alternativ kann man Quotientenkörper über Lokalisierungen von   nach dem Nullideal   konstruieren.

Abstrakt definiert man Quotientenkörper durch folgende universelle Eigenschaft:

Ein Quotientenkörper eines Ringes   ist ein Paar   aus einem Körper K und einem Ringhomomorphismus   von   nach   mit der Eigenschaft, dass es für jeden Körper   mit Ringhomomorphismus   genau einen Körperhomomorphismus   mit   gibt.

CharakteristikBearbeiten

Die Charakteristik eines Integritätsrings ist entweder 0 oder eine Primzahl, denn besitzt ein Ring eine Charakteristik  , dann folgt  , woraus (aufgrund der Nullteilerfreiheit) entweder   oder   folgt. Dies ist aber bereits die Definition der Charakteristik (kleinstes   mit  ), weshalb entweder   oder   ist und   somit prim ist. Man beachte, dass für diesen Beweis nicht unbedingt ein Integritätsring (genauer: die Kommutativität eines Ringes) notwendig ist, ein nullteilerfreier Ring mit 1 reicht bereits.

Ist   ein Integritätsring mit der Primzahl-Charakteristik  , dann ist die Abbildung   ein injektiver Ringhomomorphismus und heißt Frobeniushomomorphismus. Ist der betrachtete Ring endlich, so ist   sogar bijektiv, also ein Automorphismus.

LiteraturBearbeiten