Diskriminante (algebraische Zahlentheorie)

In der algebraischen Zahlentheorie bezeichnet die Diskriminante ein Hauptideal in einem Ganzheitsring, welches eine zahlentheoretische Aussage über die Körpererweiterung zweier Zahlkörper macht.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Ring,   ein Unterring derart, dass   ein freier  -Modul vom Rang   ist. Für   heißt   die Diskriminante von  .

Wenn   eine  -Basis von   darstellt, so ist die Diskriminante bis auf eine Einheit in   eindeutig bestimmt, insbesondere ist also das von   in   erzeugte Hauptideal unabhängig von der Basiswahl. Dieses Hauptideal wird mit   bezeichnet und heißt Diskriminante von   über  .

Eigenschaften und AnwendungBearbeiten

  • Sei   eine separable Körpererweiterung vom Grad   und   die   verschiedenen  -Algebrenmonomorphismen von   in den algebraischen Abschluss von  . Dann gilt für eine  -Basis   von  [1]:
 
  • Seien   zwei Zahlkörper, mit den zugehörigen Ganzheitsringen  . Dann gilt für ein Primideal   das folgende:   ist genau dann verzweigt, wenn   gilt[2]. Insbesondere folgt daraus, dass es nur endlich viele verzweigte Primideale gibt (eindeutige Primzerlegung von  , vgl. Dedekindring).

BeispielBearbeiten

Seien  ;   bezeichne die Äquivalenzklasse von   in  .

Somit  , was der Diskriminante des Polynoms   entspricht.

Zur Berechnung der dabei verwendeten Spuren:

 
 
 

Diskriminante eines ZahlkörpersBearbeiten

Sei K ein Zahlkörper und OK sein Ganzheitsring. Sei b1, ..., bn eine Basis von OK als Z-Modul, und seien {σ1, ..., σn} die Einbettungen von K in die komplexen Zahlen. Die Diskriminante von K ist das Quadrat der Determinante der n-mal-n-Matrix B deren (i,j)-Eintrag σi(bj) ist.[3]

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Neukirch: Satz. I.2.8
  2. Neukirch: Thm. III.2.6
  3. Neukirch: §I.2, nach Kor. I.2.7 und Bem. nach Satz I.2.11