Basis (Modul)

Basis eines Moduls in der Algebra

Der Begriff der Basis eines Moduls ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffes der Basis eines Vektorraumes. Wie bei diesen wird eine Basis eines Moduls als linear unabhängiges Erzeugendensystem definiert; im Gegensatz zu Vektorräumen besitzt allerdings nicht jeder Modul eine Basis.

DefinitionBearbeiten

Ein System von Elementen   eines Moduls   über einem Ring   mit Einselement definiert eine Abbildung

 

von der direkten Summe von Kopien von   nach  , die von den Abbildungen

 

induziert wird.

  • Ist   injektiv, so heißt   linear unabhängig.
  • Ist   surjektiv, so heißt   ein Erzeugendensystem.
  • Ist   bijektiv, so heißt   eine Basis von  .

Eine Basis ist also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

EigenschaftenBearbeiten

Die lineare Unabhängigkeit von   ist äquivalent dazu, dass sich die 0 nur als die triviale Linearkombination darstellen lässt:

 

Ist eine Menge linear abhängig, so folgt daraus – im Gegensatz zum Fall von Vektorräumen – im Allgemeinen nicht, dass sich eines der Elemente als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Das hat die folgenden Konsequenzen:

  • Eine linear unabhängige Teilmenge lässt sich im Allgemeinen nicht zu einer Basis ergänzen.
  • Eine maximal linear unabhängige Teilmenge ist im Allgemeinen keine Basis.
  • Ein minimales Erzeugendensystem ist im Allgemeinen keine Basis.

Als Beispiele betrachte man den  -Modul  : Das System {2} ist maximal linear unabhängig, das System {2,3} ist ein minimales Erzeugendensystem, keines der beiden ist eine Basis.

Ein Modul über einem Ring mit Einselement besitzt genau dann eine Basis, wenn er frei ist. Der Begriff freier Modul ist eine Verallgemeinerung der Basisexistenz auf Moduln, deren Grundring nicht notwendig ein Einselement hat. Über Hauptidealringen ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei.

Induktive Berechnung einer BasisBearbeiten

Ist   ein freier Modul über einem Hauptidealring   und   ein Untermodul von  , dann kann eine Basis von   induktiv berechnet werden:

Sei   eine Basis von  , betrachte  .

Das Ideal   werde von dem Ringelement   erzeugt und es sei

 ,

dann gilt  .

BeispielBearbeiten

Sei   ein  -Modul und der Untermodul definiert durch  .

Eine Basis von   kann nun wie folgt berechnet werden:

 
 

Wir suchen nun das kleinste positive  , welches obige Gleichung erfüllt.

 

 

Wir suchen das kleinste positive  , welches die Gleichung erfüllt.

 

Wir haben eine Basis   gefunden.

BeispieleBearbeiten

ℤ als ℤ-ModulBearbeiten

Es sei   die abelsche Gruppe der ganzen Zahlen als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen. Dann ist

  •   eine maximale linear unabhängige Teilmenge, aber kein Erzeugendensystem.
  •   ein minimales Erzeugendensystem, aber nicht linear unabhängig.

Die einzigen Basen von   sind   und  .

Gitter in ℝn als ℤ-ModulBearbeiten

 
Gitter mit Basisvektoren   und  

Es seien   linear unabhängige Vektoren des euklidischen Vektorraums  . Dann nennt man den  -Modul

 

ein Gitter mit Basis   vom Rang  .

Gitter in   spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und elliptischen Kurven, Gitter in   stehen in Beziehung zu komplexen Tori und abelschen Varietäten.