Abelsche Varietät

spezielle algebraische Gruppen

In der Mathematik werden Abelsche Varietäten im Rahmen der algebraischen Geometrie, komplexen Analysis und der Zahlentheorie untersucht. Abelsche Varietäten besitzen gleichzeitig zwei mathematische Strukturen: die Struktur einer algebraischen Varietät (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät sind durch Polynome bestimmt) und die Struktur einer Gruppe (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät lassen sich so miteinander verknüpfen, dass die von der Addition ganzer Zahlen gewohnten Rechengesetze gelten). Daneben muss eine Abelsche Varietät noch gewisse topologische Bedingungen erfüllen (Vollständigkeit, Zusammenhang). Abelsche Varietäten sind also spezielle algebraische Gruppen.
Der Begriff der Abelschen Varietät entstand durch geeignete Verallgemeinerung der Eigenschaften elliptischer Kurven.

DefinitionBearbeiten

Eine Abelsche Varietät ist eine vollständige, zusammenhängende Gruppenvarietät.[1]

Erläuterung der DefinitionBearbeiten

In dieser Definition zeigt der Begriff „Varietät“ die Eigenschaft Abelscher Varietäten an, aus den Lösungen polynomieller Gleichungssysteme zu bestehen. Diese Lösungen werden häufig als Punkte bezeichnet. Im Fall einer Abelschen Varietät, der eine elliptische Kurve zu Grunde liegt, kann dieses Gleichungssystem aus nur einer Gleichung bestehen, etwa  . Die zugehörige Abelsche Varietät besteht dann aus allen projektiven Punkten   mit   sowie dem Punkt  , der häufig durch   symbolisiert wird.

Der Bestandteil „Gruppe“ in der Definition Abelscher Varietäten verweist darauf, dass man zwei Punkte einer Abelschen Varietät stets so auf einen dritten Punkt abbilden kann, dass Rechengesetze wie bei der Addition ganzer Zahlen gelten: Diese Verknüpfung ist assoziativ, es gibt ein neutrales Element und zu jedem Element ein inverses Element. In der Definition Abelscher Varietäten wird nicht verlangt, dass diese Gruppenoperation abelsch (kommutativ) ist. Allerdings lässt sich zeigen, dass die Gruppenoperation auf einer Abelschen Varietät stets – wie der Name andeutet – abelsch ist.

Die Begriffe „vollständig“ und „zusammenhängend“ verweisen auf topologische Eigenschaften der algebraischen Varietät, die einer Abelschen Varietät zu Grunde liegen. Die folgenden Abschnitte präzisieren die drei Bestandteile „Gruppenvarietät“, „vollständig“ und „zusammenhängend“ der Definition Abelscher Varietäten.

Zum Begriff „Gruppenvarietät“Bearbeiten

Sei   ein beliebiger, nicht notwendig algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Gruppenvarietät über   ist eine algebraische Varietät   über   zusammen mit zwei regulären Abbildungen   und   sowie einem über   definierten Element  , sodass   und   eine Gruppenstruktur mit neutralem Element   auf der über dem algebraischen Abschluss von   betrachteten algebraischen Varietät   definieren. Die reguläre Abbildung   definiert dabei die Gruppenoperation der Gruppenvarietät   und   die Invertierung. Eine Gruppenvarietät ist also ein Quadrupel   mit den genannten Eigenschaften.

Zum Begriff „vollständig“Bearbeiten

Eine algebraische Varietät   heißt vollständig, wenn für alle algebraischen Varietäten   die Projektionsabbildung   abgeschlossen ist (bzgl. der Zariski-Topologie). Das bedeutet:   bildet jede abgeschlossene Teilmenge von   auf eine abgeschlossene Teilmenge von   ab. Zum Beispiel sind projektive algebraische Varietäten stets vollständig; eine vollständige algebraische Varietät braucht aber nicht projektiv zu sein.

Zum Begriff „zusammenhängend“Bearbeiten

Ein topologischer Raum wird zusammenhängend genannt, wenn er nicht als Vereinigung zweier disjunkter, nicht leerer, offener Teilmengen dargestellt werden kann.

EigenschaftenBearbeiten

Aus der Definition Abelscher Varietäten lassen sich wichtige, recht überraschende Eigenschaften ableiten:

  • Die Gruppenoperation einer Abelschen Varietät ist stets kommutativ (abelsch).
  • Die einer Abelschen Varietät zu Grunde liegende algebraische Varietät ist projektiv, nicht-singulär und irreduzibel.

BeispieleBearbeiten

Die folgenden mathematischen Strukturen sind Abelsche Varietäten:

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. James S. Milne: Abelian Varieties. Course Notes, Version 2.00, 2008, Kapitel I, Abschnitt 1, Seite 8, Mitte (englisch).

LiteraturBearbeiten