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Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper, d. h. eine affine algebraische Varietät   über einem Körper   zusammen mit

  • einem Morphismus   (Multiplikation)
  • einem Morphismus   (inverses Element)
  • und einem ausgezeichneten Punkt   (neutrales Element),

so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • Assoziativgesetz:  ;
  • neutrales Element:  ;
  • inverses Element:  ; dabei ist   die Inklusion der Diagonale ( ) und   der Strukturmorphismus.

Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass   für jedes  -Schema   auf der Menge   der  -wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

BeispieleBearbeiten

  • Die additive Gruppe  :   mit der Addition als Gruppenstruktur. Insbesondere für   ist   die affine Gerade   mit der Addition.
  • Die multiplikative Gruppe  :   mit der Multiplikation als Gruppenstruktur. Insbesondere für   ist   die offene Teilmenge   mit der Multiplikation.
  • Die allgemeine lineare Gruppe  :  ; dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren  -Matrizen mit Einträgen im Ring  .   kann mit   identifiziert werden.
  • Der Kern eines Morphismus   algebraischer Gruppen ist wieder eine algebraische Gruppe. Zum Beispiel ist   eine algebraische Gruppe.
  • Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.
  • Zariski-abgeschlossene Untergruppen algebraischer Gruppen sind wieder algebraische Gruppen. Zariski-abgeschlossene Untergruppen von   werden als lineare algebraische Gruppen bezeichnet. Wenn eine algebraische Gruppe eine affine Varietät ist, dann ist sie eine lineare algebraische Gruppe.
  • Unipotente algebraische Gruppen.

Satz von ChevalleyBearbeiten

Jede algebraische Gruppe über einem Körper der Charakteristik 0 ist (auf eindeutige Weise) eine Erweiterung einer abelschen Varietät durch eine lineare algebraische Gruppe.[1] Das heißt zu jeder algebraischen Gruppe   gibt es eine maximale lineare algebraische Untergruppe  , diese ist normal und der Quotient   ist eine abelsche Varietät:

 .

Die Abbildung   ist die Albanese-Abbildung.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Conrad: Satz von Chevalley (PDF-Datei; 233 kB)

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten