Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein freier Modul ein Modul, der eine Basis besitzt. Damit ist der Begriff des freien Moduls eine Verallgemeinerung der Begriffe Vektorraum oder freie abelsche Gruppe.

DefinitionBearbeiten

Eine Familie   von Elementen eines Moduls (oder allgemeiner eines Linksmoduls)   über einem Ring   heißt linear unabhängig oder frei, wenn für jede endliche Indexmenge   und alle   gilt:

 

Erzeugen die   zugleich den Modul  , so heißt   eine Basis (von  ) und der Modul   heißt der freie  -Modul über   oder auch einfach frei.

AnmerkungenBearbeiten

Erste Beispiele und GegenbeispieleBearbeiten

  1. Jeder Ring   mit Einselement ist über sich selbst frei. Das heißt,   ist freier Rechtsmodul. Entsprechend ist   ein freier Linksmodul.
  2. Ist  , so ist der  -Modul   nicht frei. Der  -Modul   ist torsionsfrei, aber nicht frei (freie Moduln sind immer torsionsfrei).
  3. Ist   eine natürliche Zahl, so ist   ein freier Modul. Eine Basis ist die Familie  . Dabei ist die  -te Komponente von   gleich  , alle anderen Komponenten sind  . Dieses Beispiel ordnet sich folgender Situation unter: Ist   eine beliebige Menge, und   eine Familie von Moduln, so ist das Koprodukt   genau dann frei, wenn alle   frei sind. Insbesondere ist   frei.
  4. Das Produkt einer Familie von freien Moduln ist im Allgemeinen nicht frei. So ist beispielsweise   nicht frei.[1]
  5. Der Polynomring   über dem Ring   ist ein freier Modul mit Basis  .
  6. Die Menge der positiven rationalen Zahlen   ist bezüglich der Multiplikation eine kommutative Gruppe. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung lässt sich jedes   eindeutig schreiben   mit Primzahlen  . Es ist also   eine freie abelsche Gruppe mit abzählbarer Basis.
  7. Der Ring   ist genau dann ein Schiefkörper, wenn jeder Modul über diesem Ring frei ist.

Der Rang eines freien ModulsBearbeiten

Viele der Sätze über Basen von Vektorräumen gelten bei freien Moduln nicht mehr:

  1. Ist   ein Vektorraum über dem Körper   mit einer Basis von   Elementen, so ist jedes System von   freien Elementen auch ein Erzeugendensystem, also eine Basis. Über Ringen gilt das im Allgemeinen nicht: So ist beispielsweise im  -Modul   die Menge   frei, aber keine Basis.
  2. Ist   ein Vektorraum, so sind je zwei Basen gleich mächtig. Dies gilt noch bei kommutativen Ringen. Ist also der Ring   kommutativ und  , so ist  . Einen kurzen relativ elementaren Beweis hierzu findet man in dem Buch von Jens Carsten Jantzen und Joachim Schwermer.[2] Über nicht kommutativen Ringen   ist der Satz im Allgemeinen falsch. Ein Beispiel ist die Menge der  -Endomorphismen eines freien  -Moduls mit unendlicher Basis. Man kann daher den Rang eines freien Moduls nicht allgemein definieren. Ringe, bei denen je zwei Basen eines freien Moduls gleich mächtig sind, heißen IBN-Ringe.[3] Noethersche Ringe haben diese Eigenschaft.
  3. Es gilt allgemeiner: Ist   ein Homomorphismus von Ringen und ist   ein IBN-Ring, so auch  . Gibt es also beispielsweise von   einen Ringhomomorphismus nach einem noetherschen Ring  , so ist   ein IBN-Ring.

Eigenschaften freier ModulnBearbeiten

Allgemeine EigenschaftenBearbeiten

  1. Ist   eine Familie von Elementen aus dem Modul  , so gibt es genau einen Homomorphismus   mit  . Dabei ist   eine Basis (im Zweifel die kanonische) von  . Erzeugt die Familie   den Modul  , so ist   ein Epimorphismus. Jeder Modul ist also epimorphes Bild eines freien Moduls.
  2. Ist   ein freier Modul und   ein Epimorphismus, so ist   direkter Summand in  . Es gibt ein   mit  .
  3. Die Aussage 1. kann allgemeiner und zugleich genauer ausgedrückt werden. Zu jeder Menge   gehört der freie Modul   und die kanonische injektive Abbildung  . Ist   eine weitere Menge und   eine Abbildung zwischen den Mengen, so gibt es zu der Familie   genau einen Homomorphismus  , so dass   gilt. Das heißt, folgendes Diagramm ist kommutativ: Sind   Abbildungen, so ist  . In der Sprache der Kategorientheorie lässt sich das so ausdrücken:   ist ein treuer Funktor von der Kategorie der Mengen in die Kategorie der freien Moduln.   ist ein funktorieller Monomorphismus zwischen dem Identitätsfunktor und dem Funktor  .
  4. Wie in 3. gehört zu jedem Modul   der freie Modul  . Dazu gehört der eindeutig bestimmte Epimorphismus  . Für alle   ist  . Es ist   ein funktorieller Epimorphismus zwischen dem Funktor   und dem Identitätsfunktor.

Freie Moduln über besonderen RingenBearbeiten

  1. Über Hauptidealringen ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei.
  2. Über lokalen Ringen sind alle direkte Summanden von freien Moduln (das sind projektive Moduln) frei.

KonstruktionBearbeiten

Zu jeder Menge   und jedem Ring   gibt es den freien  -Linksmodul   über  . Sein Träger ist die Menge der formalen Linearkombinationen von  -Elementen, kodiert etwa als  . Addition und Skalarmultiplikation erfolgen dabei punktweise:

       
       

Die Elemente von   sind hierbei keine Elemente von  . Wenn   eine   (oder auch nur eine Links-Erzeugende   mit  ) hat, so lassen sie sich aber einbetten mittels

         
 

Der freie  -Rechtsmodul ist der freie  -Linksmodul, wobei   den Gegenring von   bezeichnet.

AbschwächungenBearbeiten

Das folgende Diagramm setzt die Freiheit eines Moduls   über einem kommutativen Ring   mit den Eigenschaften projektiv, flach und torsionsfrei in Beziehung:

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Tsit-Yuen Lam: Lectures on modules and rings. GTM 189, Springer, 1999, ISBN 0-387-98428-3.
  • Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7.
  • Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Tsit-Yuen Lam: Lectures on modules and rings. GTM 189, Springer, 1999, ISBN 0-387-98428-3, S. 22 f.
  2. Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra, Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, doi:10.1007/3-540-29287-X, Seite 194
  3. Siehe hierzu den Artikel en:Invariant basis number