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Der Gegenring zu einem Ring ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Ringtheorie. Der Gegenring zu einem Ring entsteht dadurch, dass man bei der Multiplikation die Faktoren vertauscht.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein Ring. Dann wird der Gegenring   (engl. opposite ring) wie folgt definiert:[1][2]

  • Die unterliegende Menge von   ist  .
  • Die Addition + auf   stimmt mit derjenigen auf   überein.
  • Die Multiplikation   wird mittels der Multiplikation   von   wie folgt definiert:   für alle  .

  ist also im Wesentlichen der Ausgangsring, lediglich bei der Multiplikation wird gegenüber dem Ausgangsring die Reihenfolge der Faktoren vertauscht.

EigenschaftenBearbeiten

  • Ist   kommutativ, so ist offenbar  .
  • Sätze über Linksideale in einem Ring   sind Sätze über Rechtsideale in  . Daher gelten Sätze, die für alle Linksideale in allen Ringen gelten, auch für Rechtsideale in allen Ringen.
  • Ist   eine  -Algebra über einem Körper, so ist auch   eine solche Algebra, indem man für   und   dieselbe Vektorraumstruktur verwendet. Man spricht dann auch von der Gegenalgebra.
  • Es sei   die Algebra der  -Matrizen über einem Körper. Dann gilt für die Transposition   bekanntlich die Regel  . Das bedeutet, dass die Transposition ein Ringhomomorphismus   ist, sogar ein Isomorphismus. Allgemeiner ist ein Antihomomorphismus   zwischen zwei Ringen ein Homomorphismus   bzw.  
  • Im Allgemeinen sind   und   nicht isomorph. Beispiele findet man dort, wo gewisse Links-rechts-Symmetrien nicht gelten. So gibt es zum Beispiel linksnoethersche Ringe, die nicht rechtsnoethersch sind; solche Ringe können nicht zu ihrem Gegenring isomorph sein.
  • Ist   ein  -Linksmodul, so wird   durch die Definition   zu einem  -Rechtsmodul.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Theodor Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Birkhäuser Verlag (2004), ISBN 3-0348-8962-3, Kapitel X, §8, Seite 331
  2. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 0.1.11