Quadratische Gleichung

Gleichung mit einem Polynom zweiten Grades deren Lösungsmenge ihre Nullstellen ergibt
(Weitergeleitet von Mitternachtsformel)

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form

mit schreiben lässt. Hierbei sind Koeffizienten; ist die Unbekannte. Ist zusätzlich , spricht man von einer reinquadratischen Gleichung.

Ihre Lösungen lassen sich anhand der Formel

bestimmen. Im Bereich der reellen Zahlen kann die quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen besitzen. Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, so existiert keine Lösung; ist er Null, so existiert eine Lösung; wenn er positiv ist, so existieren zwei Lösungen.

Die linke Seite dieser Gleichung ist der Term einer quadratischen Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades), ; der Funktionsgraph dieser Funktion im kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung die Nullstellen dieser Parabel.

Allgemeine Form – Normalform – NullformBearbeiten

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet

 

Dabei heißt   quadratisches Glied,   lineares Glied und   konstantes Glied (oder auch Absolutglied) der Gleichung.

Die Gleichung ist in Normalform, falls  , wenn also das quadratische Glied den Koeffizienten 1 hat. Aus der allgemeinen Form lässt sich die Normalform durch Äquivalenzumformungen gewinnen, indem durch   dividiert wird. Mit der Definition

    und    

lässt sich die Normalform somit schreiben als

 

Steht auf einer Seite einer Gleichung die 0, wird diese auch Nullform genannt.[1]

Im Folgenden werden zunächst quadratische Gleichungen mit reellen Zahlen als Koeffizienten  ,   und   bzw. als   und   betrachtet.

Lösungen der quadratischen Gleichung mit reellen KoeffizientenBearbeiten

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für   eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen, auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen.

Anzahl der reellen NullstellenBearbeiten

Die Anzahl der Lösungen lässt sich mit Hilfe der sog. Diskriminante   (von lateinisch „discriminare“ = „unterscheiden“) bestimmen. Im allgemeinen Fall ist  , im normierten Fall ist   (zur Herleitung siehe unten):

 
Lage der Parabeln und Auswirkungen auf die Zahl der Nullstellen

Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen der Anzahl der reellen Nullstellen und der Diskriminante:

  • A Diskriminante positiv: Die Parabel hat zwei Schnittpunkte mit der  -Achse, es gibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen   und  
  • B Diskriminante Null: Die Parabel hat genau einen Berührpunkt mit der  -Achse, nämlich ihren Scheitelpunkt. Es gibt somit genau eine (doppelte) reelle Lösung. Die quadratische Gleichung   lässt sich auf die Form   bringen.
  • C Diskriminante negativ: Die Parabel hat keinen Schnittpunkt mit der  -Achse, es gibt keine reellen Lösungen der quadratischen Gleichung. Lässt man komplexe Zahlen als Grundmenge für die Lösungen zu, erhält man zwei verschiedene komplexe Lösungen. Diese sind zueinander konjugiert, das heißt, sie haben den gleichen Realteil und ihre Imaginärteile unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

Einfache SpezialfälleBearbeiten

Ist der Koeffizient des linearen Gliedes   oder das absolute Glied  , so lässt sich die quadratische Gleichung durch einfache Äquivalenzumformungen lösen, ohne dass eine allgemeine Lösungsformel benötigt würde.

Fehlendes lineares GliedBearbeiten

Die reinquadratische Gleichung   mit   ist äquivalent zu

 

Die Lösungen lauten

 

Im Fall   existieren zwei Lösungen. Im Fall   existieren für   keine reellen Lösungen. Die komplexen Lösungen sind dann

 

Zum Beispiel hat die Gleichung   die Lösungen  . Die Gleichung   hat keine reellen Lösungen, die komplexen Lösungen lauten  

Der Fall   und wegen   damit  , also eine doppelte Lösung, gibt es nur bei Gleichungen vom Typ   mit   und sie lautet  .

Fehlendes konstantes GliedBearbeiten

Aus der Gleichung   ergibt sich durch Ausklammern  , d. h., es muss   oder   gelten. Die beiden Lösungen lauten also

  und  

Zum Beispiel hat die Gleichung   die Lösungen   und  

Gleichung in ScheitelpunktformBearbeiten

Die Scheitelpunktform

 

ist eine Variation der reinquadratischen Gleichung  . Sie kann wie diese durch „Rückwärtsrechnen“ gelöst werden: Zunächst subtrahiert man   und dividiert durch  . Dies führt zu

 

Für   ergibt sich daraus

 

Durch Addition von   erhält man die Lösungen

  und  

Für   erhält man entsprechend die beiden komplexen Lösungen

  und  

Beispiel:

 

Lösen mit quadratischer ErgänzungBearbeiten

Beim Lösen mit quadratischer Ergänzung werden die binomischen Formeln benutzt, um eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form oder in Normalform auf die Scheitelpunktform zu bringen, die dann einfach aufgelöst werden kann.

Man verwendet die erste bzw. zweite binomische Formel in der Form  

Dazu wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass die linke Seite die Form   hat. Danach wird auf beiden Seiten   addiert. Dies ist die „quadratische Ergänzung“. Die linke Seite hat nun die Gestalt   und kann mit der binomischen Formel zu   umgeformt werden. Danach liegt die Gleichung in der leicht aufzulösenden Scheitelpunktform vor.

Dies wird am besten anhand eines konkreten Zahlenbeispiels erklärt. Betrachtet wird die quadratische Gleichung

 

Zunächst wird die Gleichung normiert, indem man durch den Leitkoeffizienten (hier 3) dividiert:

 

Das konstante Glied (hier 6) wird auf beiden Seiten subtrahiert:

 

Nun folgt die eigentliche quadratische Ergänzung: Die linke Seite muss so ergänzt werden, dass sich eine binomische Formel (hier die zweite) rückwärts anwenden lässt. Das   aus der obigen binomischen Formel ist dann  , also muss auf beiden Seiten der Gleichung   addiert werden:

 

Die linke Seite wird nach der binomischen Formel umgeformt, die rechte Seite vereinfacht:

 

Dies führt zu

  ,

also zu den beiden Lösungen   und  

Allgemeine LösungsformelnBearbeiten

Man kann quadratische Gleichungen auch lösen, indem man eine der mit Hilfe der quadratischen Ergänzung hergeleiteten allgemeinen Lösungsformeln verwendet.

Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung (a-b-c-Formel)Bearbeiten

Die Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung   lauten:

 

Die Formel wird in Teilen Deutschlands und der Schweiz umgangssprachlich als „Mitternachtsformel“ bezeichnet, weil Schüler sie aufsagen können sollen, selbst wenn man sie um Mitternacht weckt und nach der Formel fragt.[2] In Österreich ist der Ausdruck große Lösungsformel gebräuchlich.[3]

Alternative FormenBearbeiten

Alternative Formulierungen der a-b-c-Formel, die mehr der weiter unten behandelten p-q-Formel ähneln, sind:

 

Wenn man die quadratische Gleichung in der Form

 

angibt (d. h. mit  ), erhält man die etwas einfachere Lösungsformel:

 

Durch Erweitern der a-b-c-Formel mit dem Term   erhält man eine Formel, welche auch für den linearen Fall   anwendbar ist, dafür jedoch im Fall   die Berechnung der Lösung   wegen einer Division durch Null nicht mehr liefern kann. In beiden Fällen wird die Lösungsformel ohnehin nicht benötigt. Für betragsmäßig sehr kleine   ist die alternative Form jedoch robuster gegenüber numerischer Auslöschung.

 
Lösung der a-b-c-Formel bei negativer DiskriminanteBearbeiten

Ist die oben eingeführte Diskriminante   negativ, so ist für die Lösungen die Wurzel einer negativen Zahl zu berechnen. Im Zahlbereich der reellen Zahlen gibt es hierfür keine Lösungen. Im Bereich der komplexen Zahlen gilt  . Dieser Term bestimmt den Imaginärteil der beiden zueinander konjugierten Lösungen, einmal mit positivem, einmal mit negativem Vorzeichen. Der Term davor mit   wird zum konstanten Realteil der beiden Lösungen:

  (komplexer Fall bei negativer Diskriminante).
 
Herleitung der a-b-c-FormelBearbeiten

Aus der allgemeinen Form ergibt sich durch Umformen nach dem Verfahren der quadratischen Ergänzung:

 
RechenbeispielBearbeiten

Gegeben ist die quadratische Gleichung

 .

Hier ist   und  . Setzt man diese Werte in die a-b-c-Formel ein, so erhält man die Lösungen

 .

Lösungsformel für die Normalform (p-q-Formel)Bearbeiten

Bei Vorliegen der Normalform   lauten die Lösungen nach der p-q-Formel:

 

In Österreich ist diese Formel als kleine Lösungsformel bekannt.[3]

Lösung der p-q-Formel bei negativer DiskriminanteBearbeiten

Wie bei der a-b-c-Formel gibt es, wenn   negativ ist, im Zahlbereich der reellen Zahlen keine Lösungen. Die komplexen Lösungen ergeben sich dann zu:

 
Herleitung der p-q-FormelBearbeiten

Die Formel ergibt sich aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung:

 

Eine andere Möglichkeit, die Formel herzuleiten, besteht darin, dass man in der a-b-c-Formel  ,   und   setzt und den Nenner 2 in die Wurzel hineinzieht.

Zerlegung in LinearfaktorenBearbeiten

Mit den Lösungen lässt sich das quadratische normierte Polynom in Linearfaktoren zerlegen:

 

und das nicht normierte in

 

Satz von VietaBearbeiten

Liegt die quadratische Gleichung in Normalform vor und hat die Lösungen   und  , so gilt

 

Durch Koeffizientenvergleich erhält man den Satz von Vieta

  und  

Insbesondere wenn   und   ganze Zahlen sind, lassen sich so durch Ausprobieren, ob Teilerpaare von   als Summe   ergeben, mit einiger Übung oft die Lösungen rasch finden. Beispielsweise erhält man für   die Lösungen   und   durch die Zerlegung   mit  

Numerische BerechnungBearbeiten

Wenn die Lösungen numerisch ermittelt werden und sich um Größenordnungen voneinander unterscheiden, kann durch folgende Variation der obigen Formeln das Problem der Auslöschung vermieden werden:

 
 

Hierbei hat   den Wert   für   und sonst den Wert  . Die erste Formel ergibt die betragsgrößte Lösung. Die zweite Formel beruht auf dem Satz von Vieta.

BeispieleBearbeiten

RechenbeispielBearbeiten

Für die Gleichung

 

ergeben sich als Lösungen nach der a-b-c-Formel

  ,

also   und  

Zur Nutzung der p-q-Formel wird die allgemeine Form zuerst in die Normalform überführt, indem die Gleichung durch 4 dividiert wird:

 

Mit der p-q-Formel ergeben sich die Lösungen

  ,

also somit ebenfalls   und  

Mit Hilfe der Zerlegungen   und   erhält man dieselben Lösungen mit dem Satz von Vieta.

Weitere BeispieleBearbeiten

  •  
    Für die Diskriminante   gilt: . Es ergeben sich die beiden reellen Lösungen   und  
  •  
    Die Diskriminante ist  . Die (doppelte) reelle Lösung ist  
  •  
    Es gibt keine reellen Lösungen, denn die Diskriminante ist negativ. Die komplexen Lösungen ergeben sich zu   und  

VerallgemeinerungenBearbeiten

Komplexe KoeffizientenBearbeiten

Die quadratische Gleichung

 

mit komplexen Koeffizienten  ,   hat stets zwei komplexe Lösungen  , die genau dann zusammenfallen, wenn die Diskriminante   gleich null ist.

Die Lösungen lassen sich wie im reellen Fall durch quadratische Ergänzung oder mit den oben angegebenen Lösungsformeln berechnen. Dabei muss allerdings im Allgemeinen eine Quadratwurzel einer komplexen Zahl berechnet werden.

BeispielBearbeiten

Für die quadratische Gleichung

 

hat die Diskriminante den Wert  . Es ergeben sich die beiden Lösungen   und  

Quadratische Gleichungen in allgemeinen RingenBearbeiten

Allgemein nennt man in der abstrakten Algebra eine Gleichung der Form

 

mit Elementen p, q eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung. In Körpern und allgemeiner in Integritätsbereichen hat sie höchstens zwei Lösungen, in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei Lösungen haben.

Falls Lösungen existieren, dann erhält man sie in kommutativen Ringen ebenfalls mit der p-q-Formel, falls die Charakteristik des Ringes ungleich 2 ist. Hierbei sind allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante zu berücksichtigen. Für einen endlichen Körper   der Charakteristik 2 macht man den Ansatz   und gelangt mittels   zu einem linearen Gleichungssystem für die n Koeffizienten ai aus  .

BeispielBearbeiten

Die quadratische Gleichung

 

hat im Restklassenring   die vier Lösungen 1, 3, 5 und 7.

GeschichteBearbeiten

Bereits vor 4000 Jahren im Altbabylonischen Reich wurden Probleme gelöst, die äquivalent sind zu einer quadratischen Gleichung. Zum Beispiel enthält die unter der Inventarnummer BM 34568 im British Museum archivierte Tontafel gemäß der von Otto Neugebauer in den 1930er Jahren gelungenen Keilschrift-Übersetzung als neuntes Problem[4] die Frage nach den Seitenlängen eines Rechtecks, bei dem die Summe von Länge und Breite 14 ergibt und dessen Fläche gleich 48 ist.[5]

Zwar lässt der auf der Tontafel dokumentierte Lösungsweg keine Begründung erkennen, aber Zwischenwerte, wie sie auch bei der üblichen Lösungsformel oder äquivalenten geometrischen Überlegungen auftauchen:

„Länge und Breite addiert ist 14 und 48 ist die Fläche.
Die Größen sind nicht bekannt. 14 mal 14 (ist) 196. 48 mal 4 (ist) 192.
192 von 196 ziehst Du ab und es bleiben 4. Was mal was
soll ich nehmen, um 4 (zu erhalten)? 2 mal 2 (ist) 4. 2 von 14 ziehst Du ab und es bleibt 12.
12 mal ½ (ist) 6. 6 ist die Breite. Zu 2 wirst Du 6 addieren, 8 ist es. 8 (ist) die Länge.“

BM 34568#9, Übersetzung nach Otto Neugebauer (1937). S. 18.

Die im Text aufgeführten Zwischenwerte, die auf der Tontafel im babylonischen Sexigesimalsystem notiert sind,[6] ergeben sich ebenfalls dann, wenn die zugehörige quadratische Gleichung   mit der üblichen Lösungsformel gelöst wird. Dabei erhält man die beiden Lösungen 8 und 6, die geometrisch den beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks entsprechen:

 

Nach Høyrup ist davon auszugehen, dass der von den Babyloniern beschrittene Lösungsweg der zitierten und ähnlicher Aufgaben wie schon die Aufgabenstellungen geometrisch motiviert waren.[7]

Bei den anktiken Griechen wurden diverse geometrische Probleme gelöst, die äquivalent zu quadratischen Gleichungen sind. Zum Beispiel findet man in Euklids Elementen die Aufgabe:

„Eine Strecke so zu teilen, dass das Rechteck, das die ganze Strecke mit einem Teil ergibt, gleich dem Quadrat über dem andern Teil ist.“

Euklid: Elemente. Band II, Aufgabe 11[8]

Die Aufgabe entspricht in heutiger Notation der Gleichung

  ,

die man umformen kann zur Gleichung

 

Im um 628 n. Chr. entstandenen Buch Brāhmasphuṭasiddhānta („Vervollkommnung der Lehre Brahmas“) des indischen Gelehrten Brahmagupta wurden Lösungsmethoden für quadratische Gleichungen verbal beschrieben. Dabei verwendete Brahmagupta bereits negative Zahlen und deren Rechenregeln wie

„Das Produkt einer Negativen und einer Positiven ist negativ, von zwei Negativen positiv, von zwei Positiven positiv; das Produkt von null und einer Negativen, von null und einer Positiven oder von zwei Nullen ist null.“

Brahmagupta: Brāhmasphuṭasiddhānta. Kapitel XVIII, Vers 33.[9]

Dadurch konnte Brahmagupta Fallunterscheidungen vermeiden, wenn er zur quadratischen Gleichung, die man heute in der Form

   mit   und  

notiert, folgenden Lösungsweg beschrieb:

„Verringere mit der mittleren [Zahl] [gemeint: der Koeffizient der Unbekannten, also  ] die Quadratwurzel des Absolutwertes multipliziert mit dem Vierfachen des Quadrats [gemeint: Koeffizient   des Quadrats der Unbekannten] und erhöht um das Quadrat der mittleren Zahl; teile den Rest durch das doppelte des Quadrats [gemeint: Koeffizient   des Quadrats der Unbekannten]. [Das Ergebnis] ist die mittlere [Zahl] [gemeint: die Unbekannte  ]“

Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, Kapitel XVIII, Vers 44[9]

Das entspricht der Lösungsformel

 

Wie auch die „arabisch“-indischen Ziffern fanden die Erkenntnisse der indischen Gelehrten ihre Verbreitung und Fortentwicklung über islamische Wissenschaftler. Eine besonders herausragende Rolle spielte der Mathematiker Al-Chwarizmi, dessen ungefähr um 825 n. Chr. verfasstes Buch al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-ʾl-muqābala („Das kurzgefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen“) erstmals allgemeine Techniken der Behandlung von Gleichungen, wenn auch weiterhin verbal beschrieben, enthält. Mit den Äquivalenzumformungen von Gleichungen, die Al-Chwarizmi ausführlich beschrieb, konnte jede beliebige quadratische Gleichung auf einen von sechs Typen reduziert werden. Sechs Typen waren notwendig, da Al-Chwarizmi anders als Brahmagupta keine negativen Zahlen verwendete.

Al-Chwarizmis Buch enthält zu allen Typen anhand eines Zahlenbeispiels ein geometrisches Lösungsverfahren, sodass nur positive Lösungen möglich sind. In der nachfolgenden Liste bedeutet Wurzel die gesuchte Lösung   und Vermögen das Quadrat der Lösung  . Ferner bezeichnen   und   nichtnegative Koeffizienten:[10][11]

  • Was anlangt die Vermögen, die gleich sind den Wurzeln (heute:  ),
  • Was anlangt die Vermögen, die gleich sind der Zahl (heute:  ),
  • Was anlangt die Wurzeln, die gleich sind einer Zahl (heute:  ),
  • Was anlangt die Vermögen und die Wurzeln, die gleich sind der Zahl (heute:  ),
  • Was anlangt die Vermögen und die Zahl, die gleich sind den Wurzeln (heute:  ) und
  • Was anlangt die Wurzeln und die Zahl, die gleich sind dem Vermögen (heute:  ).
 
Geometrische Lösung der Gleichung  , wie sie al-Chwarizmi zur Lösung der Gleichung   verwendet. Die nicht schraffierte Fläche entspricht  .
 
Geometrische Lösung der Gleichung   nach Euklid

Zur Lösung der quadratischen Gleichungen verwendete al-Chwarizmi keine Äquivalenzumformungen, also keine algebraische Argumentation, sondern in Anlehnung an die griechische Tradition geometrische Argumente. Als Beispiel soll die Gleichung, wie sie bei al-Chwarizmi auftritt,[12]

 

als Spezialfall von   mit   geometrisch gelöst werden (siehe Bild). Man fasst dazu die linke Seite der Gleichung auf als ein Quadrat EFIH der Seitenlänge   (und somit der Fläche  ) und zwei Rechtecke DEHG und BCFE mit den Seiten   und   (und somit jeweils der Fläche  ). Das Quadrat und die beiden Rechtecke werden wie im Bild gezeigt zu einem Gnomon mit den Eckpunkten BCIGDE zusammengesetzt. Dieses Gnomon hat nach Voraussetzung eine Fläche von  . Ergänzt man es mit dem Quadrat ABED der Seitenlänge   (und somit der Fläche  ) zu dem Quadrat ACIG, so besitzt dieses die Fläche  . Andererseits hat aber dieses Quadrat ACIG nach Konstruktion die Seitenlänge   und somit den Flächeninhalt  . Wegen   schließt man   und somit  . Die quadratische Gleichung wird also »quadratisch ergänzt« zu   mit der (positiven) Lösung  . Man beachte, dass man mit dieser geometrischen Methode nicht die negative Lösung   erhält.

Bei Heron von Alexandria und auch bei al-Chwarizmi wird die Lösung von

 

verbal beschrieben; in heutiger Schreibweise als

 

Allerdings schiebt Heron den euklidischen Weg als geometrische Begründung nach.

Um 1145 übersetzte Robert von Chester und etwas später Gerhard von Cremona die Schriften von al-Chwarizmi ins Lateinische.[13]

Dadurch gelangte die Klassifizierung und die geometrischen Lösungsmethoden nach Europa.

Michael Stiefel verfasste 1544 n. Chr. das Buch Arithmetica integra, das auf das Buch Behend vnnd Hubsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre so gemeincklich die Coss genennt werden von Christoph Rudolff aufbaut. Es gelingt dem Autor durch Verwendung negativer Zahlen die Fallunterscheidung für quadratische Gleichungen zu vermeiden. Aber er lässt negative Zahlen noch nicht als Lösungen zu, da er sie als absurd empfindet.[14]

Einen neuen Ansatz zur Lösung einer quadratischen Gleichung bot der Wurzelsatz von Vieta, der posthum 1615 in seinem Werk De Aequationem Recognitione et Emendatione Tractatus duo publiziert wurde.

Im Jahr 1637 beschrieb René Descartes in seiner Schrift La Géométrie eine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen mit Zirkel und Lineal. Er zeigte weiter, dass Gleichungen höheren Grades im Allgemeinen nicht ausschließlich mit Zirkel und Lineal gelöst werden können.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Bartel Leendert van der Waerden: Erwachende Wissenschaft. Band 1: Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik. 2. Auflage. Birkhäuser 1966.

WeblinksBearbeiten

Commons: Quadratische Gleichung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Heiko Tallig: Anwendungsmathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Oldenbourg, München, Wien 2006, ISBN 978-3-486-57920-8, S. 29 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 29. Dezember 2020]).
  2. Guido Walz: Gleichungen und Ungleichungen: Klartext für Nichtmathematiker. Springer, 2018, ISBN 9783658216696, S. 14.
  3. a b Franz Embacher: Quadratische Gleichungen. Skript auf mathe-online.at.
  4. Das sind die fünf oberen Zeilen der rechten Spalte. Siehe Foto auf der Homepage des British Museums (Gesamtbeschreibung).
  5. Otto Neugebauer: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung A: Quellen, Dritter Band, Dritter Teil, Berlin 1937, S. 14–22 und Tafel 1.
  6. Die Zahlzeichen des Tontafeltextes werden erläutert in Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, 6. Auflage, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1, doi:10.1007/978-3-658-26152-8, S. 4 in der Google-Buchsuche.
  7. Jens Høyrup: Lengths, widths, surfaces: A portrait of old Babylonian algebra and its kin. New York 2002, S. 393–395, ISBN 978-1-4419-2945-7, doi:10.1007/978-1-4757-3685-4.
  8. I. Todhunter: The elements of Euclid. Toronto 1869, S. 66, online bei archive.org.
  9. a b Zitiert nach der Übersetzung von Jörg Bewersdorff. Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. 6. Auflage, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1, doi:10.1007/978-3-658-26152-8, S. 6 f.
  10. Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik – Band 1. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 237–241, doi:10.1007/978-3-540-77192-0.
  11. Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. 7. Auflage. Fourier Verlag, 2003, ISBN 3-925037-64-0, S. 198.
  12. Louis Charles Karpinski: Robert of Chester’s Latin translation of the Algebra of al-Khowarizmi. London 1915, S. 77–83, online bei archive.org.
  13. Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik – Band 1. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 278, doi:10.1007/978-3-540-77192-0.
  14. Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik – Band 1. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 341–342, doi:10.1007/978-3-540-77192-0.