Rechteck

zweidimensionales geometrisches Objekt mit vier rechten Winkeln und gleichlangen gegenüberliegenden Seiten

In der Geometrie ist ein Rechteck (ein Orthogon) ein ebenes Viereck, dessen Innenwinkel alle rechte Winkel sind. Es ist ein Spezialfall des Parallelogramms und damit auch des Trapezes. Ein Sonderfall des Rechtecks ist das Quadrat, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

Rechteck mit Länge a, Breite b und Diagonale d

In der Topologie ist ein Rechteck eine Mannigfaltigkeit mit Rand, genauer eine Mannigfaltigkeit mit Ecken.

EigenschaftenBearbeiten

Das Rechteck kann charakterisiert werden als

FormelnBearbeiten

 
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkt der Seitenlängen.
Mathematische Formeln zum Rechteck
Flächeninhalt  
Umfang  
Länge der Diagonalen  
Umkreisradius  
Innenwinkel  

Die Formel für die Länge der Diagonalen beruht auf dem Satz des Pythagoras. Der Umkreisradius ergibt sich durch Halbierung der Länge der Diagonalen.

Um ein Rechteck zu konstruieren, müssen zwei Größen gegeben sein. Häufig sind entweder eine der beiden Seitenlängen und die Länge der Diagonalen oder beide Seitenlängen gegeben.

Optimierungsprobleme und das QuadratBearbeiten

Es gibt verschiedene Optimierungsprobleme für Rechtecke. Sucht man ein Rechteck, das bei

  • gegebener Länge der Diagonale oder gegebenem Flächeninhalt des Umkreises den maximalen Umfang
  • gegebener Länge der Diagonale oder gegebenem Flächeninhalt des Umkreises den maximalen Flächeninhalt
  • gegebenem Umfang die minimale Länge der Diagonale oder den minimalen Flächeninhalt des Umkreises
  • gegebenem Umfang den maximalen Flächeninhalt
  • gegebenem Flächeninhalt die minimale Länge der Diagonale oder den minimalen Flächeninhalt des Umkreises
  • gegebenem Flächeninhalt den minimalen Umfang

hat, dann ergibt sich als Lösung jeweils das Quadrat.

Jeweils zwei der sechs Optimierungsprobleme sind im Prinzip dieselbe Fragestellung mit anderen gegebenen Größen, sodass es eigentlich nur drei verschiedene Optimierungsprobleme sind. Für die genannten Optimierungsprobleme ist das Quadrat das gesuchte Rechteck. Das gilt selbstverständlich nicht für alle Optimierungsprobleme.

Dass die Optimierungsprobleme für die Länge der Diagonale und den Flächeninhalt des Umkreises jeweils dieselbe Lösung haben, ist offensichtlich, weil der Flächeninhalt   des Umkreises eine stetige und streng monoton steigende Funktion mit der Funktionsvariablen   ist.

 
Rechteck mit den Seitenlängen und Diagonale

Ist zum Beispiel bei gegebener Länge   der Diagonale das Rechteck ABCD mit dem größten Flächeninhalt gesucht, dann hilft es, den Umkreis zu betrachten. Die Diagonale AC ist nach dem Satz des Thales der Durchmesser des Umkreises.

Das Rechteck besteht aus den rechtwinkligen Dreiecken ABC und CDA. Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist dann am größten, wenn die Höhe des Punkts B auf der Seite AC am größten ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die Seiten AB und BC gleich lang sind, das Dreieck also auch gleichschenklig ist. Ebenso ist der Flächeninhalt des Dreiecks CDA genau dann am größten, wenn die Seiten CD und DA gleich lang sind. Der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD ist also genau dann am größten, wenn alle 4 Seiten gleich lang sind, also wenn es ein Quadrat ist.

Eine andere Möglichkeit ist, den Flächeninhalt mit Ungleichungen abzuschätzen.

Ein Rechteck mit den Seitenlängen   und   hat die Diagonalenlänge   und den Flächeninhalt  . Das Quadrat mit der Seitenlänge   hat dieselbe Diagonalenlänge und den Flächeninhalt  . Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel   gilt   für alle positiven Seitenlängen   und   und Gleichheit genau dann, wenn   ist. Daraus folgt, dass das Quadrat das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt ist.

RechteckgitterBearbeiten

 
Rechteckgitter

Das Rechteckgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Diese Punktmenge kann formal als die Menge

 

geschrieben werden, wobei die positiven reellen Zahlen  ,   die Abstände zwischen benachbarten Punkten sind. Das Rechteckgitter entsteht durch 2 Parallelstreckungen (siehe Affine Abbildung) aus dem Quadratgitter.[1]

Dieses Rechteckgitter ist achsensymmetrisch, drehsymmetrisch und punktsymmetrisch. Außerdem ist es translationsymmetrisch für alle Vektoren mit bestimmten Längen, die parallel zu den 2 Koordinatenachsen verlaufen, nämlich die unendlich vielen Vektoren  ,  , wobei  ,   ganze Zahlen sind und  ,   die 2 Einheitsvektoren im zweidimensionalen eudklidischen Vektorraum.

Wird eine geometrische Figur in der Ebene in einem Quadratgitter platziert und dann durch Parallelstreckungen modifiziert, sodass ein Rechteckgitter entsteht, dann entstehen abhängig von der Art und Ausrichtung dieser geometrischen Figuren andere geometrische Figuren:

Parallelstreckungen von geometrischen Figuren
Figur im Würfelgitter Figur im Quadergitter
bei orthogonaler Ausrichtung bei beliebiger Ausrichtung
Quadrat Rechteck Parallelogramm
Rechteck Rechteck Parallelogramm
Raute Raute Parallelogramm
Parallelogramm Parallelogramm
rechtwinkliges Dreieck rechtwinkliges Dreieck Dreieck
gleichschenkliges Dreieck gleichschenkliges Dreieck Dreieck
Kreis Ellipse Ellipse
Ellipse Ellipse Ellipse

Goldenes RechteckBearbeiten

 
Beide Rechtecke – je mit den Seitenverhältnissen a : b sowie (a + b) : a – sind jeweils Goldene Rechtecke (animierte Darstellung).

Rechtecke mit der Eigenschaft   für die Seitenlängen a und b nennt man Goldene Rechtecke. Als Seitenverhältnis ergibt sich der Goldenen Schnitt, also  .

Perfektes RechteckBearbeiten

Ein Rechteck heißt perfekt, falls man es mit Quadraten lückenlos und überschneidungsfrei überdecken kann, wobei alle Quadrate unterschiedlich groß sind. Es ist nicht einfach, eine solche Parkettierung zu finden. Eine solche Zerlegung eines Rechtecks mit den Seitenlängen 32 und 33 in 9 Quadrate wurde 1925 von Zbigniew Moroń gefunden. Sie besteht aus den Quadraten mit den Seitenlängen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 18.[2][3]

Ein weiteres Beispiel eines perfekten Rechtecks – ebenfalls von Zbigniew Moroń – hat die Seitenlängen 47 und 65. Es wird überdeckt von 10 Quadraten mit den Seitenlängen 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 und 25.[2]

 
Perfektes Rechteck mit den Seitenlängen 32 und 33
 
Irene Schramm-Biermann Perfektes Rechteck 47 x 65

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Wiktionary: Rechteck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Commons: Rechteck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wolfram MathWorld: Cubic Lattice
  2. a b Zbigniew Moroń: Darstellung der Rechtecke nach Moroń. Abgerufen am 27. März 2021.
  3. Eric W. Weisstein: Perfect Square Dissection. In: MathWorld (englisch).