Hauptmenü öffnen
Punktsymmetrische Objekte in der Ebene

Die Punktsymmetrie, auch Zentralsymmetrie,[1] ist in der Geometrie eine Eigenschaft einer Figur. Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch die Spiegelung an einem Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet wird.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine (ebene) geometrische Figur (zum Beispiel ein Viereck) heißt punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die diese Figur auf sich abbildet. Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als Symmetriezentrum bezeichnet.[2]

Punktspiegelung als Drehung (und Spiegelung)Bearbeiten

In der Ebene (zweidimensionaler euklidischer Raum) entspricht die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur um 180° um den Symmetriepunkt. Hier ist die Punktsymmetrie ein Spezialfall der Drehsymmetrie. Im dreidimensionalen euklidischen Raum entspricht die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur um 180° um den Symmetriepunkt und anschließender Spiegelung an der zur Drehachse senkrechten Ebene durch den Symmetriepunkt.

Allgemeiner gilt:

Im 2N-dimensionalen Raum entspricht die Punktspiegelung N Drehungen um jeweils 180°. Die Drehachsen stehen paarweise senkrecht aufeinander und schneiden sich im Symmetriepunkt.

Im 2N+1-dimensionalen Raum entspricht die Punktspiegelung N Drehungen um jeweils 180° und anschließender Spiegelung. Die Drehachsen stehen paarweise senkrecht aufeinander und schneiden sich im Symmetriepunkt. Der Symmetriepunkt liegt ebenfalls auf der Spiegelebene und alle Drehachsen stehen senkrecht auf der Spiegelebene.

BeispieleBearbeiten

  • Bei einem Viereck liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt. Das Symmetriezentrum ist dann der Schnittpunkt der Diagonalen. Als Spezialfälle des Parallelogramms sind Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.
  • Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.
  • Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.
  • Mehrere Symmetriezentren kann es nur geben, wenn die Figur nicht beschränkt ist. Das einfachste Beispiel ist die Gerade. Sie hat sogar unendlich viele Symmetriezentren.
  • Ein Dreieck ist niemals punktsymmetrisch. Es können aber zwei Dreiecke zueinander punktsymmetrisch sein.
  • Ein regelmäßiges Polygon mit einer geraden Anzahl von Ecken ist punktsymmetrisch.

Punktsymmetrie von FunktionsgraphenBearbeiten

ÜberblickBearbeiten

 
Punktsymmetrischer Funktionsgraph

Eine in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion   mit dem Definitionsbereich   und den reellen Zahlen als Wertebereich punktsymmetrisch ist.

Existiert ein Punkt   sodass für die Funktion   die Gleichung

 

für alle   gilt, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Punkt   Die genannte Bedingung ist mit

 

gleichwertig, wie die Substitution   zeigt. Im Spezialfall von Punktsymmetrie um dem Ursprung   vereinfacht sich diese Gleichung zu

 

Ist sie für alle   gültig, liegt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor. Dann nennt man die Funktion   ungerade Funktion.

BeispieleBearbeiten

Punktsymmetrie zum KoordinatenursprungBearbeiten

 
Kurve von f(x) = 2x5

Gegeben sei die Funktion   Dann gilt:

 

Also ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Ursprung (0,0).

Punktsymmetrie zum Punkt (0,2)Bearbeiten

 
Kurve von f(x) = 2x5 + 2

Gegeben sei die Funktion   Wähle   und   Dann gilt:

 
 

Folglich ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Punkt   und es gilt

 

Um den Symmetriepunkt   zu bestimmen, hilft dieses Verfahren nicht. Meist reicht es jedoch, den Funktionsgraphen zu zeichnen und daraus eine Vermutung bezüglich des Symmetriepunktes abzuleiten.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Meyers großes Taschenlexikon in 24 Bänden. BI-Taschenbuchverlag, 1992, Band 21, S. 258.
  2. Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-8258-5, S. 144.