Regelmäßiges Polygon

Gleichseitiges und gleichwinkliges Vieleck

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Regelmäßige Polygone

Ein regelmäßiges Polygon, reguläres Polygon, regelmäßiges Vieleck, reguläres Vieleck oder Isogon (von griechisch ἴσος, gleich und γωνία, Winkel) ist in der Geometrie ein ebenes Polygon, das sowohl gleichseitig als auch gleichwinklig ist. Bei einem regelmäßigen Polygon sind demnach alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Die Ecken eines regelmäßigen Polygons liegen alle auf einem gemeinsamen virtuellen oder realen Kreis, wobei benachbarte Ecken unter dem gleichen Mittelpunktswinkel erscheinen.

Regelmäßige Polygone können einfach oder überschlagen sein. Einfache regelmäßige Polygone sind stets konvex. Überschlagene regelmäßige Polygone werden als reguläre Sternpolygone bezeichnet. Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen -Ecks ist die Diedergruppe , bestehend aus genau Drehungen und Spiegelungen.

Alle Kenngrößen regelmäßiger Polygone, wie die Länge der Diagonalen, der Umfang oder der Flächeninhalt, können mit Hilfe trigonometrischer Funktionen angegeben werden. Nicht alle regelmäßigen Polygone sind jedoch mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Regelmäßige Polygone werden unter anderem bei der Näherung der Kreiszahl , für Parkettierungen, in der Architektur und als Münzform verwendet.

DefinitionBearbeiten

Ein Polygon mit den   Seiten   und den Innenwinkeln   heißt regelmäßig, wenn

    und    

gilt. In einem regelmäßigen Polygon sind demnach alle Seiten zueinander kongruent und alle Winkel gleich groß.[1]

KlassifikationBearbeiten

 
Bezeichnungen regelmäßiger Polygone und weiterer Sternformen

Man unterscheidet einfache und überschlagene regelmäßige Polygone. Alle einfachen regelmäßigen Polygone mit gleich viel Ecken sind zueinander ähnlich und werden in der kombinatorischen Geometrie mit dem Schläfli-Symbol   bezeichnet. Um degenerierte Fälle auszuschließen, wird in der Regel   angenommen. Die ersten einfachen regelmäßigen Polygone sind:[1]

  • das gleichseitige Dreieck  ,
  • das Quadrat  ,
  • das regelmäßige Fünfeck   und
  • das regelmäßige Sechseck  .

Überschlagene regelmäßige Polygone werden reguläre Sternpolygone genannt und weisen eine größere Vielfalt an Formen auf. Sie werden mit dem Schläfli-Symbol   bezeichnet, wobei   die Umlaufzahl des Polygons um seinen Mittelpunkt angibt. Die Umlaufzahl muss dabei teilerfremd zu   sein, ansonsten entartet das Polygon. Die ersten regelmäßigen Sternpolygone sind

  • der Fünfstern  ,
  • die Siebensterne   und   sowie
  • der Achtstern  .

Die Anzahl der verschiedenen Typen regelmäßiger Polygone mit   Ecken ist demnach  , wobei   die eulersche Phi-Funktion ist. Sind   und   nicht teilerfremd, werden mit dem Schläfli-Symbol   Sterne bezeichnet, die aus mehreren regelmäßigen Polygonen zusammengesetzt sind. Beispiele sind das Hexagramm   und das Oktagramm  .

KenngrößenBearbeiten

WinkelBearbeiten

 
Größen beim regelmäßigen Sechseck

Die Ecken eines regelmäßigen Polygons liegen konzyklisch auf einem gemeinsamen Kreis. Ein regelmäßiges Polygon ist damit ein Sehnenvieleck und besitzt so einen Umkreis mit Umkreisradius  . Zudem liegen die Ecken gleichabständig auf dem Kreis, das heißt, nebeneinander liegende Ecken erscheinen unter dem gleichen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel)

 .

Damit ist ein regelmäßiges Polygon auch ein Tangentenvieleck mit einem Inkreis mit Inkreisradius  . Der Inkreis berührt die Polygonseiten dabei in den Seitenmittelpunkten. Der Inkreismittelpunkt stimmt mit dem Umkreismittelpunkt überein und wird der Mittelpunkt des Polygons genannt. Nachdem die Winkelsumme in einem einfachen  -Eck stets   ergibt, messen in einem einfachen regelmäßigen Polygon alle Innenwinkel

 .

Da sich an den Ecken eines Polygons Innen- und Außenwinkel zu   ergänzen, sind in einem einfachen regelmäßigen Polygon auch alle Außenwinkel gleich groß und messen jeweils[1]

 .

Für die Winkel in regelmäßigen Polygonen ergeben sich beispielsweise folgende Werte:

Polygon Mittelpunktswinkel   Innenwinkel   Außenwinkel  
Gradmaß Bogenmaß Gradmaß Bogenmaß Gradmaß Bogenmaß
n-Eck            
Dreieck            
Viereck            
Fünfeck            
Sechseck            
Achteck            
Zehneck            
Zwölfeck            

LängenBearbeiten

 
Bestimmungsdreieck

Die wichtigsten Kenngrößen einfacher regelmäßiger Polygone können mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks, das von dem Mittelpunkt und zwei benachbarten Ecken des Polygons gebildet wird, ermittelt werden. Das Bestimmungsdreieck ist gleichschenklig mit dem Spitzenwinkel  , den Basiswinkeln  , den Schenkeln  , der Basis   und der Höhe  .[2] Wird das Bestimmungsdreieck entlang der Höhe (dem Apothema) in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt, ergeben sich mit dem oben angegebenen Mittelpunktswinkel und den trigonometrischen Funktionen (Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans) die folgenden Beziehungen zwischen der Seitenlänge  , dem Umkreisradius   und dem Inkreisradius  :[3]

 
 
 

Für manche Werte von   lassen sich explizite Formeln für die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen (siehe Formelsammlung Trigonometrie) und damit für die Längen in einfachen regelmäßigen Polygonen angeben, zum Beispiel:[3]

Polygon Seitenlänge   gegeben Umkreisradius   gegeben Inkreisradius   gegeben
Umkreisradius Inkreisradius Seitenlänge Inkreisradius Seitenlänge Umkreisradius
n-Eck            
Dreieck            
Viereck            
Fünfeck            
Sechseck            
Achteck            
Zehneck            
Zwölfeck            

Umfang und FlächeninhaltBearbeiten

Der Umfang eines einfachen regelmäßigen Polygons ist das  -fache der Seitenlänge und damit

 .

Der Flächeninhalt eines einfachen regelmäßigen Polygons ist entsprechend das  -Fache der Fläche des Bestimmungsdreiecks:[3]

 .

Die letzte Gleichung folgt dabei aus der Doppelwinkelformel. Damit ergeben sich beispielsweise die folgenden expliziten Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt einfacher regelmäßiger Polygone:[3]

Polygon Seitenlänge   gegeben Umkreisradius   gegeben Inkreisradius   gegeben
Umfang Flächeninhalt Umfang Flächeninhalt Umfang Flächeninhalt
Monotonie steigend steigend steigend steigend fallend fallend
n-Eck            
Dreieck            
Viereck            
Fünfeck            
Sechseck            
Achteck            
Zehneck            
Zwölfeck            

MonotonieBearbeiten

Es ist nicht immer offensichtlich, dass der Umfang und der Flächeninhalt des regelmäßigen Polygons streng monoton steigt oder streng monoton fällt, wenn   größer wird.

Monotonie bei gegebener SeitenlängeBearbeiten

Wenn die Seitenlänge   gegeben ist, nimmt der Umfang   offensichtlich immer zu und der Flächeninhalt nimmt zu, weil die Funktion   für alle reellen Zahlen   streng monoton steigt. Um das einzusehen, kann die Ableitung dieser Funktion gebildet oder die Reihenentwicklung von   verwendet werden.

Monotonie bei gegebenem UmkreisradiusBearbeiten

Dafür, dass der Flächeninhalt bei gegebenem Umkreisradius immer zunimmt, wenn   größer wird, gibt es verschiedene Beweise:

  • Beim regelmäßigen  -Eck können die Mittelpunktswinkel jeweils in   gleiche Winkel geteilt werden, sodass   gleiche Winkel am Mittelpunkt des regelmäßigen  -Ecks entstehen und das Polygon in   Dreiecke zerlegt wird. Und beim regelmäßigen  -Eck können die Mittelpunktswinkel jeweils in   gleiche Winkel geteilt werden, sodass das regelmäßige  -Eck ebenfalls in   Dreiecke zerlegt wird. Indem die Flächeninhalte dieser Dreiecke geschickt abgeschätzt werden, kann bewiesen werden, dass die Flächeninhalte der Dreiecke, aus denen das regelmäßige  -Eck besteht, insgesamt größer sind als die Flächeninhalte der Dreiecke, aus denen das regelmäßige  -Eck besteht. Also hat für alle   das regelmäßige  -Eck einen größeren Flächeninhalt als das regelmäßigen  -Eck.
  • Eine andere Möglichkeit ist ein indirekter Beweis, der in mehreren Schritten geführt werden kann:
    • Gegeben ist ein regelmäßiges  -Eck mit dem Umkreis.
    • Es gibt ein Sehnenvieleck mit   Ecken, das einen größeren Flächeninhalt hat, denn zum regelmäßiges  -Eck kann ein Dreieck hinzugefügt werden, das denselben Umkreis hat.
    • Angenommen, ein Sehnenvieleck mit   Ecken, das nicht regelmäßig ist, also zwei verschieden lange benachbarte Seiten hat, hätte den größten Flächeninhalt von allen Sehnenvielecke mit   Ecken.
    • Dann kann der Flächeninhalt dieses Sehnenvielecks vergrößert werden, indem diese verschieden langen benachbarten Seiten, durch stetiges Verschieben der gemeinsamen Ecke gleich lang gemacht werden.
    • Das ergibt einen Widerspruch, denn nach Annahme war der Flächeninhalt dieses Sehnenvielecks maximal.
    • Daraus folgt, dass der Flächeninhalt des regelmäßigen  -Ecks mit diesem Umkreis von allen Sehnenvielecken mit   Ecken den größten Flächeninhalt hat.
Hinweis: Entscheidend ist dabei, dass die Flächeninhalte der Sehnenvielecke nach oben beschränkt sind. Das ist klar, denn alle Sehnenvielecke haben denselben Umkreis, und dieser Umkreis ist zum Beispiel der Inkreis eines Quadrats mit dem Flächeninhalt  . Wichtig ist außerdem, dass die Flächeninhalte stetig vergrößert werden können.
  • Der Flächeninhalt des regelmäßigen  -Ecks mit diesem Umkreis ist also größer als der Flächeninhalt des ursprünglichen Sehnenvielecks mit   Ecken, und dieser Flächeninhalt ist wiederum größer als der Flächeninhalt des regelmäßigen  -Ecks. Daraus schließlich folgt die Behauptung, dass das regelmäßige  -Eck einen größeren Flächeninhalt hat als das regelmäßigen  -Eck.
 
Mit der Substitution  , wegen   und mithilfe der Reihenentwicklung von   folgt daraus für  , also  , die Ungleichung
 
Daraus folgt, dass die Funktion   für alle reellen Zahlen   streng monoton steigt.

Die strenge Monotonie des Umfangs bei gegebenem Umkreisradius kann mithilfe der Ableitung von   bewiesen werden.

Monotonie bei gegebenem InkreisradiusBearbeiten

Wenn der Inkreisradius   gegeben ist, nimmt der Umfang   ab und auch der Flächeninhalt   nimmt ab. Auch in diesen Fällen helfen die Ableitungen dieser Funktionen und nun die Reihenentwicklung von  .

Die Ableitungsfunktion des Flächeninhalts ist (siehe Differentialrechnung - Ableitungsregeln und Tangens und Kotangens - Ableitung):

 

Mit der Substitution  , wegen  ,  , der Doppelwinkelfunktion für den Sinus und mithilfe der Reihenentwicklung von   folgt daraus für  , also  , die Ungleichung

 

Daraus folgt, dass die Funktion   für alle reellen Zahlen   streng monoton steigt. Die strenge Monotonie des Umfangs lässt sich fast ebenso beweisen.

Entsprechend wie beim regelmäßigen  -Eck mit gegebenem Umkreisradius kann das ebenfalls mit elementarer Geometrie bewiesen werden.

DiagonalenBearbeiten

 
Diagonalen im regelmäßigen Achteck

Von jeder Ecke eines regelmäßigen  -Ecks gehen   Diagonalen   bis   aus. Die Länge der Diagonalen kann wiederum mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks, das von dem Mittelpunkt des Polygons und den beiden Endpunkten der Diagonale gebildet wird, ermittelt werden. Das Bestimmungsdreieck der  -ten Diagonale,  , ist wieder gleichschenklig und hat die Schenkel  , die Basis   und den Spitzenwinkel  . Damit ergibt sich für die Länge der  -ten Diagonale

 .

Für die Längen der Diagonalen in einem einfachen regelmäßigen Polygon gilt die Identität

 .

Durch Drehung der Diagonalen um den Winkel   mit dem Mittelpunkt als Drehzentrum oder aus dem Kreiswinkelsatz, denn jedes regelmäßige Polygon hat einen Umkreis, folgt, dass die kleinen Dreiecke der Dreieckszerlegung mit den Seitenlängen  ,   und   die Innenwinkel  ,   und   hat. Daraus ergibt sich mithilfe des Sinussatz die genannte Formel für die Länge der  -ten Diagonale.[4]

Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung des Kosinussatz und vollständige Induktion.

Wenn der Umkreis des regelmäßigen Polygons mit dem Durchmesser   betrachtet wird, kann alternativ der Satz des Thales oder auch der Sekanten-Tangenten-Satz verwendet werden.

Ist die Eckenzahl des Polygons gerade, sind daher   Diagonalen unterschiedlich lang. Ist die Eckenzahl ungerade, gibt es   verschieden lange Diagonalen.

Bei gegebener Seitenlänge   ergeben sich beispielsweise die folgenden expliziten Formeln für die Längen der Diagonalen einfacher regelmäßiger Polygone:

Polygon Diagonalen
Diagonale   Diagonale   Diagonale   Diagonale   Diagonale  
Viereck  
Fünfeck  
Sechseck    
Achteck      
Zehneck        
Zwölfeck          

EigenschaftenBearbeiten

SymmetrienBearbeiten

 
Symmetrieachsen beim regelmäßigen Fünfeck und Sechseck

Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen  -Ecks ist die Diedergruppe  . Die Diedergruppe weist die Ordnung   auf und besteht aus

Ist   gerade, dann verläuft die eine Hälfte der Symmetrieachsen durch zwei gegenüberliegende Ecken und die andere Hälfte durch zwei Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Ist   ungerade, dann verlaufen alle Symmetrieachsen durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

Jedes regelmäßige Polygon mit gerader Eckenzahl ist auch punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.

ZerlegungenBearbeiten

 
Zerlegungen eines regelmäßigen Siebenecks und eines regelmäßigen Achtecks entlang aller Diagonalen

Die Gesamtzahl aller Diagonalen in einem regelmäßigen  -Eck ergibt sich zu   (Folge A000096 in OEIS), da von jeder der   Ecken   Diagonalen ausgehen und bei dieser Zählung alle Diagonalen doppelt gezählt werden. Bei einem einfachen regelmäßigen Polygon mit gerader Eckenzahl verlaufen alle Diagonalen durch den Mittelpunkt des Polygons. Bei ungerader Eckenzahl wird durch die Diagonalen im Inneren eine verkleinerte Kopie des Polygons gebildet. Die Anzahl der Schnittpunkte der Diagonalen im Inneren eines einfachen regelmäßigen  -Ecks ergibt die Folge[5]

    (Folge A006561 in OEIS).

Diese Folge ganzer Zahlen ist nicht monoton steigend.

Jeweils 4 beliebige Eckpunkte des regelmäßigen  -Ecks bilden ein konvexes Viereck. Die zwei Diagonalen des Vierecks schneiden sich in einem Punkt. Umgekehrt gehört jeder Schnittpunkt zu mindestens zwei Diagonalen des regelmäßigen  -Ecks.

Für ungerades   schneiden sich immer nur 2 Diagonalen in einem Punkt. Die Anzahl der Schnittpunkte ist daher gleich der Anzahl der Möglichkeiten, 4 der   Eckpunkte auszuwählen, wenn die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird, also die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung:

 

Für gerades   größer gleich 6 schneiden sich auch mehr als 2 Diagonalen in einem Punkt. In diesem Fall ist die Anzahl der Schnittpunkte kleiner als  .

Die Anzahl der Teilpolygone, die durch eine vollständige Zerlegung eines einfachen regelmäßigen  -Ecks entlang der Diagonalen entsteht, ergibt die Folge

    (Folge A007678 in OEIS).

Für ungerades   ist diese Anzahl gleich

 

und kleiner für gerades  . Auch diese Folge ganzer Zahlen ist nicht monoton steigend.[6]

Die Anzahl der Möglichkeiten, ein einfaches regelmäßiges  -Eck überschneidungsfrei entlang der Diagonalen in Teilpolygone zu zerteilen, wird durch die kleinen Schröder-Zahlen   angegeben. Sollen diese Teilpolygone ausschließlich Dreiecke sein, wird die Anzahl der Möglichkeiten durch die Catalan-Zahlen   angegeben. Allgemeiner werden auch Zerlegungen regelmäßiger Polygone untersucht, bei denen nicht nur die Diagonalen verwendet werden dürfen, zum Beispiel die Zerlegung in flächengleiche Dreiecke.

Zusammenhang mit SternpolygonenBearbeiten

Es können auch nur gleich lange Diagonalen, aber nicht die Seiten in einem regelmäßigen  -Eck eingezeichnet werden.

Werden die Ecken mit Indexen durchnummeriert und nur die mit einer geraden Strecke verbunden, deren – fortlaufende – Indexe die Differenz   haben, dann sind diese Strecken gleich lange Diagonalen und es entsteht ein regelmäßiges Sternpolygon. Umgangssprachlich kann man auch sagen, dass immer jeder  -te Punkt einer gleichmäßig mit   Punkten unterteilten Kreislinie mit einer geraden Strecke verbunden wird. Die formale Bezeichnung für ein solches Sternpolygon ist  -Stern (siehe Schläfli-Symbol).

Wird immer jede zweite Ecke innerhalb eines regelmäßigen Fünfecks verbunden, dann entsteht ein regelmäßiger  -Stern, nämlich das Pentagramm. Wird immer jede zweite Ecke innerhalb eines regelmäßigen Sechsecks verbunden, dann entsteht ein regelmäßiger  -Stern, nämlich das Hexagramm, das auch als Davidstern bekannt ist.

Für   und   gibt es folgende regelmäßige Sternpolygone:

AbständeBearbeiten

 
Die Summe der Abstände von einem beliebigen Punkt im Inneren eines regelmäßigen Polygons zu den Seiten ist gleich der Summe der Abstände vom Mittelpunkt zu den Seiten

Nach dem Satz von Viviani ist die Summe der senkrechten Abstände von einem beliebigen Punkt   im Inneren eines einfachen regelmäßigen Polygons zu den Polygonseiten gleich der Summe der Abstände vom Mittelpunkt zu den Seiten und damit gleich  . Betrachtet man nämlich die Dreiecke, die von dem Punkt   und jeweils zwei benachbarten Eckpunkten gebildet werden, dann ist die Summe der Flächeninhalte dieser Dreiecke gleich dem gesamten Flächeninhalt des Polygons, also

 .

Die Aussage ergibt sich dann durch Dividieren beider Seiten der Gleichung durch  . Weitere Identitäten in regelmäßigen Polygonen sind:[7]

  • Die Summe der Abstände von den Eckpunkten zu einer beliebigen Umkreistangente ist  .
  • Die Summe der Abstandsquadrate von den Eckpunkten zu einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis ist  .
  • Die Summe der Abstandsquadrate von den Seitenmitten zu einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis ist  .

Das Produkt der Abstände von einem Eckpunkt zu allen anderen Eckpunkten ergibt sich in einem regelmäßigen Polygon zu

 .

MaximalitätBearbeiten

 
Von allen in einen Kreis ein­beschrie­benen Sechsecken hat das regelmäßige Sechseck die größte Fläche

Regelmäßige Polygone maximieren nach dem Satz von Zenodoros den Flächeninhalt im Vergleich zu anderen Polygonen in folgender Weise:

  • Von allen  -Ecken mit gleichem Umfang hat das regelmäßige  -Eck den größten Flächeninhalt.
  • Von allen in einen gegebenen Kreis einbeschriebenen  -Ecken hat das regelmäßige  -Eck den größten Flächeninhalt.
  • In jeder endlichen Menge regelmäßiger Polygone mit gleichem Umfang hat dasjenige mit den meisten Ecken den größten Flächeninhalt.

Andererseits gilt aber auch die isoperimetrische Ungleichung:

  • Ein Kreis hat einen größeren Flächeninhalt als jedes regelmäßige Polygon mit gleichem Umfang.

Darstellung mit Koordinaten und VektorenBearbeiten

 
Die Ecken auf dem Umkreis eines regelmäßigen Zwölfecks und die entsprechenden Winkel bezogen auf den Mittelpunkt.

Kartesische KoordinatenBearbeiten

Die Ecken   eines regelmäßigen  -Ecks können mit kartesischen Koordinaten dargestellt werden. Sie können als Ortsvektoren in der zweidimensionalen euklidischen Ebene aufgefasst werden. Dabei kann der Einheitskreis als Umkreis mit dem Radius   genommen werden. Dann ist der Mittelpunkt gleich dem Koordinatenursprung und die Ecke   hat die Koordinaten

 

Die Nummerierung der Ecken   läuft dabei gegen den Uhrzeigersinn und die Ecke   liegt rechts auf dem positiven Teil der  -Achse. Diese Darstellung folgt der Definition von Sinus und Kosinus und hängt auch mit der Definition der Einheitswurzeln in der komplexen Zahlenebene zusammen.

Die Seiten   dieses regelmäßigen  -Ecks sind dann zweidimensionale Richtungsvektoren:

 

PolarkoordinatenBearbeiten

 
Die fünften Einheitswurzeln in der komplexen Ebene

Zur Berechnung der Eckpunkte eines regelmäßigen  -Ecks können die komplexen Lösungen der Kreisteilungsgleichung   verwendet werden. Die Polarkoordinaten   des  -ten Eckpunkts eines regelmäßigen  -Ecks mit der Umlaufzahl   (bei einfachen Polygonen ist  ), dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt, dem Umkreisradius   und dem Drehwinkel   haben so die einfache Form

 .

Für  ,   und   entsprechen diese Eckpunkte gerade den  -ten Einheitswurzeln in der komplexen Zahlenebene. In einem kartesischen Koordinatensystem lauten die Koordinaten   des  -ten Eckpunkts entsprechend[8]

 .

Definition als Menge von PunktenBearbeiten

Definition als Schnittmenge von HalbebenenBearbeiten

Ein regelmäßiges  -Eck kann mithilfe der   Geraden, die jeweils durch zwei benachbarte Eckpunkte

 

verlaufen, definiert werden. Das regelmäßige Polygon ist die Schnittmenge der Halbebenen, die auf der Seite des Koordinatenursprungs liegen. Sie kann formal geschrieben werden als

 

Jede dieser Halbebenen ist die Menge aller Punkte, die die zur Zwei-Punkte-Gleichung der Geraden gehörende Ungleichung erfüllen.

Für das Innere des regelmäßige Polygons muss in den Ungleichungen jeweils   durch   ersetzt werden und für den Rand muss in 1 oder 2 Ungleichungen   durch   ersetzt werden, sodass ein System aus Gleichungen und Ungleichungen entsteht. Bei 1 Gleichung definiert die Menge eine Seite und bei 2 Gleichungen mit aufeinander folgenden Indexen   und   eine Ecke.

Definition als Voronoi-ZelleBearbeiten

Ein regelmäßigen  -Eck kann als zweidimensionale Voronoi-Zelle, also als Region eines zweidimensionalen Voronoi-Diagramms definiert werden. Eine Voronoi-Zelle ist eine Menge von Punkten in der Ebene. Das Zentrum des regelmäßigen Polygons ist der Koordinatenursprung. Die anderen   Zentren des Voronoi-Diagramms bilden die Ecken eines anderen regelmäßigen  -Ecks mit dem Radius  . Nach der Definition einer Voronoi-Zelle kann diese Menge von Punkten formal geschrieben werden als

 

Dabei bezeichnet   den euklidischen Abstand in der Ebene.[9]

KonstruktionBearbeiten

Zirkel und LinealBearbeiten

 
Konstruktion eines regelmäßigen Siebzehnecks mit Zirkel und Lineal nach Herbert W. Richmond[10]

Die Frage, welche regelmäßigen  -Ecke unter ausschließlicher Verwendung von Zirkel und Lineal konstruiert werden können, wurde bereits in der Antike untersucht, aber erst im 19. Jahrhundert von Carl Friedrich Gauß und Pierre Wantzel abschließend beantwortet. Demnach ist ein regelmäßiges Polygon genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Zahl seiner Seiten von der Form

 

ist, wobei   und   paarweise voneinander verschiedene fermatsche Primzahlen sind. Das kleinste nicht konstruierbare regelmäßige Polygon ist damit das regelmäßige Siebeneck. Lässt man zur Konstruktion zusätzlich ein Hilfsmittel zur Dreiteilung eines Winkels zu, so sind alle regelmäßigen Polygone mit Seitenzahlen der Form

 

konstruierbar, wobei   und   verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei sind. Auf diese Weise sind beispielsweise auch das regelmäßige Siebeneck,[11] das regelmäßige Neuneck und das regelmäßige Dreizehneck[12] konstruierbar, nicht jedoch das regelmäßige Elfeck. Konkrete Konstruktionsvorschriften für regelmäßige Polygone zu finden gestaltet sich jedoch mit wachsender Eckenzahl schnell als sehr aufwändig. Es gibt aber solche Konstruktionsvorschriften unter anderem für das 17-Eck, das 257-Eck und das 65537-Eck.

AsymptotikBearbeiten

Kreis als GrenzformBearbeiten

 
Schrittweise Annäherung an einen Kreis durch ein- beziehungsweise umbeschriebene regelmäßige Polygone

Für wachsende Seitenzahl   nähert sich die Form eines einfachen regelmäßigen  -Ecks bei konstantem Umkreis- oder Inkreisradius immer mehr einem Kreis an. Das Verhältnis von Umfang und Umkreis- oder Inkreisradius strebt dabei gegen den Grenzwert[8]

 .

Das Verhältnis von Flächeninhalt und dem Quadrat des Umkreis- oder des Inkreisradius strebt für wachsendes   entsprechend gegen den Grenzwert

 .

KonvergenzBearbeiten

Es ist sehr naheliegend, dass der Flächeninhalt des regelmäßigen  -Ecks für große Zahlen   sowohl bei gegebenem Umkreisradius als auch bei gegebenem Inkreisradius gegen den Flächeninhalt von diesem Kreis konvergiert. Dasselbe gilt für den Umfang. In formaler Hinsicht ist das allerdings nicht offensichtlich. Dafür wird statt   die reelle Variable   verwendet und die Grenzwerte der Funktionen für den Flächeninhalt und für den Umfang hergeleitet. Wichtig ist hier, dass diese Funktionen und ihre Faktoren (oder Quotienten) differenzierbar sind.[13]

Konvergenz bei gegebenem UmkreisradiusBearbeiten

Um die Konvergenz des Flächeninhalts zu beweisen, ist der Grenzwert   zu berechnen. Nach dem Satz von de L’Hospital ergibt sich der Grenzübergang im Unendlichen wie folgt:

 

Für den Umfang ergibt sich entsprechend  .

Konvergenz bei gegebenem InkreisradiusBearbeiten

Nach dem Satz von de L’Hospital ergibt sich der Grenzübergang im Unendlichen für den Grenzwert   des Flächeninhalts wie folgt:

 

Und für den Umfang ergibt sich entsprechend  .

ÜbersichtBearbeiten

Seitenzahl Umkreisradius   Inkreisradius  
Seitenlänge Inkreisradius Umfang Flächeninhalt Seitenlänge Umkreisradius Umfang Flächeninhalt
                 
3 1,732050808 0,500000000 5,196152423 1,299038106 3,464101615 2,000000000 10,39230485 5,196152423
4 1,414213562 0,707106781 5,656854249 2,000000000 2,000000000 1,414213562 8,000000000 4,000000000
5 1,175570505 0,809016994 5,877852523 2,377641291 1,453085056 1,236067978 7,265425280 3,632712640
6 1,000000000 0,866025404 6,000000000 2,598076211 1,154700538 1,154700538 6,928203230 3,464101615
7 0,867767478 0,900968868 6,074372348 2,736410189 0,963149238 1,109916264 6,742044663 3,371022332
8 0,765366865 0,923879533 6,122934918 2,828427125 0,828427125 1,082392200 6,627416998 3,313708499
9 0,684040287 0,939692621 6,156362580 2,892544244 0,727940469 1,064177772 6,551464217 3,275732108
10 0,618033989 0,951056516 6,180339888 2,938926261 0,649839392 1,051462224 6,498393925 3,249196962
100 0,062821518 0,999506560 6,282151816 3,139525976 0,062852532 1,000493683 6,285253209 3,142626604
1000 0,006283175 0,999995065 6,283174972 3,141571983 0,006283206 1,000004935 6,283205978 3,141602989
10000 0,000628319 0,999999951 6,283185204 3,141592447 0,000628319 1,000000049 6,283185514 3,141592757
100000 0,000062832 0,999999999 6,283185306 3,141592652 0,000062832 1,000000000 6,283185309 3,141592655
  0 1 2 · π π 0 1 2 · π π

Apeirogon als GrenzformBearbeiten

   
Regelmäßige Parkettierungen der hyperbolischen Ebene durch Apeirogone

Wird bei wachsender Seitenzahl   stattdessen die Seitenlänge konstant gehalten, nähert sich die Form eines einfachen regelmäßigen  -Ecks einer degenerierten geometrischen Figur an, die Apeirogon (von griechisch ἄπειρον, das Unbeschränkte) genannt wird und mit dem Schläfli-Symbol   bezeichnet wird.[14] Ein Apeirogon kann als eine Aneinanderreihung unendlich vieler gleich langer Linienstücke der Form

... ...

visualisiert werden oder auch als Kreis mit einem unendlich großen Radius angesehen werden. Die Innenwinkel eines Apeirogons sind gestreckte Winkel und messen daher

 .

Im hyperbolischen Raum ist ein Apeirogon jedoch nicht mehr degeneriert und besitzt eine Reihe interessanter Eigenschaften. So lässt sich beispielsweise die hyperbolische Ebene durch Apeirogone auf verschiedene Weisen regelmäßig parkettieren.

SchachtelungenBearbeiten

 
Alternierend geschachtelte Kreise und regelmäßige Polygone mit wachsender Seitenzahl

Wird in einen Einheitskreis ein regelmäßiges Dreieck einbeschrieben, in dessen Inkreis dann ein regelmäßiges Viereck, in wiederum dessen Inkreis ein regelmäßiges Fünfeck und so weiter, dann konvergiert die Folge der Inkreisradien gegen den Grenzwert

    (Folge A085365 in OEIS),

der Kepler-Bouwkamp-Konstante oder polygon inscribing constant genannt wird. Analog konvergiert die Folge der Umkreisradien, wenn um einen Einheitskreis abwechselnd regelmäßige Polygone mit wachsender Seitenzahl und deren Umkreise umbeschrieben werden, gegen den Grenzwert

    (Folge A051762 in OEIS),

der als polygon circumscribing constant bekannt ist.

Das Produkt der beiden Konstanten ist 1.

VerwendungBearbeiten

PolygonalzahlenBearbeiten

   
Die vierte zentrierte Fünfeckszahl (31) und Sechseckszahl (37)

In der Zahlentheorie werden die Polygonalzahlen und die zentrierten Polygonalzahlen betrachtet, die dadurch entstehen, dass mit einer bestimmten Zahl von Steinen regelmäßige Polygone gelegt werden. Nach dem fermatschen Polygonalzahlensatz lässt sich jede Primzahl als Summe von höchstens   solcher  -Eckszahlen darstellen. Ein bekannter Spezialfall dieses Satzes ist der Vier-Quadrate-Satz von Joseph Louis Lagrange. Die dreidimensionalen Verallgemeinerungen der Polygonalzahlen heißen Pyramidalzahlen.

Näherung von πBearbeiten

 
Prinzip der Exhaustionsmethode zur schrittweisen Näherung der Kreiszahl π

Archimedes setzte im 3. Jahrhundert v. Chr. erstmals regelmäßige Polygone ein, um die Kreiszahl   mit Hilfe der Exhaustionsmethode näherungsweise zu berechnen. Hierzu verwendete er eine Folge von Polygonen, die einem Einheitskreis mit Radius   ein- beziehungsweise umbeschrieben sind. Er begann dabei mit dem regelmäßigen Sechseck und führte die Reihe mit dem Zwölfeck, dem 24-Eck, dem 48-Eck bis hin zum 96-Eck fort. Auf diese Weise gewann er die Abschätzung

 .

Im Mittelalter setzten chinesische und persische Wissenschaftler diese Berechnungen mit dem 192-Eck und weiteren Polygonen fort. Ludolph van Ceulen führte im 16. Jahrhundert Berechnungen bis zum regelmäßigen  -Eck durch und ermittelte so die Kreiszahl   bis auf 35 Stellen genau. Allgemein ergeben sich durch die Approximation eines Kreises mit ein- und umschriebenen regelmäßigen  -Ecken Abschätzungen von   der Form

 .

Die trigonometrischen Terme lassen sich dabei mit Hilfe von Rekursionsformeln berechnen.

ParkettierungenBearbeiten

Regelmäßige Polygone können auch als Kacheln einer Parkettierung der Ebene verwendet werden. Wird nur ein regelmäßiges Polygon als Kachel zugelassen, wobei die Kacheln Kante an Kante angeordnet werden müssen, ergeben sich die drei platonischen Parkettierungen aus regelmäßigen Dreiecken, Vierecken und Sechsecken. Werden verschiedene regelmäßige Polygone als Kacheln zugelassen, wobei an den Ecken stets die gleiche Anordnung von Polygonen zusammenstoßen muss, erhält man die acht archimedischen Parkettierungen. Eine weitaus größere Vielfalt an Parkettierungen ergibt sich, wenn an den Ecken unterschiedliche Kombinationen von Polygonen zugelassen werden.

PolyederBearbeiten

Im dreidimensionalen Raum bilden regelmäßige Polygone die Seitenflächen von regulären Polyedern. Zu den konvexen Polyedern, die nur regelmäßige Polygone als Seitenflächen haben, gehören

Einige Polyeder gehören zu mehreren dieser Kategorien.

Wird nur ein regelmäßiges Polygon verwendet, wobei an den Ecken immer gleich viele Polygone zusammenstoßen müssen, erhält man die fünf platonischen Körper Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Werden verschiedene regelmäßige Polygone als Seitenflächen zugelassen, wobei an den Ecken stets die gleiche Anordnung von Polygonen zusammenstoßen muss, ergeben sich die 13 archimedischen Körper sowie die regulären Prismen und die uniformen Antiprismen. Werden auch nichtuniforme Ecken zugelassen, erhält man die 92 Johnson-Körper. Mit manchen dieser Polyeder lässt sich auch der dreidimensionale Raum parkettieren.

Es gibt auch Sternkörper, deren Seitenflächen regelmäßige Polygone sind, wie zum Beispiel das Sterntetraeder.

ProgrammierungBearbeiten

Das folgende Beispiel in der Programmiersprache C# zeigt die Implementierung einer Methode, die ein regelmäßiges Polygon zeichnet. Die Parameter der Methode sind die Anzahl n der Ecken, der Umkreisradius, der Drehwinkel und zwei boolesche Variablen, die angeben, ob die Umkreisradien und Inkreisradien oder der Umkreisradius und Inkreisradius gezeichnet werden.[15]

private void PaintRegularPolygon(int n, float circumRadius, float angle, bool drawRadiuses, bool drawCircles)
{
	// Definiert Farben mit RGB-Werten
	Color blue = Color.FromArgb(0, 0, 255), white = Color.FromArgb(255, 255, 255), black = Color.FromArgb(0, 0, 0);
	PointF[] regularPolygon = new PointF[n]; // Initialisiert das Array für die Ecken des regelmäßigen Vielecks
	for (int i = 0; i < n; i++) // for-Schleife mit Index i, die die Ecken erzeugt
	{
		double centralAngle = 2 * i * Math.PI / n + angle; // Berechnet den Mittelpunktswinkel
		// Berechnet die Koordinaten der Ecken des regelmäßigen Vielecks
		double x = (float) (circumRadius * Math.Cos(centralAngle));
		double y = (float) (circumRadius * Math.Sin(centralAngle));
		regularPolygon[i] = new PointF(x, y); // Erzeugt eine Ecke mit den Koordinaten
	}
	graphics.FillPolygon(new SolidBrush(blue), regularPolygon); // Füllt das regelmäßige Vieleck mit einer Farbe
	if (drawRadiuses) // Wenn Parameter drawRadiuses = true, dann Umkreisradien und Inkreisradien zeichnen
	{
		float ratio = (float) Math.Cos(Math.PI / n);
		for (int i = 0; i < n; i++) // for-Schleife mit Index i, bei jedem Durchlauf wird jeweils 1 Umkreisradius und 1 Inkreisradius gezeichnet
		{
			PointF vertex = regularPolygon[i];
			float x = vertex.X, y = vertex.Y; // Weist die Koordinaten der Ecke den Variablen zu
			graphics.DrawLine(new Pen(white), 0, 0, x, y); // Zeichnet den Umkreisradius
			float inradius = (float) (circumRadius * Math.Cos(Math.PI / n)); // Berechnet den Inkreisradius
			double centralAngle = (2 * i + 1) * Math.PI / n + angle; // Berechnet den Mittelpunktswinkel
			graphics.DrawLine(new Pen(white), 0, 0, (float) (inradius * Math.Cos(centralAngle)), (float) (inradius * Math.Sin(centralAngle))); // Zeichnet den Inkreisradius
		}
	}
	if (drawCircles) // Wenn Parameter drawCircles = true, dann Umkreis und Inkreis zeichnen
	{
		graphics.DrawEllipse(new Pen(black), -circumRadius, -circumRadius, 2 * circumRadius, 2 * circumRadius); // Zeichnet den Umkreis
		float inradius = (float) (circumRadius * Math.Cos(Math.PI / n)); // Berechnet den Inkreisradius
		graphics.DrawEllipse(new Pen(black), -inradius, -inradius, 2 * inradius, 2 * inradius); // Zeichnet den Inkreis
	}
}

VorkommenBearbeiten

ArchitekturBearbeiten

 
Das Pentagon von oben

Regelmäßige Polygone werden in der Architektur häufig als Grundriss von Zentralbauten verwendet. Beispielsweise sind

NumismatikBearbeiten

 
Ägyptische 2,5-Millim-Münze von 1933

Münzen sind nicht immer kreisrund, sondern haben manchmal auch eine polygonale Form. Solche in der Numismatik als Klippen bezeichnete Münzen wurden früher als Notmünzen geprägt, sie finden sich gelegentlich aber auch als Kurs- oder Gedenkmünzen. Beispiele für im Umlauf befindliche Klippen in Form eines regelmäßigen Polygons sind:

Moderne Klippen haben dabei häufig die Form eines Reuleaux-Polygons mit nach außen gekrümmten Seiten, damit sie auch von Münzautomaten erkannt werden können.

NaturBearbeiten

 
Bienenwaben

Regelmäßige polygonale Strukturen kommen auch in der Natur vor. Manche Atome können cyclische Verbindungen eingehen, wie zum Beispiel der Benzolring C6H6 in Form eines regelmäßigen Sechsecks. Auch in der Struktur von Kristallen treten regelmäßige Polygone auf, beispielsweise in kubischen oder hexagonalen Kristallsystemen. In der Biologie finden sich regelmäßige Polygone unter anderem bei Okrafrüchten (fünfeckig) und Bienenwaben (sechseckig).

SymbolikBearbeiten

Einige regelmäßige Polygone haben neben der geometrischen auch eine symbolische Bedeutung, zum Beispiel das Dreiecksymbol oder das Pentagramm. Verkehrszeichen, insbesondere Vorfahrtsschilder, haben häufig die Form eines regelmäßigen Polygons mit abgerundeten Ecken.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Regelmäßige Polygone – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c Harold Scott MacDonald Coxeter: Regular Polytopes. Courier Dover Publications, 1973, S. 2.
  2. Siegfried Völkel, Horst Bach, Heinz Nickel, Jürgen Schäfer: Mathematik für Techniker. Carl Hanser Verlag, 2014, S. 169.
  3. a b c d Hans-Jochen Bartsch: Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Carl Hanser Verlag, 2014, S. 141–143.
  4. Anne Fontaine, Susan Hurley, Forum Geometricorum: Proof by Picture: Products and Reciprocals of Diagonal Length Ratios in the Regular Polygon
  5. Bjorn Poonen, Michael Rubinstein: The number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon. In: SIAM J. Discrete Mathematics. Band 11, Nr. 1, 1998, S. 135–156.
  6. Bjorn Poonen, Michael Rubinstein,Massachusetts Institute of Technology, Department of Mathematics: The number if intersection points made by the diagonals of a regular polygon
  7. Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover Publications, 2007, S. 72.
  8. a b Harold Scott MacDonald Coxeter: Regular Polytopes. Courier Dover Publications, 1973, S. 3.
  9. Miloš Dimčić, Fakultät Architektur und Stadtplanung der Universität Stuttgart: Structural Optimization of Grid Shells Based on Genetic Algorithms
  10. Herbert W. Richmond: A Construction for a regular polygon of seventeen sides. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. Band 26, 1893, S. 206–207 (Beschreibung und Abbildung Fig. 6).
  11. Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. Band 95, Nr. 3, 1988, S. 185–194, Seite 186 ff. (FIG.1. Construction of a regular heptagon [PDF; abgerufen am 15. Mai 2019]).
  12. Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. Band 95, Nr. 3, 1988, S. 185–194, S. 193 ff. (FIG. 4. Construction of a regular triskaidecagon [PDF; abgerufen am 15. Mai 2019]).
  13. Drexel University: l'Hôpital's Rule & Indeterminate Forms
  14. Harold Scott MacDonald Coxeter: Regular Polytopes. Courier Dover Publications, 1973, S. 45.
  15. www.programmersought.com: C# draw polygon (Programmierbeispiele in C#)