Sinussatz

mathematischer Satz

In der ebenen und sphärischen Trigonometrie stellt der Sinussatz eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her.

Sinussatz für ebene DreieckeBearbeiten

 
Sinussatz

Sind  ,   und   die Seiten eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt  , den Winkeln  ,   und   die der zugehörigen Seite gegenüber liegen und dem Radius   des Umkreises, dann gilt mit der Sinusfunktion:

 

Wenn mit Hilfe des Sinussatzes Winkel im Dreieck errechnet werden sollen, muss darauf geachtet werden, dass es im Intervall [0°;180°] im Allgemeinen zwei verschiedene Winkel mit demselben Sinuswert gibt. Diese Zweideutigkeit entspricht der des Kongruenzsatzes SSW.

Zum Zusammenhang mit den Kongruenzsätzen und zur Systematik der Dreiecksberechnung siehe den Artikel zum Kosinussatz.

In der sphärischen Trigonometrie gibt es einen entsprechenden Satz, der ebenfalls als Sinussatz bezeichnet wird.

BeweisBearbeiten

 
Dreieck mit Höhe  

Die eingezeichnete Höhe   zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke, in denen man den Sinus von   und   jeweils als Quotient von Gegenkathete und Hypotenuse ausdrücken kann:

 
 

Auflösen nach   ergibt:

 
 

Durch Gleichsetzen erhält man demnach

 

Dividiert man nun durch  , so erhält man den ersten Teil der Behauptung:

 

Die Gleichheit mit   ergibt sich entsprechend durch Benutzung der Höhe   oder  . Um auch noch die Übereinstimmung mit   zu zeigen, die streng genommen nicht zum Sinussatz gehört, benötigt man den bekannten Satz über Peripheriewinkel (Umfangswinkel) oder den Kosinussatz zusammen mit dem Peripherie-/Zentriwinkelsatz.

Beweis siehe auch: Wikibooks-Beweisarchiv

Zusammenhang mit dem UmkreisBearbeiten

Auf dem Umkreis des Dreiecks ABC soll D der Punkt sein, der zusammen mit dem Punkt A einen Durchmesser bildet, sodass die Verbindung von A und D durch den Mittelpunkt des Umkreises verläuft (siehe Abbildung). Dann ist ABD nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt:

 

Nach dem Umfangswinkelsatz sind die Umfangswinkel   und   über der Seite   gleich groß, also gilt:

 
 

Entsprechend gilt auch   und  , also insgesamt

 

AnwendungsbeispielBearbeiten

Die folgenden Zahlenwerte sind grobe Näherungen. In einem Dreieck ABC sind folgende Seiten- und Winkelgrößen bekannt (Bezeichnungen wie üblich):

 

Gesucht sind die Größen der restlichen Seiten und Winkel. Als erstes verwendet man den Sinussatz zur Berechnung von  . Danach gilt

 

was sich umformen lässt zu

 

woraus sich mit Hilfe des Arkussinus, der Umkehrfunktion des Sinus,

 

errechnen lässt.

Eigentlich gibt es noch einen zweiten Winkel mit demselben Sinuswert, nämlich  . Dieser kommt als Lösung aber nicht in Betracht, da sonst die Winkelsumme des Dreiecks die vorgeschriebenen   überschreiten würde.

  erhält man nun mit Hilfe der Winkelsumme

 

Die Seitenlänge   soll wieder mit dem Sinussatz ermittelt werden. (Auch der Kosinussatz wäre hier möglich.) Es gilt

 

Durch Umformung gelangt man so zum Ergebnis

 

Sinussatz für KugeldreieckeBearbeiten

Für Kugeldreiecke gelten die Gleichungen

 

Dabei sind  ,   und   die Seiten (Kreisbögen) des Kugeldreiecks und  ,   und   die gegenüber liegenden Winkel auf der Kugeloberfläche.

BeweisBearbeiten

Der Radius der Einheitskugel ist gegeben durch

 

Der Punkt   liegt auf dem Radius   und der Punkt   liegt auf dem Radius  , sodass  . Der Punkt   liegt auf der Ebene  , sodass  gilt. Daraus folgt   und  . Weil   die senkrechte Projektion von   auf die Ebene   ist, gilt  . Nach Definition des Sinus gilt:

 
 

Außerdem ist  . Einsetzen ergibt

 

Entsprechend erhält man  , also insgesamt

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Manfred Leppig (Hrsg.): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 189–190.
  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., S. 1–3 (Online-Kopie)

WeblinksBearbeiten

Commons: Sinussatz – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Sinussatz – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen