Polygonalzahl

Eine Polygonalzahl ist eine Zahl, zu der es ein regelmäßiges Polygon (Vieleck) gibt, das sich mit einer entsprechenden Zahl an Steinen legen lässt. Beispielsweise ist die 16 eine Polygonalzahl, da sich ein Quadrat aus 16 Steinen legen lässt. Zu den Polygonalzahlen zählen unter anderem die Dreiecks- und Quadratzahlen.

Die Polygonalzahlen zählen zu den figurierten Zahlen. Eine andere Art, Zahlen auf Polygone zurückzuführen, stellen die zentrierten Polygonalzahlen dar.

Die Polygonalzahlen lassen sich durch eine einfache Rechenvorschrift erzeugen. Man wählt dazu eine natürliche Zahl als Differenz. Die erste Zahl ist jeweils die 1, und alle nachfolgenden Polygonalzahlen entstehen, indem man jeweils die Differenz zur vorhergehenden hinzuaddiert. Die folgenden Beispiele zeigen dies.

Dreieckszahlen
Die Differenz 1 führt zu den Summen , aus denen man die Dreieckszahlen erhält.
Quadratzahlen
Die Differenz 2 führt zu den Summen , aus denen man die Quadratzahlen erhält.
Fünfeckszahlen
Die Differenz 3 führt zu den Summen , aus denen man die Fünfeckszahlen erhält.
Sechseckszahlen
Die Differenz 4 führt zu den Summen , aus denen man die Sechseckszahlen erhält.

Die einzelnen Summanden sind jeweils die Folgenglieder einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied 1 und der jeweiligen Differenz (vgl. Differenzenfolge). Dieser Aufbau der Polygonalzahlen spiegelt sich auch in den entsprechenden Polygonen wider:

Gelegentlich wird auch die als nullte Dreieckszahl, Quadratzahl usw. definiert. Nach dieser Konvention lautet die Folge der Dreieckszahlen beispielsweise .

BerechnungBearbeiten

Die jeweils  -te  -Eckszahl lässt sich mit der Formel

 

berechnen.

Liegt eine beliebige  -Eckszahl   vor, dann berechnet sich das zugehörige   nach der Formel

 

HerleitungBearbeiten

Sei   die Anzahl der Seiten. Die  -te  -Eckzahl, mit  , wird dadurch gebildet, dass   Seiten um einen Punkt erweitert werden. Die erweiterten Seiten haben   gemeinsame Punkte. Die  -te  -Eckzahl hat somit   Punkte mehr als die  -te  -Eckszahl. Die  -te  -Eckszahl ist daher:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

zu  : Anwendung der Gaußschen Summenformel

Diese Formel behält auch für ein (ebenes, zu einem flächenleeren Doppelstrich entartetes) Zweieck mit   seine Gültigkeit,

 

wobei die damit berechneten "Zweieckszahlen"   gerade den natürlichen Zahlen   entsprechen, also der Reihensumme von   aneinandergereihten Rechensteinen.

Summe der KehrwerteBearbeiten

Die Summe der Kehrwerte jeweils aller  -Eckszahlen,   ist konvergent.[1] Es gilt:

 
(mit  : Euler-Mascheroni-Konstante und  : Digamma-Funktion)

AnwendungenBearbeiten

Nach dem fermatschen Polygonalzahlensatz lässt sich jede Zahl als Summe von höchstens    -Eckszahlen darstellen.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Siehe Artikel von Downey, Ong, Sellers.