Digamma-Funktion

mathematische Funktion

Die Digamma-Funktion oder Psi-Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die definiert wird als:

Die Digamma-Funktion in der komplexen Zahlenebene.

Sie ist also die logarithmische Ableitung der Gammafunktion. Die Digamma-Funktion ist die erste der Polygammafunktionen. Bis auf ihre Pole erster Ordnung für nicht positive ganze Argumente ist sie (genau wie die Gammafunktion) in ganz holomorph.

BerechnungBearbeiten

Die Beziehung zur harmonischen ReiheBearbeiten

Die Digammafunktion, welche meist als ψ0(x), ψ0(x) oder   (nach der Form des vorklassischen griechischen Buchstaben Ϝ digamma) dargestellt wird, steht für ganzzahlige Werte mit der harmonischen Reihe in folgender Beziehung:

 

wobei Hn das n-te Element der harmonischen Reihe und γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist. Für halbzahlige Werte kann sie geschrieben werden als:

 

Integral-DarstellungBearbeiten

Die Digammafunktion kann wie folgt als Integral dargestellt werden:

 

Für alle positiven x-Werte gilt diese Formel:

 

Dies kann auch geschrieben werden als:

 

Dies folgt aus der Formel für das Euler-Integral für die harmonische Reihe.

Taylor-ReiheBearbeiten

Durch Reihenentwicklung der Taylor-Reihe um den Punkt z=1 kann die Digammafunktion wie folgt dargestellt werden:

 

Sie konvergiert für |z|<1. Dabei ist   die Riemannsche ζ-Funktion. Die Reihe kann leicht von der zugehörigen Taylor-Reihe für die Hurwitzsche ζ-Funktion hergeleitet werden.

Binomische ReiheBearbeiten

Die binomische Reihe für die Digammafunktion folgt aus dem Euler-Integral

 

wobei   der verallgemeinerte Binomialkoeffizient ist.

FunktionalgleichungBearbeiten

Die Digammafunktion genügt folgender Funktionalgleichung, welche direkt aus der logarithmischen Ableitung der Gammafunktion hergeleitet werden kann:

 

Hiermit kann allerdings nicht ψ(1/2) berechnet werden; dieser Wert ist unten angegeben.

Rekursionsformel und SummenausdrückeBearbeiten

Die Digamma-Funktion genügt der Rekursionsformel

 

oder

 

wobei Δ der rechtsseitige Differenzoperator ist. Dies erfüllt die Rekursionsbeziehung der harmonischen Reihe. Daraus folgt

 

Allgemeiner gilt:

 

Aus der Gaußschen Produktdarstellung der Gammafunktion lässt sich äquivalent dazu

 .

schlussfolgern.

Quotientenbeziehung zur GammafunktionBearbeiten

Für den Quotienten aus Digammafunktion und Gammafunktion liefert die Produktdarstellung den Ausdruck

 .

Bei positiven ganzen Zahlen  , bei deren negativen Werten sowohl Digamma- als auch Gammafunktion divergieren, folgt dann

 .

Mit Hilfe der Funktionalgleichung für die Gammafunktion findet man sogar heraus, dass der Wert des Quotienten ausschließlich vom Argument der Gammafunktion abhängt, also gilt für ganzzahlige   schließlich

 .

Gaußsche SummeBearbeiten

Die Digammafunktion hat eine Gaußsche Summe der Form

 

für natürliche Zahlen  . Dabei ist ζ(s,q) die Hurwitzsche ζ-Funktion und   das Bernoulli-Polynom. Ein Spezialfall des Multiplikationstheorem ist

 

Gaußsches Digamma-TheoremBearbeiten

Für ganze Zahlen   und   (mit  ) kann die Digammafunktion mit elementaren Funktionen ausgedrückt werden

 

Besondere WerteBearbeiten

Liste der WerteBearbeiten

Die Digamma-Funktion hat unter anderem folgende besondere Werte:

 
 
 
 
 

Beweis für den Wert ψ(1)Bearbeiten

Nach der oben abgebildeten Formel gilt:

 

Dieses Integral lässt sich so umformen:

 
 
 
 
 

Deswegen nimmt ψ(1) den Wert -γ an.

In der dritten Zeile der Gleichungskette wird der Debyesche Funktionswert von Plus Unendlich genannt, welcher aus der Geometrischen Reihe hervorgeht.

Am Ende der vierten Zeile taucht die Maclaurinsche Reihe des Monologarithmus auf, welche als Stammfunktion der Geometrischen Reihe hervorgeht.

Beweise für die Digammafunktionswerte der Kehrwerte natürlicher ZahlenBearbeiten

Aus der Beziehung zur harmonischen Reihe resultiert diese für alle z ∈ ℕ gültige Formel:

 

Also gilt:

 
 

AbleitungBearbeiten

Die Ableitung der Digammafunktion ist nach deren Definition die Trigamma-Funktion

 

die zweite Polygammafunktion.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten