Fünfeckszahl

Eine Fünfeckszahl oder Pentagonalzahl ist eine Zahl, die das Konzept der Dreiecks- und Quadratzahlen auf das regelmäßige Fünfeck erweitert. Allerdings ist das dabei entstehende Muster weit weniger symmetrisch als das der Dreiecks- und Quadratzahlen. Die -te Fünfeckszahl entspricht der Anzahl der Kugeln, die man zum Legen eines Musters mit regelmäßigen Fünfecken benötigt, die eine gemeinsame Ecke haben.

Ineinandergeschachtelte Fünfecke aus 22 Kugeln

Für eine figural gleichmäßige Bedeckung siehe →Zentrierte Fünfeckszahl.

Die ersten (nicht zentrierten) Fünfeckszahlen sind

0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, … (Folge A000326 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Fünfeckszahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die -te Fünfeckszahl lässt sich mit der Formel

berechnen.

Die wichtigste Aussage über Fünfeckszahlen ist der Pentagonalzahlensatz.

Fünfeckszahlen der zweiten ArtBearbeiten

Setzt man für   eine negative ganze Zahl ein, so bekommt man Fünfeckszahlen zweiter Art oder auch Kartenhauszahlen. Kartenhauszahlen deswegen, weil die Zahlen angeben, wie viele Karten benötigt werden, um ein Kartenhaus mit   Etagen zu bauen.

 

  für   und  

Die Folge der Kartenhauszahlen beginnt:   (Folge A005449 in OEIS)

Die Kartenhauszahlen lassen sich als Summe von Dreieckszahlen erzeugen:

 
Kartenhauszahlen als Summe von Dreieckszahlen
 

WeblinksBearbeiten