Regelmäßiges Dreizehneck

Das Dreizehneck ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch dreizehn Punkte und deren dreizehn Verbindungen, bezeichnet als Strecken, Seiten oder Kanten.

VariationenBearbeiten

Das Dreizehneck ist darstellbar als:

  • konkaves Dreizehneck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist. Ein Dreizehneck kann höchstens sechs solche Winkel haben.
  • konvexes Dreizehneck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Dreizehneck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
  • Sehnendreizehneck, in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen ungleich sind.
  • regelmäßiges Dreizehneck: Es ist bestimmt durch dreizehn Punkte auf einem virtuellen Kreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
  • regelmäßiges überschlagenes Dreizehneck: Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der dreizehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleichlang sind. Notiert werden solche regelmäßige Sterne mit Schläfli-Symbolen  , wobei   die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder  -te Punkt verbunden wird.
In der folgenden Galerie sind die fünf möglichen regelmäßigen Dreizehnstrahlsterne, auch Tridekagramme genannt, dargestellt.

Regelmäßiges DreizehneckBearbeiten

Das regelmäßige Dreizehneck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel kein konstruierbares Polygon, denn seine Seitenanzahl   ist kein Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen.

GrößenBearbeiten

Größen eines regelmäßigen Dreizehnecks
Innenwinkel  

 

Zentriwinkel

(Mittelpunktswinkel)

 
Seitenlänge  
Umkreisradius  
Inkreisradius  
Höhe  
Flächeninhalt  

Mathematische ZusammenhängeBearbeiten

InnenwinkelBearbeiten

Der Innenwinkel   wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen. In der allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone steht die Variable   für die Anzahl der Eckpunkte des Polygons. In diesem Fall ist für die Variable die Zahl   einzusetzen.

 

ZentriwinkelBearbeiten

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel   wird von zwei benachbarten Umkreisradien   eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable   die Zahl   einzusetzen.

 

Seitenlänge und UmkreisradiusBearbeiten

Das Dreizehneck ist in dreizehn gleichschenklige Dreiecke, sogenannte Teildreiecke, teilbar. Aus der Hälfte eines solchen Teildreiecks, sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete (halbe Seitenlänge)  , der Hypotenuse (Umkreisradius)   und dem halben Zentriwinkel   erhält man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlänge   wie folgt

 

durch Umformen erhält man den Umkreisradius  

 

InkreisradiusBearbeiten

Der Inkreisradius   ist die Höhe eines Teildreiecks, senkrecht zur Seitenlänge   des Dreizehnecks. Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlänge verwendet, gilt für den Inkreisradius  

 

HöheBearbeiten

Die Höhe   eines regelmäßigen Dreizehneckes ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius und Umkreisradius.

 
 

FlächeninhaltBearbeiten

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein  . Für die Berechnung des Dreizehnecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge   und des Inkreisradius   herangezogen, worin   für die Höhe   eingesetzt wird.

 
  daraus folgt für die Fläche eines Teildreiecks
  zusammengefasst ergibt sich
 
 

und für die Fläche des gesamten Dreizehnecks

 
 

Geometrische KonstruktionenBearbeiten

Wie unter Regelmäßiges Dreizehneck begründet, ergibt eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal keine Lösung. Gelten jedoch zusätzliche Hilfsmittel, wie z. B. die Methode des Archimedes, Bieberbachs Rechtwinkelhaken und der Tomahawk für eine Dreiteilung des Winkels oder die Kurven Quadratrix des Hippias und archimedische Spirale um den 90-Grad-Winkel in   gleich große Winkel zu unterteilen, ist eine exakte Konstruktion machbar.

Tomahawk als zusätzliches HilfsmittelBearbeiten

Andrew M. Gleason veröffentlichte 1988 in der mathematischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly zwei elegante Konstruktionen zu den regelmäßigen Polygonen Siebeneck und Dreizehneck.[1] Beide verlangen für eine exakte Lösung die Dreiteilung des Winkels. Die Methode hierfür ließ Andrew M. Gleason offen. Die folgende Konstruktionsskizze (linkes Bild des Doppelbildes) unterscheidet sich vom Original durch die Weiterführung der Konstruktion bis zum fertigen Dreizehneck. Die gepunkteten Linien dienen der Verdeutlichung, z. B. wie man bestimmte Funktionspunkte erzeugt. Näheres hierzu in der nachfolgenden Beschreibung anhand der Originalbeschreibung.

   
Dreizehneck, Konstruktionsskizze mit Tomahawk (hellblau)
Animation der Konstruktionsskizze

Für das Dreizehneck beginnt man im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit einem Kreis um Punkt   mit Radius  . Es folgt die Festlegung des Punktes  . Um den Punkt   zu erhalten, werden zunächst die Zahlenwerte  , als zwölfter Teil von  , sowie   bestimmt, die Strecke   halbiert und um deren Mittelpunkt der Thaleskreis gezogen. Die danach errichtete Senkrechte auf   ab   schneidet den Thaleskreis in  . Die Verbindung des Punktes   mit   ergibt   für das Eintragen des Punktes  . Im Anschluss die Zahlenwerte   und   auf   ermitteln sowie die Punkte   und   einzeichnen.

Zum Finden der Punkte   und   wird zuerst der Zahlenwert   auf   festgelegt und eine Senkrechte durch die   errichtet. Zieht man nun einen Kreisbogen um   durch  , schneidet er die Senkrechte in   und  . Nach dem Verbinden der Punkte   und   mit   sowie dem Ziehen eines Kreises um   durch  , wird der Winkel   mit einer frei wählbaren Methode gedrittelt. Hier z. B. geschieht dies mithilfe eines sogenannten Tomahawks, dabei ergeben sich die Punkte   und  . Eine Gerade durch   und   ergibt   und  , die Eckpunkte eines regelmäßigen Dreizehnecks   sind. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens   nacheinander gefunden werden.

Quadratrix des Hippias als zusätzliches HilfsmittelBearbeiten

 
Bild 1: Regelmäßiges Dreizehneck mit vorgegebenem Umkreis als exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Die Konstruktion (Bild 1) des Dreizehneck mit vorgegebenem Umkreis ist nahezu gleich der des Elfecks. Aus diesem Grund wurde die Beschreibung des Elfecks mit den erforderlichen Anpassungen übernommen.

Nach dem Zeichen des Quadrates, z. B. mit der Seitenlänge  , und des Umkreises um den Punkt   durch   erfolgt die Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterdarstellung  :[2][3]

 

mit

 

Danach wird die Strecke   in dreizehn gleich lange Abschnitte mithilfe der Streckenteilung geteilt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt.

Der Zentriwinkels des Dreizehnecks ergibt sich aus   aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab   bis   in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Dreizehntel der Strecke   kann nur ein Dreizehntel des Winkels   erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels   aus dem Umkreis mit seinen   das Vierfache eines Dreizehntels, d. h. der Teilungspunkt   der Strecke   zur Konstruktion des Zentriwinkels   genutzt. Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu   ab   bis zur Kurve der Quadratrix, dabei ergibt sich der Punkt  . Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel   durch   bis zum Umkreis. Somit ergibt sich auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt  . Die Länge der Strecke   ist die exakte Seitenlänge   des regelmäßigen Dreizehnecks.

Nach dem elfmaligen Abtragen der Seitenlänge   auf dem Umkreis gegen den Uhrzeigersinn und dem abschließenden Verbinden der benachbarten Eckpunkte, ist das Dreizehneck   fertiggestellt.

NäherungskonstruktionenBearbeiten

Es sind nur wenige Näherungskonstruktionen des Dreizehnecks in der einschlägigen Literatur beschrieben.

Von Albrecht DürerBearbeiten

 
Bild 2: Ein Elfeck und rechts das regelmäßige Dreizehneck nach Dürer (1525) mit dem empirisch bestimmten Punkt  , nahe dem Punkt  

Im Jahr 1525 veröffentlichte Albrecht Dürer in seinem Werk Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen im zweiten Buch ein Elfeck und ein Dreizehneck (im Bild 2 rechts).[4] Das in einem Kreis einbeschriebene regelmäßige Dreizehneck, benötigt zum Bestimmen der Seitenlänge nur den halben Radius und den Punkt  , nahe dem Punkt  . Der Punkt  , Dürer hat ihn nicht näher erläutert, wird mithilfe von Versuchen (empirisch) festgelegt.

„... Weyter so jch behend ein .13. eck soll machen / so reiß jch auß einem Centrum .a. ein zirckellini Darnach reiß jch ein halbenn [61] diameter .a.b. vnd schneid den mit einem punckten .d. in der mit von einander vnd brauch die leng .c.d. zue .13. malen im zirckel herum / ist aber auch mechanice vnd nit demonstratiue.“

Dürer weist in seiner Beschreibung insbesondere darauf hin, dass dies eine näherungsweise („mechanische“) und keine exakte („demonstrative“) Konstruktion sei. Der absolute Fehler der so konstruierten ersten Seitenlänge ist abhängig von der Genauigkeit des empirisch ermittelten Punktes  .

Mit einer universellen MethodeBearbeiten

 
Bild 3: Dreizehneck, Näherungskonstruktion mit einer universellen Methode

Bild 3 zeigt ein Dreizehneck in seinem Umkreis, erstellt mit einer universellen Methode.[5][6]

Zuerst wird die Strecke  , später der Durchmesser des gesuchten Dreizehnecks, in   gleichlange Teile mithilfe des Strahlensatzes geteilt (in der Zeichnung nicht dargestellt) oder mittels Aneinanderreihen von   gleichlangen Abständen bestimmt. Nun werden entweder die geraden oder die ungeraden Zahlen (Teilungspunkte) auf   markiert. In diesem Beispiel sind die geraden Zahlen   und   eingetragen. Die anschließende Halbierung von   erfolgt mithilfe der zwei Kreisbögen um   bzw.   mit dem Radius  . Die Kreisbögen schneiden sich in den Punkten   und   Durch deren Verbindung erhält man den Mittelpunkt   und die Symmetrieachse.

Nach dem Einzeichnen des Umkreises um   durch   geht es weiter mit dem Festlegen der Eckpunkte auf dem Umkreis. Das Lineal wird an den Punkt   und an die gerade Zahl   gelegt. Danach am Lineal entlang eine kurze Linie durch die gegenüberliegende Hälfte der Umkreislinie gezogen, ergibt den Eckpunkt   des entstehenden Dreizehnecks. Diese Vorgehensweise wiederholt sich beim Bestimmen der Eckpunkte   Sie wird fortgesetzt, jetzt ausgehend vom Punkt   bis die restlichen Eckpunkte   gefunden sind. Abschließend werden die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden.

Das Besondere an dieser Methode ist, sechs Seiten des Dreizehnecks haben paarweise die gleiche Länge, z. B. die Seiten   und   Die Seite   hat eine von den anderen unterschiedliche Länge.

Größter und kleinster absoluter Fehler der Seitenlängen bei einem Umkreisradius mit  :

 
  und  
  und  

Sieht man sich die beiden kleinsten absoluten Fehler der benachbarten Seiten an, folgt daraus, beide sind nahezu gleich von einer idealen Mitte   entfernt. Das bedeutet, würde man in dieser Näherungskonstruktion z. B. nur die Strecken   und   konstruieren, anschließend das arithmetische Mittel dieser Strecken konstruktiv ermitteln, ergäbe dies eine Seitenlänge des Dreizehnecks mit einer Abweichung von

 .

Oder anders gesagt, bei einem Umkreisradius   wäre die Abweichung der konstruierten ersten Seite  .

VorkommenBearbeiten

  • Beispiele zu Münzen mit der Form bzw. eingeprägten Figur eines regelmäßigen Dreizehnecks:

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Wiktionary: Dreizehneck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. Band 95, Nr. 3, 1988, S. 185–194, JSTOR:2323624 (math.fau.edu, Fig. 4. Construction of a regular triskaidecagon., Seite 193 ff., PDF abgerufen am 15. Mai 2019).
  2. Hans-Wolfgang Henn: Elementare Geometrie und Algebra. Verlag Vieweg+Teubner 2003, S. 45–48 Die Quadratur des Kreises (Auszug (Google)), abgerufen am 29. Oktober 2017
  3. Horst Hischer: Mathematik in der Schule 32 (1994) 5, Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt (2). Lösung klassischer Probleme. (PDF) S. ab 279, abgerufen am 29. Oktober 2017.
  4. Albrecht Dürer: Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen. Nürnberg 1525 (ETH-Bibliothek, Konstruktion eines regelmäßigen Elf- und Dreizehnecks, S. 63, Fig 19 [abgerufen am 17. Oktober 2017]).
  5. H. August: Zeichnerische Konstruktion eines Elfecks. In: Zeichnerische Konstruktionen: Mehrecke. Abgerufen am 17. Oktober 2017.
  6. Peter Eckardt: Siebeneck. In: Sterne und Polygone. Abgerufen am 17. Oktober 2017.