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Parameterdarstellungen des Einheitskreises
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Die Parameter und laufen jeweils von 0 bis 3 mit einer Schrittweite von 0,2. Der Parameter der ersten Darstellung ist die Bogenlänge. Die zweite Darstellung besteht allein aus rationalen Funktionen. Beide Darstellungen erfüllen die Kreisgleichung

Unter einer Parameterdarstellung (auch Parametrisierung oder Parametrierung) versteht man in der Mathematik eine Darstellung, bei der die Punkte einer Kurve oder Fläche als Funktion einer oder mehrerer Variablen, der Parameter, durchlaufen werden. Für die Beschreibung einer Kurve in der Ebene oder im Raum wird ein Parameter benötigt, für die Beschreibung einer Fläche ein Satz von zwei Parametern.

Ein Beispiel ist die Beschreibung des Einheitskreises um den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems in der Ebene. Ein möglicher Parameter ist der Winkel im Koordinatenursprung (s. nebenstehendes Bild), womit man folgende Parameterdarstellung des Ortsvektors in Abhängigkeit von erhält:

Die Beschreibung der Bahnkoordinaten eines bewegten Objektes in Abhängigkeit von der Zeit ist ein Beispiel einer Parameterdarstellung in der Physik.

Ist eine Parameterdarstellung einer Kurve oder Fläche bekannt, kann zu jedem Parameter(satz) direkt der entsprechende Punkt der Kurve oder Fläche angegeben werden. Dagegen ist es meist schwieriger, zu entscheiden, ob ein gegebener Punkt auf der Kurve oder Fläche liegt.

Kurven oder Flächen können auf unterschiedliche Art parametrisiert werden. Bei Kurven ist es oft günstig, die Bogenlänge, gemessen von einem festen Punkt aus entlang der Kurve, als Parameter zu wählen. Die Parameter von Flächen oder höherdimensionalen Gebilden werden oft so gewählt, dass die Parameterlinien orthogonal sind. Auch bei relativ einfachen Gebilden ist es nicht immer möglich, zu jeder Parametrisierung eine Parameterdarstellung der Koordinaten mit Hilfe von elementaren Funktionen zu finden, beispielsweise wenn bei einer Ellipse die Bogenlänge als Parameter gewählt wird.

Eigenschaften der ParameterdarstellungenBearbeiten

Neben der Parameterdarstellung gibt es auch andere Möglichkeiten, Kurven oder Flächen zu beschreiben. In der Ebene beschreibt beispielsweise der Graph einer Funktion eine Kurve, im dreidimensionalen Raum kann durch die Funktion   eine Fläche beschrieben werden. Dies sind spezielle Parameterdarstellungen, wenn man die Funktionsvariablen als Parameter auffasst. Sie sind allerdings nicht zur Darstellung von Figuren wie Kreisen oder Kugeln geeignet, da sie jedem Punkt der  -Achse oder der  - -Ebene nur einen Punkt zuordnen können. Mit der Funktion

 

kann nur ein Halbkreis dargestellt werden. Um einen vollen Kreis zu erhalten, muss ein weiterer Halbkreis   hinzugefügt werden.

Eine weitere Darstellungsmöglichkeit ist die implizite Beschreibung durch eine Gleichung der Koordinaten, beispielsweise  . Der Einheitskreis lässt sich in dieser Form durch die Kreisgleichung

 

beschreiben. Diese Form eignet sich gut, um zu prüfen, ob ein gegebener Punkt auf einer Kurve oder Ebene liegt, da lediglich geprüft werden muss, ob die Koordinaten die Gleichung erfüllen. Mit einer solchen impliziten Gleichung können nur Objekte beschrieben werden, deren Dimension um 1 geringer ist als die des Raumes, in dem sie beschrieben werden. Eine Gleichung reicht im dreidimensionalen Raum zur Beschreibung einer Fläche, nicht jedoch, um Kurven zu beschreiben.

Bei einer Parameterdarstellung ist es leicht, einzelne Punkte zu berechnen, die zur parametrisierten Kurve oder Fläche gehören. Sie eignet sich daher gut, um diese Objekte zu zeichnen, beispielsweise in CAD-Systemen. Außerdem lassen sich die berechneten Koordinaten leicht in andere Koordinatensysteme transformieren, so dass Objekte relativ einfach verschoben, gedreht oder skaliert werden können.

In der Physik eignet sich die Parameterdarstellung zur Beschreibung der Bahn bewegter Objekte, wobei meist die Zeit   als Parameter gewählt wird. Die Ableitung des Ortsvektors   nach der Zeit ergibt dann die zeitabhängige Geschwindigkeit  , die zweite Ableitung die Beschleunigung  . Ist umgekehrt eine Anfangsposition   und Anfangsgeschwindigkeit   zum Zeitpunkt   sowie ein (möglicherweise orts- und zeitabhängiges) Beschleunigungsfeld   gegeben, erhält man die Parameterdarstellung der Bahnkurve durch Integration. Bei einer konstanten Beschleunigung wie beim schrägen Wurf ohne Luftwiderstand ergibt sich beispielsweise folgende Bahnkurve:

 

Parameterdarstellungen werden auch in der Differentialgeometrie verwendet. Mit Hilfe von Ableitungen der Ortsvektoren nach den Parametern lassen sich Längen, Tangentenvektoren oder Tangentialebenen, Krümmungen, Winkel oder Flächeninhalte bestimmen. Zur Berechnung von Längen, Winkeln und Flächeninhalten in Flächen ist es nicht nötig, eine explizite Parameterdarstellung der Fläche im Raum zu kennen. Es reicht, wenn die Metrik (erste Fundamentalform) der Fläche, die die Längen entlang den Parameterlinien und die Winkel zwischen den Parameterlinien beschreibt, bekannt ist. Dies kann bei gekrümmten Flächen vorteilhaft sein.

Parameterdarstellungen von Geraden und EbenenBearbeiten

 
Parameterdarstellung einer Ebene

Unter der Parameterdarstellung (oder auch Parameterform) einer Geradengleichung versteht man die Form

 

und einer Ebenengleichung die Form

 ,

wobei   und   die reellen Parameter sind. Der Vektor   ist der Ortsvektor eines Punktes   auf der Geraden oder Ebene. Dieser Punkt heißt Aufpunkt oder Stützpunkt, seinen Ortsvektor   nennt man dann Stützvektor. Den Vektor   in der Geradengleichung nennt man den Richtungsvektor der Geraden, die Vektoren   und   in der Ebenengleichung ebenfalls Richtungsvektoren oder Spannvektoren. Diese Vektoren dürfen keine Nullvektoren, die Spannvektoren einer Ebene außerdem nicht kollinear sein. Wenn   in der Geradengleichung ein Einheitsvektor ist, entspricht der Parameter   dem Abstand eines Geradenpunktes von  .

Die Richtungsvektoren einer Ebenengleichung spannen ein affines Koordinatensystem auf (im nebenstehenden Bild durch das blaue Koordinatennetz innerhalb der Ebene angedeutet), wobei   und   die affinen Koordinaten darstellen. Den Ortsvektor eines Punktes   der Ebene erhält man, indem man zum Ortsvektor   des Punktes   das  -fache des Vektors   und dann das  -fache des Vektors   addiert.

Reguläre ParameterdarstellungenBearbeiten

Eine differenzierbare Parameterdarstellung einer Kurve heißt regulär, wenn ihre Ableitung in keinem Punkt verschwindet; sie muss nicht notwendigerweise injektiv sein. Allgemein heißt eine differenzierbare Parameterdarstellung regulär, wenn sie eine Immersion ist, das heißt, wenn ihre Ableitung überall injektiv ist (das heißt, ihr Rang ist größer gleich der Dimension des Urbilds).

Verallgemeinerung auf höhere DimensionBearbeiten

Die Verallgemeinerung ist naheliegend: Es sei   eine „Karte“ einer  -dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit  . Die Karte ist gegeben durch eine  -dimensionale differenzierbare Parametrisierung: Für Punkte   in   gilt also:     mit differenzierbaren Funktionen  .

Für eine beliebige Funktion   der Punkte   der Mannigfaltigkeit gilt dann für die Ableitung in Richtung des Tangentialvektors einer Kurve auf  , die auf der Karte   den Kurvenparameter λ hat:    

Dieses Ergebnis ist wegen der Kettenregel unabhängig von der gewählten Parametrisierung.[1]

Parametrisierung von NURBS-ObjektenBearbeiten

 
Nur der Würfel rechts respektiert die inhomogene Parametrisierung der Kurve.

In der Computergrafik wird unter der Parametrisierung häufig die Verteilung von Kurven, die eine NURBS-Fläche aufspannen, oder von Punkten, die eine Kurve aufspannen, verstanden. Die Flächenlinien heißen Isoparms (Isoparametrische Kurven), die Punkte auf NURBS-Kurven werden Control Vertices (CV) genannt. Die Darstellung dieses Aufbaus entspricht der Parameterdarstellung und trägt in der Branche die Bezeichnung Komponentendarstellung.

In der Visualisierung rechts sind zwei identisch aufgebaute Kurven zu sehen, die keine homogene Parametrisierung aufweisen, also zum Beispiel eine hohe Punktdichte unten links. Der blaue Würfel respektiert die CV-Verteilung nicht, während er die Kurve abfährt. Stattdessen bewegt er sich mit konstanter Geschwindigkeit und geht damit von einer homogenen Parametrisierung aus. Der grüne Würfel rechts dagegen respektiert die unterschiedliche Punktdichte und verlangsamt seine Geschwindigkeit stets da, wo die CVs eng aneinander stehen. Beide Animationen haben die gleiche Länge von 200 Einzelbildern.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. W. Maak: Differential- und Integralrechnung. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1969.

WeblinksBearbeiten