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Immersion (Mathematik)

Begriff in der Differentialgeometrie
Eine nicht injektive Immersion: R → R2, t ↦ (t2 − 1, t · (t2 − 1))

In der Differentialtopologie versteht man unter einer Immersion eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten und , wenn der Pushforward dieser Abbildung an jedem Punkt injektiv ist. Ist darüber hinaus eine topologische Einbettung, so spricht man von einer (glatten) Einbettung. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu diffeomorphe Untermannigfaltigkeit von

Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag Immersierte Mannigfaltigkeit beschrieben.

Immersion im euklidischen RaumBearbeiten

Liegt der Spezialfall   einer Abbildung zwischen euklidischen Räumen vor, dann stellt   nichts anderes als die totale Ableitung bzw. die Jacobi-Matrix   dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum und eine lineare Abbildung mit einer Matrix identifiziert werden.

Immersion in MannigfaltigkeitenBearbeiten

Allgemein ist eine differenzierbare Abbildung   genau dann eine Immersion, wenn für alle   der Rang der linearen Abbildung   gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit   ist, also gilt

 

Reguläre HomotopieBearbeiten

Zwei Immersionen   heißen regulär homotop, wenn es eine Homotopie   gibt mit   so dass für jedes   die Abbildung

 
 

wieder eine Immersion ist.

Mit den regulären Homotopieklassen von Immersionen beschäftigt sich die Hirsch-Smale-Theorie.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.