Immersierte Mannigfaltigkeit

Eine immersierte Mannigfaltigkeit oder immersierte Untermannigfaltigkeit ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie. Seltener wird dieses Objekt auch immergierte Mannigfaltigkeit[1] genannt, im Englischen spricht man meistens von einer immersed submanifold.[2]

Hat man eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten, so ist das Bild im Allgemeinen keine Untermannigfaltigkeit von . Falls die Ableitung von jedoch injektiv ist, ist eine Mannigfaltigkeit, die aber keine (eingebettete) Untermannigfaltigkeit von sein muss. Dieses Objekt wird immersierte Mannigfaltigkeit genannt.

DefinitionBearbeiten

Seien   und   differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Dann ist eine immersierte Mannigfaltigkeit von   das Bild   der Immersion  . Die Topologie auf   muss so gewählt werden, dass   stetig ist. Oftmals wird noch gefordert, dass die Immersion   injektiv sein muss.[3]

Als Menge ist   eine Teilmenge von  , jedoch ist es im Allgemeinen keine Untermannigfaltigkeit von  . Das heißt, die Topologie von   entspricht hier auch nicht der Teilraumtopologie und insbesondere sind auch die differenzierbaren Strukturen von   und   nicht kompatibel. Ist jedoch   eine differenzierbare Einbettung, so ist   tatsächlich eine Untermannigfaltigkeit.

Unterscheidung zur UntermannigfaltigkeitBearbeiten

Es gibt zwei Gründe, aus denen die immersierte Mannigfaltigkeit keine Untermannigfaltigkeit sein muss:

  • Die Immersion   ist nicht injektiv, die Immersion schneidet sich selbst. (s. Abbildung 1)
  • Selbst wenn die Immersion   injektiv ist, kann es sein, dass die Abbildung kein Homöomorphismus ist, da das Bild offener Enden inneren Punkten von   beliebig nahe kommen kann, so dass die Topologie von   nicht mit der von   übereinstimmt. (s. Abb. 2) Dieser Effekt kann nur für nichtkompakte   auftreten, für kompakte Mannigfaltigkeiten   ist eine injektive Immersion   stets eine Einbettung.
 
Abb. 1: Reelle Zahlengerade immersiv abgebildet in die Ebene mit Selbstschnitten
 
Abb. 2: Offenes Intervall injektiv und immersiv abgebildet, so dass die offenen Enden auf die mit Pfeilen markierten Enden abgebildet werden

BeispielBearbeiten

  • Die Kurve  , die durch   definiert ist, ist eine injektive Immersion. Daher ist ihr Bild eine immersierte Mannigfaltigkeit.
  • Eine Lie-Gruppe ist sowohl eine Gruppe im Sinne der Algebra als auch eine glatte Mannigfaltigkeit, wobei die beiden Strukturen miteinander verträglich sind. Eine Lie-Untergruppe ist eine Untergruppe der Lie-Gruppe, die ebenfalls wieder die Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit trägt, die mit der Gruppenstruktur verträglich ist. Diese Lie-Untergruppe ist im Allgemeinen keine Untermannigfaltigkeit, aber eine immersierte (Unter)Mannigfaltigkeit, wobei die Immersion injektiv ist. Ein konkretes Beispiel ist eine Kurve irrationalen Anstiegs im Torus. Diese ist eine Untergruppe und eine immersierte Untermannigfaltigkeit, aber nicht eingebettet: ihr Bild liegt dicht im Torus.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Stefan Hildebrandt: Analysis. Band 2. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43970-6.
  2. Die korrekte Ableitung aus dem Lateinischen ist eigentlich "immergierte Mannigfaltigkeit", im Deutschen hat sich aber das aus dem englischen "immersed manifold" abgeleitete "immersierte Mannigfaltigkeit" in jüngerer Zeit als häufigere Variante durchgesetzt.
  3. John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 15.