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Jacobi-Matrix

Matrix partieller Ableitungen

Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion ist die -Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion bezüglich der Standardbasen des und des .

Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Funktion, deren Komponentenfunktionen mit   bezeichnet seien und deren partielle Ableitungen alle existieren sollen. Für einen Raumpunkt   im Urbildraum   seien   die jeweils zugehörigen Koordinaten.

Dann ist für   die Jacobi-Matrix im Punkt   durch

 

definiert.

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktionen   von  .

Andere übliche Schreibweisen für die Jacobi-Matrix   von   an der Stelle   sind  ,   und  .

BeispielBearbeiten

Die Funktion   sei gegeben durch

 

Dann ist

 

und damit die Jacobi-Matrix

 

AnwendungenBearbeiten

  • Ist die Funktion   total differenzierbar, dann ist ihr totales Differential   an der Stelle   die lineare Abbildung
 .
Die Jacobi-Matrix an der Stelle   ist also die Abbildungsmatrix von  .
  • Für   entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von  . Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.
  • Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für eine Stelle   ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von   in der Nähe von   verwendet werden:
 
Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).

Determinante der Jacobi-MatrixBearbeiten

Sei  , es wird also eine differenzierbare Funktion   betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix   am Punkt   eine quadratische  -Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix   bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt   ungleich null, so ist die Funktion   in einer Umgebung von   invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist  , so kann man definitionsgemäß keine Determinante der  -Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.

Jacobi-Matrix einer holomorphen FunktionBearbeiten

Neben Funktionen   kann man auch Funktionen   auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion   kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine   mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine  -Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die  -Jacobi-Matrix   am Punkt   ist durch

 

definiert.

Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen  , sodass   gilt. Die Funktionen   und   kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien   die Koordinaten in   und setze   für alle  . Die  -Jacobi-Matrix   der holomorphen Funktion   am Punkt   ist dann definiert durch

 .

Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen  , so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich

 .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten